案例分析優(yōu)化與統(tǒng)計實例

1、案例分析1 線性優(yōu)化廣州某財務分析公司是為許多客戶管理股票資產(chǎn)組合的投資公司。一名新客戶要求該公司處理80000元的投資組合。作為個人投資戰(zhàn)略，該客戶希望限制他的資產(chǎn)組合在下面兩個股票的混合中：股票每股價格（元）每股最大預期年收益（元）可能的投資（元）西北石油50650000西南石油30445000決策變量，目標函數(shù)，約束條件。設(shè)x=西北石油的股份數(shù)；y=西南石油的股份數(shù)。a假設(shè)客戶希望最大化總的年收益，則目標函數(shù)是什么？b寫出在下面3個條件下的每一個的數(shù)學表達式：(1)總的投資基金是80000元。(2)對西北石油的最大投資是50000元。(3)對西南石油的最大投資是45000元。A目標函數(shù)：

2、案例分析2：線性優(yōu)化某投資公司的財務顧問得知有兩家公司很可能有并購計劃。西部電纜公司是制造建筑光纜方面的優(yōu)秀公司，而康木交換公司是一家數(shù)字交換系統(tǒng)方面的新公司。西部電纜公司股票的現(xiàn)在每股交易價是40元，而康木交換公司的每股交易價是25元。如果并購發(fā)生了，財務顧問預測西部電纜公司每股價格將上漲到55元，康木交換公司每股價格將上漲到43元。財務顧問確認投資康木交換公司的風險比較高。假設(shè)投資在這兩種股票上的資金的最大值50000元，財務顧問希望至少在西部電纜公司上投資15000元，至少在康木交換公司投資10000元。有因為康木交換公司的風險比較高，所有財務顧問建議對康木交換公司的最大投資不能超過25

3、000元。A建立線性規(guī)劃模型，決定對西部電纜公司和康木交換公司應該各投資多少才能使總投資回報最大？B畫出可行域。C確定每個極點的坐標。D找出最優(yōu)解。設(shè)x=西部電纜公司的比例；y=康木交換公司的比例(375,400)；（1000,400）；（625,1000）；（375,1000）X=625;y=1000,總回報=27375案例分析3：線性優(yōu)化廣州某創(chuàng)業(yè)投資基金公司為計算機軟件和互聯(lián)網(wǎng)的應用發(fā)展提供創(chuàng)業(yè)基金。目前該基金公司有兩個投資機會：一個是需要資金去開發(fā)互聯(lián)網(wǎng)安全軟件的公司；另一個是需要資金去開發(fā)對顧客滿意度進行調(diào)查的應用軟件的公司，開發(fā)安全軟件的公司要求該基金運作公司必須在接下來3年給其第

4、1年提供600000元，第2年提供600000元，第3年提供250000元。開發(fā)調(diào)查應用軟件的公司要求基金公司在接下來3年給其第1年提供500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。該基金公司認為這兩項投資都是值得嘗試的。但是，由于其他的投資，公司只能在第1年共800000元，第2年投資700000元，第3年投資500000元。該基金運作公司的金融分析小組對這兩項計劃進行了調(diào)查，建議公司的目標應該是追求總投資利潤現(xiàn)值最大化。凈現(xiàn)值應考慮到3年后兩家公司的股票價值和3年內(nèi)的資金流出量。按8%的回報率計算，該基金公司的金融分析小組估計，如果對開發(fā)安全軟件的公司進行100%的投

5、資，凈現(xiàn)值應該是1800000元；對開發(fā)調(diào)查軟件的公司進行100%的投資，凈現(xiàn)值應該是1600000元。該基金公司對安全公司和市場調(diào)查的公司投入任何比例的資金。比如，如果基金公司對安全公司投資40%的資金，那么第1年就需要0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需要0.40*250000=100000元，在這種情況下，凈利潤的值就是0.40*180000=720000元。對市場分析公司的投資計算方法相同。管理報告對基金公司的投資問題進行分析，準備一個報告展示你的建議和結(jié)論。包括如下內(nèi)容1這兩種投資各應該占多大的比例？總投資的凈現(xiàn)值是多少？

6、2接下來3年的為兩個公司的資金分配計劃是什么？基金公司每年投資的總額是多少？3如果基金公司愿意在第1年追加100000元投資，會對投資計劃產(chǎn)生什么影響？4制定追加100000元投資以后的投資分配計劃。5你是否建議第1年再追回投資100000元。在該報告的中應該包括線性規(guī)劃和圖形的解等。設(shè)x=開發(fā)互聯(lián)網(wǎng)安全軟件的公司的比例；y=調(diào)查的應用軟件的公司的比例案例分析4：線性優(yōu)化廣州某投資咨詢公司，為大量的客戶管理高達1.2億元的資金。公司運用一個很有價值的模型，為每個客戶安排投資量，分別投資在股票增長基金、收入基金和貨幣市場基金。為了保證客戶投資的多元化，公司對這三種投資的數(shù)額加以限制。一般來說，投

7、資在股票方面的資金應該占總投資的20%40%，投資在收入基金方面的資金應該確保在20%50%，貨幣市場方面的投資至少應該占30%。此外，公司還嘗試著引入了風險承受能力指數(shù)，以迎合不同投資者的需求。如該公司的一位新客戶希望投資800000元。對其風險承受能力進行評估得出其風險指數(shù)為0.05。公司的風險分析人員計算出，股票市場的風險指數(shù)是0.10，收入基金的風險指數(shù)是0.07，貨幣市場的風險指數(shù)是0.01，整個投資的風險指數(shù)是各項投資占投資的百分率與其風險指數(shù)乘積的代數(shù)和。此外該公司預測股票基金的年收益是18%，收入基金的收益率是12.5%，貨幣市場基金的收益率是7.5%。現(xiàn)在基于以上信息，公司應

8、該如何安排這位客戶的投資呢？建立線性規(guī)劃模型，求出使總收益最大的解，并根據(jù)模型寫出管理報告。1如何將800000元投資于這三種基金。按照你的計劃，投資的年收益是多少？2假設(shè)客戶的風險承受指數(shù)提高到0.055，那么投資計劃更改后，收益將增加多少？3假設(shè)客戶的風險承受指數(shù)不變，仍然是0.05，而股票成長基金的年收益率從16%下降到14%，那么新的最佳投資方案是什么？4假設(shè)現(xiàn)在客戶認為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個約束條件即投資于股票增長基金的資金不可以超過投資于收入基金的資金，那么新的最佳方案是什么？5當遇到預期收益率變化時，你所建立的線性規(guī)模模型應該可以對客戶的投資方案做出修改，那么這

9、個模型的適用范圍是什么？設(shè)投資于三種基金的數(shù)額分別是，則投資的年收益是：1234，5對1部分的模型：由管理科學家軟件可得出a,b,c的范圍。案例分析5：線性優(yōu)化國家保險聯(lián)合會對股票證券領(lǐng)域進行投資。現(xiàn)有一筆200000元的資金需要將其投資于股票市場。擬投資的股票以及相應的財務數(shù)據(jù)如下：股票ABCD每股價格（元）100508040年收益率0.120.080.060.10單元元投資風險指數(shù)0.100.070.050.08風險指數(shù)是衡量股票你年預期年收益的相對不確定性的，數(shù)值越高，風險越大。風險指數(shù)是由公司的高級財務顧問制定的。國家保險聯(lián)合會的高級管理層制定了以下的投資方針：總的年收益率至少為9%，

10、任何一種股票投入資金量都不可以超過總資金量的50%。A建立一個線性規(guī)劃模型來確定風險最小的投資組合B如果公司忽略風險，以最大年收益率作為投資目標，那么應如何投資？C上述兩部分的投資組合在投資金額上相差多少元，為什么公司可能會更偏好（A）的選擇?設(shè)投資于四種股票的數(shù)額分別是ABC由上述兩部分得出。案例分析6：線性優(yōu)化海濱財務服務公司的一名投資顧問想要開發(fā)一個用于分配投資資金的模型。公司有以下4種投資選擇股票、債券、共同基金和現(xiàn)金。該公司預估了在下一個投資期里以上4種投資的年收益率和相應的風險如下表所示。投資年收益率%風險股票100.8債券30.2基金40.3現(xiàn)金10.0風險是用介于01之間的一個

11、指數(shù)來衡量的，更高的風險值意味著更大的波動性和不確定性由于現(xiàn)金是一種貨幣市場資金，它的年收益較低，但同時它是無風險的。我們的目的是確定投資組合中每種選擇的資金比例，以使總投資組合的年回報最大化（針對客戶所能承受的各個風險水平）。總風險是所有投資選擇的風險之和。比如，一個客戶將40%資金投資于股票，30%投資于債券，20%投資于基金，10%投資于現(xiàn)金，那么他的總風險是：0.4*0.8+0.3*0.2+0.2*0.3+0.1*0=0.44.有一名投資顧問將會與每名投資者商討其投資目標并決定一個最大風險值。對于一個謹慎的投資者，最大風險值不超過0.3；對于一個中度冒險的投資者，最大風險值介于0.30

12、.5之間；對于一個偏愛風險的投資者，最大風險值介于0.5以上。此外，對于所有的投資客戶，海濱財務公司還制定了特別的方針，這些方針如下所示。1對股票的投資不超過總資金的75%。2對基金的投資不少于對債券的投資。3對現(xiàn)金的投資介于總資金的10%30%。A假定某客戶的最大風險是0.4，那么最優(yōu)投資組合是什么？它的年收益率和總風險分別是多少？B假定某一個比較謹慎的客戶的最大風險值是0.18，那么最優(yōu)投資組合是什么？它的年收益率和總風險分別是多少？C假定某一個比較好冒險的客戶的最大風險值是0.7，那么最優(yōu)投資組合是什么？它的年收益率和總風險分別是多少？D參照C的結(jié)果，該客戶是否有興趣讓投資顧問增加對股票

13、允許投資的最大比例或是減少對現(xiàn)金數(shù)量至少為10%比例的約束，請加以解釋。E相對于直接用投資資金的數(shù)量，即金額來表示決策變量，我們前面用投資比例來表示決策變量有什么優(yōu)勢？決策變量：設(shè)投資于四種股票的比例分別是。ABCD或E模型簡單明了。案例分析7：線性優(yōu)化假設(shè)你是某基金管理公司的經(jīng)理，基金現(xiàn)有100,000美元現(xiàn)金，根據(jù)基金顧問的建議，共有5個投資機會如下：投資機會預期收益率(%)A東海石油7.3B南海石油10.3C西北鋼鐵6.4D東南鋼鐵7.5E政府債券4.5基于以前的教訓，持有人大會通過了決議，確立了投資方針如下： 投資限制1在任何行業(yè)（石油或鋼鐵）的投資不多于50,000美元2對

14、政府債券的投資至少相當于對鋼鐵行業(yè)投資的253對南海石油這樣高風險的投資項目，投資額不得多于投資石油行業(yè)總額的60請計算最優(yōu)的投資組合？設(shè)A,B,C,D,E分別表示投資于四個證券的資金數(shù)。則案例分析8 線性優(yōu)化風險厭惡的投資者的投資組合模型設(shè)計資產(chǎn)分配是關(guān)于決定如何分配投資資金到多種資產(chǎn)種類的過程，如股票、債券基金、房產(chǎn)和現(xiàn)金等。投資組合模型用來確定應該在每種資產(chǎn)種類上分配的投資資金的比例。目標是建立一個在風險和回報間提供最佳平衡的投資組合。我們現(xiàn)在將建立一個優(yōu)化模型來確定一個包含混合的共同基金的最佳投資組合。一個模型是為風險厭惡的投資者設(shè)計，另一個模型是為風險偏好的投資這設(shè)計的。廣州某投資服

15、務公司愿意建立一個投資組合模型，能用于確定一個混合6中共同基金的最佳投資組合。可以用多種方法代表風險，但是對金融資產(chǎn)的投資組合，所有方法都與回報的變化性相關(guān)。下表顯示6種基金的5個一年期的年回報率%。第1年表示所有基金的年回報都是好的，第2年內(nèi)大部分基金的年回報也是好的，但是第3年小市值價值基金的年回報不好，第4年的中期債券基金的年回報不好，第5年6個基金中有4個的年回報不好。表1 5個選定的基金績效（用于做接下來的12個月的計劃）年回報率%基金名稱第1年第2年第3年第4年第5年外國股票10.0613.1213.4745.42-21.93中期債券17.643.257.51-1.337.36大市

16、值成長32.4118.7133.2841.46-23.26大市值價值32.3620.6112.937.06-5.37小市值成長33.4419.403.8558.68-9.02小市值價值24.5625.32-6.705.4317.31精確預測任一基金在接下來12個月的回報是不可能的，但該公司的投資組合管理者認為上表的這5種回報可用于代表下一年投資回報的可能性。出于為他們的客戶建立投資組合的目的，該公司的投資組合管理者將選擇這6種基金的一個投資組合，并假定這5個可能方案中有一個能描述接下來12個月的回報。該公司的投資組合管理者被要求為公司的保守客戶建立一個投資組合。這類客戶對風險有很強的規(guī)避意識。

17、經(jīng)理的任務是決定投資在這6種基金上個各個比例，以使投資組合能以最小的風險提供最大可能的回報。在投資組合模型中，風險可通過多樣化達到最小化。為了說明多樣化的價值，我們 假定把所有投資都放在這6種基金的一種上。則每種基金都有可能損失，如外國股票損失21.93%。中期債券損失1.33%等等?，F(xiàn)在我們看一下如何構(gòu)建這些基金的一個多樣化投資組合，以最小化損失的風險。為了確定投資于每種基金的投資比例，我們使用如下變量：A=投資于外國股票基金的投資比例B=投資于中期國債基金的投資比例C=投資于大市值成長基金的投資比例D=投資于大市值價值基金的投資比例E=投資于小市值成基金的投資比例F=投資于小市值價值基金的

18、投資比例則投資組合在未來12個月的回報依賴于上表所有的可能方案（）第1年到第5年）中哪一個會發(fā)生。用R1代表如果第1年代表的方案發(fā)生時投資組合的回報，用R2代表如果第2年代表的方案發(fā)生時投資組合的回報，以此類推。5個計劃方案的投資組合回報如下所示：方案1的回報：方案2的回報：方案3的回報：方案4的回報：方案5的回報：現(xiàn)在我們引入變量M代表投資組合的最低回報。為了保證每種方案下的回報都至少與最低回報M一樣大，我們添加如下的約束條件： 方案1的最低回報 方案2的最低回報 方案3的最低回報 方案4的最低回報 方案5的最低回報代入前面的等的值，可得：為了建立一個能以最小風險提供最大可能回報的投資組合，

19、我們需要最大化投資組合的最低回報。因此，目標函數(shù)很簡單，如下：該模型被設(shè)計為最大化所有考慮方案的最低回報，所以稱為最大最小模型。完整的模型如下：s.t.案例分析9：線性優(yōu)化風險偏好的投資者的投資組合模型設(shè)計廣州某投資服務公司的投資組合經(jīng)理愿意為這樣一類客戶建立一個投資組合，這類客戶為了試圖獲得更好的回報而愿意接受中等程度的風險。假定這種風險分類的客戶愿意接受一些風險，但是不愿意投資組合的年回報低于2%。通過設(shè)定最大最小模型中的最低回報約束條件M=2，我們能約束模型來提供一個年回報最少2%的解。提供年回報最少2%的最低回報約束條件，如下所示： 方案1的最低回報 方案2的最低回報 方案3的最低回報

20、 方案4的最低回報 方案5的最低回報代入前面的等表達式，有下面5個最低回報約束條件：例外每個基金的比例之和為1，即：這個投資組合最優(yōu)化問題需要一個不同的目標。一個普遍方法是最大化投資組合的回報預期值。例如，如果我們假定計劃方案等可能性發(fā)生，我們?yōu)槊總€方案分配一個0.20的概率在這種情況下目標函數(shù)是：回報的預期值=目標函數(shù)中A的系數(shù)由下式?jīng)Q定：=12.03B的系數(shù)是6.89，C的系數(shù)是20.52，D的系數(shù)是13.52，E的系數(shù)是21.27，F(xiàn)的系數(shù)是13.18。因此目標函數(shù)是：因為目標是最大化回報的預期值，我們寫出該公司的目標如下：這個投資組合最優(yōu)化問題完整的線性優(yōu)化表達式包括六個變量和六個約束

21、條件。s.t.最優(yōu)解使用Excel規(guī)劃求解軟件或管理科學家軟件略。案例分析10 整數(shù)線性優(yōu)化下面通過一個實例來討論0-1整數(shù)規(guī)劃在項目投資預算中的應用。例：某通訊公司投資決策問題某通訊公司在制定今后四年的發(fā)展計劃中，面臨著若干個發(fā)展項目的選擇。這些項目是：引進新設(shè)備、研制新產(chǎn)品、培訓人才和增加廣告數(shù)量。這四個項目在今后四年內(nèi)的年投資額和預計在四年內(nèi)可獲得的利潤如表4-1所示。表4-1 公司發(fā)展項目投資、利潤與預算表項目引進新設(shè)備研制新產(chǎn)品培訓人才增加廣告數(shù)量資金預算第一年投資（凈現(xiàn)值）252010860第二年投資（凈現(xiàn)值）01510850第三年投資（凈現(xiàn)值）202010850第四年投資（凈現(xiàn)值

22、）01010835利潤40804020該公司每年可為這些發(fā)展項目提供的資金預算如表4-1所示。該公司應當如何投資，可在預算允許的情況下獲得最大利潤？解：根據(jù)題意，本問題要求在現(xiàn)有的四個發(fā)展項目中選擇出在不超出資金預算條件下使得總利潤最大的那些投資項目進行投資，這就是說，決策變量是對各個項目應當“投資”或“不投資”。這種邏輯關(guān)系可以用0-1變量表示。設(shè)本問題的決策變量為X1，X2，X3，X4，它們均為0-1變量，分別表示對四個項目的“投資”或不“不投資”決策，即當變量為1時，表示投資，當變量為0時，表示不投資。本問題的目標函數(shù)是總利潤最大。已知四個項目的利潤分別為40，80，40，20（萬元），

23、而總利潤應等于各項目利潤與其0-1決策變量的乘積之和。這是因為當某個項目未被選中時，它的決策變量為0，該項目的利潤與決策變量的乘積也等于0，說明這時該項目對總利潤沒有貢獻；而當某個項目被選中時，它的決策變量為1，該項目的利潤與決策變量的乘積就等于其利潤值，說明這時該項目對總利潤的貢獻等于該項目的利潤值。所以總利潤表達式為：40X1+80X2+40X3+20X4。本問題的約束條件有兩個。第一個約束是資金約束，即各年總投資額不得超過預算額，例如第一年的總投資額等于所選中項目的投資之和，即各項目在第一年的投資額與其0-1決策變量乘積之和，它等于25X1+20X2+10X3+8X4，該值應不大于第一年

24、的資金預算（60萬元）。同理可得第二年至第四年的資金約束。第二個約束是0-1約束，即決策變量只能取1或0。由此得到整數(shù)規(guī)劃模型如下：o.b. max 40X1+80X2+40X3+20X4s.t. 25X1+20X2+10X3+8X460（第一年資金約束）15X2+10X3+8X450（第二年資金約束）20X1+20X2+10X3+8X450（第三年資金約束）10X2+10X3+8X435（第四年資金約束）X1，X2，X3，X4為0或1（0-1整數(shù)規(guī)劃）上述問題的Spreadsheet如表4-2所示。表4-2 運算結(jié)果ABCDEFGHIJ1例 某通訊公司投資決策問題2數(shù)據(jù)34單元（元）5引進新

25、設(shè)備研制新產(chǎn)品培訓人才增加廣告可供資金(凈現(xiàn)值)6第一年投資 (凈現(xiàn)值)2520108607第二年投資 (凈現(xiàn)值)015108508第三年投資 (凈現(xiàn)值)2020108509第四年投資 (凈現(xiàn)值)0101083510項目利潤 (凈現(xiàn)值)408040201112模型1314總利潤凈現(xiàn)值最大化160左邊右邊1555<=601625<=5017引進新設(shè)備研制新產(chǎn)品培訓人才增加廣告50<=5018投資決策111020<=35其求解步驟如下。第一步，輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)與解一般線性規(guī)劃問題相同，首先在Excel的工作表上輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)：在單元格C6:F9中輸入四個項目在各年所需要的投資，在

26、單元格G6:G9中分別輸入各年可提供的資金，在單元格C10:F10中分別輸入四個項目的利潤。第二步：建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型在Spreadsheet上描述規(guī)劃問題的決策變量、目標函數(shù)與約束條件。本問題的決策變量是對四個項目“投資”或“不投資”決策，分別用單元格C18:F18中的0-1變量表示。本問題的目標函數(shù)是總利潤最大，用單元格D14表示總利潤，它應等于所選中項目的利潤之和，即在單元格D14中輸入下述公式：=sumproduct(C10:F10,C18:F18)本問題共有兩個約束條件。第一個約束條件是資金約束，即各年投資額不得超過預算額。第一年資金約束條件的左邊是第一年投資額。用單元格H15表

27、示第一年的投資額，它應等于每個項目在第一年所需投資與其0-1決策變量乘積之和，即在單元格H15中輸入下述公式：=sumproduct(C6:F6,$C$18:$F$18)將上述公式復制到單元格H16:H18，得到第二年到第四年的投資額。在約束條件右邊輸入可提供資金額。用單元格J15表示可提供資金額，并輸入下述公式：=G6將上述公式復制到J16:J18，得到第二年到第四年的可提供金額。第二個約束條件是決策變量必須為0-1變量。該約束條件在下一步規(guī)劃求解時輸入。第三步：在Excel規(guī)劃求解功能中輸入0-1整數(shù)約束并求解。在規(guī)劃求解參數(shù)框中輸入目標單元格（目標函數(shù)地址）、可變單元格（決策變量地址）和

28、第一、第二個約束條件。其中第二個約束條件是0-1變量約束，只要在約束條件左邊輸入要求取0或1的決策變量的單元格地址（本題中為C18：F18），然后選擇“bin”。其規(guī)劃求解參數(shù)框如圖4-1所示。圖4-1 項目投資決策問題規(guī)劃求解參數(shù)對話框然后在規(guī)劃求解選項參數(shù)框中“采用線性模型”和“假定非負”，最后在規(guī)劃求解參數(shù)對話框單擊“求解”，得到本問題的最優(yōu)解。從表4-1可見，本問題的最優(yōu)解為：X1=1，X2=1，X3=1，X4=0，最優(yōu)值為160萬元。這就是說，該公司的最優(yōu)投資決策是：對“研制新設(shè)備”，“研制新產(chǎn)品”，“培訓人才”三個項目投資，而對“增加廣告數(shù)量”項目不投資，可獲利潤160萬元。上面的

29、計算是很麻煩的，為了提高工作效率，減少出錯，我們編制如下的VBA程序：Sub js()Cells(15, 8) = "=SUMPRODUCT(C6:F6,$C$18:$F$18)"Cells(16, 8) = "=SUMPRODUCT(C7:F7,$C$18:$F$18)"Cells(17, 8) = "=SUMPRODUCT(C8:F8,$C$18:$F$18)"Cells(18, 8) = "=SUMPRODUCT(C9:F9,$C$18:$F$18)"Cells(15, 10) = "=G6&quo

30、t;Cells(16, 10) = "=G7"Cells(17, 10) = "=G8"Cells(18, 10) = "=G9"Cells(14, 4) = "=SUMPRODUCT(C10:F10,C18:F18)"SolverResetCall SolverOk("$D$14", 1, 0, "$C$18:$F$18")Call SolverOptions(AssumeLinear:=True, AssumeNonNeg:=True)Call SolverAdd(&qu

31、ot;$H$15:$H$18", 1, "$J$15:$J$18")Call SolverAdd("$C$18:$F$18", 5, "二進制")SolverSolve (True)End Sub注意：在調(diào)用任何包含SolverOk（）、SolverAdd（）等函數(shù)的宏之前，必須先建立一個對規(guī)劃求解的引用，保持Visual Basic模塊在激活狀態(tài)，點擊工具菜單中的引用，然后瀏覽并找到Solver.xla（這個工具通常放在OfficeLibrary目錄下）。案例分析11：整數(shù)線性優(yōu)化大型公司每年都要面臨著復雜的投資項目選擇的

32、問題，其中每一個備選項目凈現(xiàn)值大于0，做為單一項目都可以上馬。但在資本供應受到限制的情形下，不可能都上馬。財務經(jīng)理的任務是在限制的條件下，上馬適當?shù)捻椖恳允箍偟膬衄F(xiàn)值NPV最大化。實際問題中，資本供應的限制可能不止一期，此外備選項目之間的技術(shù)或市場關(guān)系亦可能構(gòu)成一些新的限制，如預備關(guān)系，多擇一關(guān)系和互斥關(guān)系等等。項目選擇問題可建立0-1規(guī)劃數(shù)學模型，大型問題借助于計算機求解。本章通過1個實例來討論整數(shù)規(guī)劃在項目投資選擇中的應用。例：某通訊公司投資決策問題某公司是一家工業(yè)公司，2005年它有6個備選項目通過了單個項目評估，項目都是大型項目，投資分兩期進行：0期（2005年）和1期（2006年），

33、按照公司的長期財務計劃，這兩期的總投資限額分別為8億5千元和6億元，每個項目的凈現(xiàn)值已估算完畢（折現(xiàn)率不盡相同），另外，由于技術(shù)工藝或市場原因，項目A、B和C為三擇一項目，項目B為的D的預備項目，項目E和F為互斥項目，問該公司應如何選擇以使投資總凈現(xiàn)值最大化？有關(guān)數(shù)據(jù)列成下表4-3。表4-3 某公司備選項目數(shù)據(jù) 單位：百萬元項目投資額凈現(xiàn)值0期1期A100100150B18050100C200150260D150180200E160120130F500100280資本限制850600我們首先建立上述項目選擇問題的數(shù)學模型：0-1規(guī)劃模型。項目A若被選擇上馬，令=1，否則=0，項目B，C，D，E

34、，F(xiàn)類推。這樣我們有6個決策變量，每一個只取兩個值0或1。這時總的上馬項目凈現(xiàn)值為：=該公司的目標是使最大化。在限制方面，首先是資本供應限制，第0年為第1年為上兩式左端和右端分別是第0期和第1期的資本需求量和供應量（即限制量）。其次是技術(shù)和其他限制。由題設(shè)，A，B，C為三擇一項目，即此三項目之中有一個且僅有一個被選中，于是+=1由于項目B為項目D的預備項目（或稱緊前項目），也就是說若項目D上馬的話，項目B必亦上馬，故或-0 另外，項目E和F為互斥項目，即勢不兩立，故+1總結(jié)上述內(nèi)容，該公司的項目選擇問題化為典型的0-1規(guī)劃：max=s.t.-0 +1+=1，=0或1上述問題的計算機求解方法求解

35、結(jié)果如下表4-4所示。表4-4 運算結(jié)果ABCDEFGHIJK12例 某公司投資決策問題3數(shù)據(jù)4單位：百萬元5ABCDEF資本限制6第0期(凈現(xiàn)值)1001802001501605008507第1期(凈現(xiàn)值)100501501801201006008凈現(xiàn)值1501002602001302809101112模型1314總利潤凈現(xiàn)值最大化580左邊右邊15830<=85016330<=60017ABCDEF0<=018投資決策0101011<=1191=1其求解步驟如下。第一步，輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)與解一般線性規(guī)劃問題相同，首先在Excel的工作表上輸入已經(jīng)數(shù)據(jù)：在單元格C6:H7

36、中輸入6個項目在各年所需要的投資，在單元格I6:I7中分別輸入各年可提供的資本，在單元格C8:H8中分別輸入6個項目的凈現(xiàn)值。第二步：建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型在Spreadsheet上描述規(guī)劃問題的決策變量、目標函數(shù)與約束條件。本問題的決策變量是對6個項目“投資”或“不投資”決策，分別用單元格C18:H18中的0-1變量表示。本問題的目標函數(shù)是總的凈現(xiàn)值最大，用單元格D14表示總的凈現(xiàn)值，它應等于所選中項目的凈現(xiàn)值之和，即在單元格D14中輸入下述公式：=SUMPRODUCT(C8:H8,C18:H18)本問題共有6個約束條件。第一個約束條件是資本約束，即各年投資額不得超過資本限制。第0年資本約束

37、條件的左邊是第0年投資額。用單元格I15表示第0年的投資額，它應等于每個項目在第一年所需投資與其0-1決策變量乘積之和，即在單元格I15中輸入下述公式：=SUMPRODUCT(C6:H6,C18:H18)在約束條件右邊輸入可提供資本額。用單元格K15表示可提供資本額，并在其中輸入數(shù)據(jù)850。用單元格I16表示第1年的投資額，在單元格I16中輸入下述公式：=SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)在約束條件右邊輸入可提供資本額。用單元格K16表示可提供資本額，并在其中輸入數(shù)據(jù)600。用單元格I16表示第1年的投資額，在單元格I16中輸入下述公式：=SUMPRODUCT(C7:H7,C1

38、8:H18)在I17中輸入=F18-D18。在單元格K17輸入數(shù)據(jù)0。在I18中輸入=G18+H18。在單元格K18輸入數(shù)據(jù)1。在I19中輸入=SUM(C18:E18)。在單元格K19輸入數(shù)據(jù)1。還有一個約束條件是決策變量必須為0-1變量。該約束條件在規(guī)劃求解時輸入。我們在Excel規(guī)劃求解功能中輸入0-1整數(shù)約束并求解。在規(guī)劃求解參數(shù)框中輸入目標單元格（目標函數(shù)地址）、可變單元格（決策變量地址）和第一、第二個、第三、第四、第五個約束條件。其中第六個約束條件是0-1變量約束，只要在約束條件左邊輸入要求取0或1的決策變量的單元格地址（本題中為C18：F18），然后選擇“bin”。其規(guī)劃求解參數(shù)框

39、如圖4-2所示。圖4-2項目投資決策問題規(guī)劃求解參數(shù)對話框然后在規(guī)劃求解選項參數(shù)框中“采用線性模型”和“假定非負”，最后在規(guī)劃求解參數(shù)對話框單擊“求解”，得到本問題的最優(yōu)解。從表4-4中可見，本問題的最優(yōu)解為：=0，=1，=0，=1，=0，=1，即項目B，D，F(xiàn)上馬為最優(yōu)選擇，這是三個項目的總凈現(xiàn)值為580百萬元，第0期占用資本850，第1期占用資本330，分別有20和270的剩余。上面的計算是很麻煩的，為了提高工作效率，減少出錯，我們編制如下程序：Sub js()Cells(15, 9) = "=SUMPRODUCT(C6:H6,C18:H18)"Cells(16, 9)

40、 = "=SUMPRODUCT(C7:H7,C18:H18)"Cells(17, 9) = "=F18-D18"Cells(18, 9) = "=G18+H18"Cells(19, 9) = "=SUM(C18:E18)"Cells(15, 11) = 850Cells(16, 11) = 600Cells(17, 11) = 0Cells(18, 11) = 1Cells(19, 11) = 1Cells(14, 4) = "=SUMPRODUCT(C8:H8,C18:H18)"SolverR

41、esetCall SolverOk("$D$14", 1, 0, "$C$18:$H$18")Call SolverOptions(AssumeLinear:=True, AssumeNonNeg:=True)Call SolverAdd("$I$15:$I$18", 1, "$K$15:$K$18")Call SolverAdd("$I$19", 2, "$K$19")Call SolverAdd("$C$18:$H$18", 5, "二進制&

42、quot;)SolverSolve (True)End Sub上述問題，假定公司對第0期和第1期的資本供應都是限制死了的，彼此不能竄換。如果公司靈活一點，說這兩年額度都撥給你投資部門了，今年花不完的錢可以明年再花，那么第0年投資的余額y=可以存入銀行，第1年變成y(1+r)其中r為年利率，則第1年資本供應為600+ y(1+r)這樣，上述投資項目選擇問題就化為0-1混合規(guī)劃問題max=s.t.-0 +1+=1，=0或1，實數(shù)如果公司進一步允許第0期可以借款，突破850的限制，但第1期必須平賬，則上述模型中y可正、可負。項目投資決策選擇問題總結(jié)上面的例子我們給出了在財力受到限制時進行投資決策的幾

43、種方法。然而在完全的資本市場上，這種限制并不必然發(fā)生。在資本結(jié)構(gòu)允許的情況下，多數(shù)公司在有合適的項目時，應該籌集到所需要的資本。許多公司的資本限制是“軟限額”，這并不是由于資本市場的不完善，而是基于公司的投資計劃，進行財務控制的需要。在公司內(nèi)部，部門經(jīng)理有時出于自己部門的需要而高估投資的機會，總部往往不細加考察，而是簡單地給各個部門一個投資上限。這種方法的好處之一是可能避免有偏的現(xiàn)金流預測給公司帶來損失，另一方面，又能避免粗放式發(fā)展。由于這種限制不是由資本市場不完全導致，而只是人為加上的，因此稱為“軟限額”。當資本市場不完全時，公司會擁有NPV大于0的項目，卻籌集不到充足的資金，這樣稱為“硬限

44、額”。有時公司從銀行借款或發(fā)行債券而資金仍不夠用，擬發(fā)行股票卻遭到怕失去控制權(quán)的老股東的反對時，也會遇到硬限額。這時的硬限額并不是由于資本市場不完全導致的。無論是軟限額，還是硬限額，都使決策的財力受到限制，這時都可采取上述介紹的方法進行投資項目選擇。案例分析12：動態(tài)優(yōu)化某公司建立一項提前退休計劃，作為其公司重組的一部分。在自愿簽約期臨近時，68為雇員辦理了提前退休手續(xù)。因為這些人的提前退休，在接下來的8年里，公司將承擔以下責任，每年年初支付的現(xiàn)金需求如下表所示。（單位：萬元）年份12345678現(xiàn)金需求430210222231240195225255公司的財務人員必須決定現(xiàn)在應準備多少錢，以

45、便應付為期8年的支出計劃。該退休項目的財務計劃包括政府債券的投資及儲蓄。對于政府債券的投資額限于以下3種選擇：債券價格（元）利率（%）到期年數(shù)（年）111508.8755210005.563135011.757政府債券的面值是1000，這意味著盡管價格不同，在到期時，也都要支付1000元。表中所示的利率是基于面值的。在制定這個計劃時，財務人員假定所有沒有被投資于債券的資金都被投資于儲蓄，且每年都可以獲得4%的利息。設(shè)：退休計劃所形成的8年期債務所需要的資金總額為F，第一年購買三種債券的數(shù)量分別為B1，B2，B3單位（份，每份1000元），每年年初存入銀行的資金分別為S1，S2，S3，S4，S5

46、，S6，S7，S8（千元）。每個約束條件都采用下面的形式：年初可使用資金-投資于債券與儲蓄的資金=該年的現(xiàn)金支付第1年：F-1.15 B1-B2-1.35B3 -S1=430第2年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210第3年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222第4年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231第5年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240第6年：1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5

47、-S6=195第7年： 1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225第8年： 1.1175B3+1.04S7-S8=255求解過程略。使用Excel規(guī)劃求解工具或管理科學家軟件。案例分析13：動態(tài)優(yōu)化莫頓金融公司必須決定在接下來的4個期間中，用現(xiàn)有資金進行兩項投資（A和B）時每一項所占的百分比。下表顯示了每一個期間可用的新資金數(shù)，以及進行每一項投資時必要的現(xiàn)金支出（負值）或者是投資收入（正值）。表格中的數(shù)據(jù)（以1000元為單位）表示如果將任一期間可用的資金全部投資在A或B上時，所花的費用或所得的收入。比如，如果莫頓公司決定將任一期間的資金全部投資在A上，在第1階段公司花費100

48、0元，第2階段花費800元，第3階段花費200元，第4階段則有200元的收入。但是要注意的是，如果莫頓公司決定將總資金的80%投資給A時，現(xiàn)金支出或收入將是所顯示值的80%。期間可用基金的新投資投資項目AB11500-1000-8002400-800-5003500-200-3004100200300任一期間可用的資金即是該期間新的投資基金、貸款基金、每一期間的存款及A、B兩項目投資收入的和。任一期間可用的資金可以用來償還貸款或前一期間的利息，用于儲蓄，支付A項目或是B項目的投資開支。假設(shè)每個階段的儲蓄利率10%，每個期間的借入資金的利率是18%。令：t期間的存款；：t期間的新貸款資金。這樣，

49、在任一期間t，前一期間的存款收入是：，前一期間貸款和利息的費用則是。在第4期間結(jié)束時，向A的預期投資現(xiàn)金值為3200元（假設(shè)資金全部投資在A上），而向B的預期投資現(xiàn)金值為2500元（假設(shè)資金全部投資在B上）。第4期間結(jié)束時額外的收入和費用將是第4期間的存款收入減去貸款與利息的和。我們定義決策變量如下：A項目的投資比例；：B項目的投資比例。例如，若=0.5，則在第1期間向A投資500元，而剩下的所有現(xiàn)金以及期間結(jié)束時A的投資價值將與0.5相乘。向B投資時也是如此。該模型中必須包括約束條件（），以確保投資百分比不超過100%。如果在任一期間借入的現(xiàn)金不超過200元，確定向A和向B投資的比例，以及各

50、期間的存款和借貸額，以使公司在第4期間結(jié)束時的現(xiàn)金值最大化。解：第1期可用資金：第2期可用資金：第3期可用資金：第4期可用資金：=，案例分析14：動態(tài)優(yōu)化例3：某公司為了盤活市場，打算向銀行貸款來開展更多的業(yè)務。現(xiàn)有兩種不同的貸款方式：第一種是10年長期貸款，年率7%，只能在2010年初貸1次，以后每年還息（10次），第10年后還本；第二種是1年短期貸款，年利率10%，可以在2010-2019年初貸，可貸10次，下一年還本付息。請問：如何貸款（貸款組合），才能使得公司在10年內(nèi)可以正常運轉(zhuǎn)？目前公司只有100萬元，每年的現(xiàn)金儲備最少50萬元，已知公司未來10年的凈現(xiàn)金流（預測），如表6-6所示

51、。希望在2020年年初的現(xiàn)金余額最多。表6-6 公司未來10年的凈現(xiàn)金流年份2010201120122013201420152016201720182019凈現(xiàn)金流（萬元）-800-200-400300600300-400700-2001000解：（1）決策變量:：設(shè)x為2010年初貸的年長期貸款額（萬元）；為2010-2019年初貸的年期貸款額（萬元）；輔助決策變量：表示2010-2020年初的現(xiàn)金余額（萬元）。（2）目標函數(shù)：使2020年初的現(xiàn)金余額最大，即：（3）約束條件：每年的現(xiàn)金余額上年的現(xiàn)金余額現(xiàn)金流貸款（長期、短期）還款（長期、短期的利息和本金）（這類似動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程）2

52、010年：公司目前有現(xiàn)金100萬元資金，現(xiàn)金支出800萬元，可以長期貸款x和短期貸款，所以有：2011年：現(xiàn)金支出200萬元，但要償還2010年長期貸款的利息7%x和短期貸款的本利，所以有：同理可知：2012年：2013年：2014年：2015年：2016年：2017年：2018年：2019年：2020年：2010年初長期貸款到期，需要償還本息，故有：每年的現(xiàn)金儲備最少50萬元：貸款額非負：于是，得到數(shù)學模型如下： S.t.編制求解此模型的VBA程序如下：Sub js()Cells(8, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(9, 6) = "

53、=-$C$3*$D$7"Cells(10, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(11, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(12, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(13, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(14, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(15, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(16, 6) = "=-$C$3*$D$7"Cells(17, 6) = &q

54、uot;=-$C$3*$D$7"Cells(8, 7) = "=-$C$4*E7"Cells(9, 7) = "=-$C$4*E8"Cells(10, 7) = "=-$C$4*E9"Cells(11, 7) = "=-$C$4*E10"Cells(12, 7) = "=-$C$4*E11"Cells(13, 7) = "=-$C$4*E12"Cells(14, 7) = "=-$C$4*E13"Cells(15, 7) = "=-$C$4*E14"Cells(16, 7) = "=-$C$4*E15"Cells(17, 7) = "=-$C$4*E16"Cells(17, 8) = "=-D7"Cells(8, 9) = "=-E7"Cells(9, 9) = "=-E8"Cells(10, 9) = "=-E9"Cells(11, 9) = "=-E10"Cells(12, 9) = "=