材料力學專題一梁的內力和內力圖

1、專題一 梁的內力和內力圖& 例1求圖1(a)所示梁截面 A、C的剪力和彎矩。解：1）求反力 ，2）求A左截面的內力，如圖(a)所示。， ， 3）求A右截面的內力，如圖(b)所示。， 4）求C左截面的內力，如圖(c)所示。，5）求C右截面的內力，如圖(d)所示。，圖1(a)(b)(c)(d)(e)【小結】求指定截面上的內力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結果一致。一般取外力比較簡單的一段進行分析。在解題時，通常假設截面上把內力為正，若最后計算結果是正，則表示假設的內力方向（轉向）與實際是相同的，否則是相反的。該題也可以不畫受力圖，不寫平衡方程而由前面的結論直接求得

2、結果。& 例2試計算圖2所示各梁指定截面（標有細線者）的剪力與彎矩。圖2AMe(b)BCl/2l/2ACBl/2l/2(a)FqACBl/2l/2(c)FAAMeBCFB圖(d)解：(a)取A+截面左段研究，取C截面左段研究，取B-截面左段研究， (b) 求A、B處約束反力如圖(d)所示，取A+截面左段研究，取C截面左段研究，取B截面右段研究，(c) 求A、B處約束反力取A+截面右段研究，取C-截面右段研究，取C+截面右段研究，取B-截面右段研究，& 例3試寫出圖3所示梁的內力方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。(b)圖3(a)解：(a) 求支反力： ， ： ， 列內力方程， 作剪力圖

3、和彎矩圖。(b) 求支反力：， FAy=0：，列內力方程作剪力圖和彎矩圖。(a)(b)(c)圖4& 例4利用內力方程作圖4(a)所示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：AC段有：，（0<x<2），（0x2）其剪力圖和彎矩圖如圖(b)(c)所示。由于結構是對稱的，荷載也是對稱的，BC段與AC段的FS圖是反對稱的，M圖是對稱的，據此特點可方便地作出AC段的剪力圖和彎矩圖。& 例5試用剪力、彎矩與荷載集度之間的微分關系判斷圖5所示各梁的內力圖形態(tài)，畫出剪力圖和彎矩圖。解：(a) 根據微分關系： 和 AC段：為常數，且，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線。CB段：為

4、常數，且，F(xiàn)S圖從左到右為向上的斜直線，M圖為向下凹的拋物線。 在C截面處，F(xiàn)S圖連續(xù)，M圖光滑。求得幾處特殊截面的內力值后即可作出梁的剪力圖與彎矩圖。(b)(a)(b) 求支反力： ， ： ， 判斷內力圖形態(tài)并作內力圖AC段：為常數，且q<0，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線，在距端截面處，M取極大值。CB段：，F(xiàn)S圖為水平直線，且FS<0，M圖從左到右為向下的斜直線。在C截面處，F(xiàn)S圖連續(xù)，M圖光滑。求得幾處特殊截面的內力值后即可作出梁的剪力圖與彎矩圖。(c) 求支反力：， ： ， 判斷內力圖形態(tài)并作內力圖AC段：為常數，且，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖

5、為向上凸的拋物線。截面處，有集中力作用，F(xiàn)S圖突變，M圖不光滑。CD段：為常數，且，F(xiàn)S圖從左到右為向下的斜直線，M圖為向上凸的拋物線。DB段：，圖為水平直線，且FS<0； 圖從左到右為向下的斜直線。(c)圖5(d) (d)求支反力： ，： ， 判斷內力圖形態(tài)，作內力圖FS圖：AD段，為水平直線； DB段，從左到右為向下的斜直線。M圖：AC段，且FS>0，從左到右為向上的斜直線； C截面處，有集中力偶作用，有突變； CD段，且FS>0，從左到右為向上的斜直線，且； DB段，為向上凸的拋物線，且與在點相切； 在距端截面處，F(xiàn)S=0，M取極大值17.93kNm。& 例6試

6、用疊加法畫出圖6所示梁的彎矩圖。圖6解：(a)(b)圖7(a)(b)(c)(d)& 例7試用畫出圖7 (a)所示梁的剪力圖和彎矩圖?！窘狻?）將梁從鉸B處分開，計算梁的外約束反力，如圖7 (b)。FAx=FBx=F'Bx=0，F(xiàn)Ay=FBy=F'By=FD =qa，MA= qa22）該梁的內力圖應分成AB，BC和CD三段繪制，各段的起點和終點內力值時應首先確定，用截面法計算出這些截面的內力并列于表1中，其中2a-和2a+分別為C偏左和偏右側截面的坐標。3）根據梁的內力微分關系，逐段判斷內力圖的大致形狀并作梁的剪力圖和彎矩圖。先作剪力圖。按一定比例，在坐標系中首先確定AB

7、、BC和CD梁段端點的剪力坐標點。AB段梁無分布載荷，由可以知道其剪力圖線為水平直線；BC段梁因q<0，剪力圖為下斜直線；同理，CD段梁因q>0，剪力圖為上斜直線，用上述直線連接這三段梁的端點，即可得到該梁的剪力圖，如圖7 (c)所示。(b)(a)圖8再作彎矩圖。AB梁段因q=0，剪力圖為水平線，且其剪力FS =qa>0，則知道彎矩圖為上斜直線；同理，BC梁段因，彎矩圖為上凸拋物線，CD梁段由于q>0，為下凸拋物線。在C截面作用有集中力偶qa2，彎矩數值由qa2/2突變到-qa2/2。根據關于梁的彎矩圖的曲線形狀的分析，從梁左端A截面開始，連接各梁段端截面的坐標點，即可

8、方便地繪制出梁的彎矩圖，如圖(d)所示。& 例8試用分段疊加法作圖8(a)所示梁的彎矩圖。解：1）計算支座反力，2）求控制截面處的彎矩。本例中控制截面為C、A、D、E、B、F各處，其彎矩分別為：3）把整個梁分為CB、AD、DE、EB、BF五段，然后用區(qū)段疊加法繪制各段的彎矩圖。方法是：先用一定比例繪出CF梁各控制截面的彎矩縱標，然后看各段是否有荷載作用，如果某段范圍內無荷載作用（例如CA、DE、EB三段），則可把該段端部的彎矩縱標連以直線，即為該段彎矩圖。如該段內有荷載作用（例如AD、BF二段），則把該段端部的彎矩縱標連一虛線，以虛線為基線疊加該段按簡支梁求得的彎矩圖。整個梁的彎矩圖如

9、圖8(b)所示，其中AD段中點的彎矩為：。& 例9圖9(a)為梁的剪力圖，試求此梁的荷載圖與彎矩圖（已知梁上無集中力偶）。圖9解：1）求荷載圖由FSA=50kN知梁在A處有一向下集中力為50kN，B截面兩側剪力由50kN突變到50kN，故梁在B截面必有一向上荷載100kN。AB段、BC段FS圖為水平線，故兩段無分布荷載作用，q=0。CE段為右下斜直線，斜率為常量，故梁上必有向下的均布荷載，荷載集度大小等于剪力圖的斜率，即E截面的剪力由50kN變到0，故梁上必有向上的集中力50kN。根據以上分析結果，可畫出梁的荷載圖如圖9(b)所示。（2）求彎矩圖AB段：FS為負值，且為水平線，故M為一向上斜直線。MA0，MB的大小等于AB間剪力圖面積，即MB50×150kN·m BC：FS為正值，且為水平線，故M為一向下的斜直線。CE段：q<0，M為一下凸曲線。q=25kN/m，D點FSD0，M有極值，。E端鉸處無集中力偶，MA0。根據上述分析，畫出梁的彎矩圖，如圖9(c)所示。練習題1、試求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和彎矩值。題1圖2、試寫出下列各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。(a)(b)(d)(e)(f)題2圖3、分別用微分法和疊加法作圖示各梁的剪力圖和彎矩圖（支座反力已給出）。(a)(b)