橢圓方程求法例題

1、橢圓的方程的求法一、 定義法【例1】已知的周長是18，求點的軌跡方程?！咀兪健浚涸谥荛L為定值的ABC中,已知|AB|=6,且當(dāng)頂點C位于定點P時,cosC有最小值為.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點C的軌跡方程.【解】:以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè) |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值,所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,所以焦距 2c=|AB|=6 因為 又 ,所以 ,由題意得 此時,|PA|=|PB|,P點坐標(biāo)為 P(0,±4).所以C點的軌跡方程為 【例2】已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，以坐標(biāo)原點為對稱中心，橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，求橢圓

2、的方程；【解法1】：有定義可得，點在橢圓上。所以，又故橢圓方程為：【解2】設(shè)橢圓方程點在橢圓上，OxyF2F1M【例3】已知圓，定點動圓M過點F2，且與圓F1相內(nèi)切求點M的軌跡C的方程.【解析】設(shè)圓M的半徑為r因為圓M與圓F1相內(nèi)切，所以MF14rOxyF2F1M因為圓M過點F2，所以MF2r所以MF14MF2，即MF1MF24所以點M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓且此橢圓的方程形式為1(ab0)其中2a4，c1，所以a2，b所以曲線C的方程1 【例4】設(shè)為直角坐標(biāo)系內(nèi)軸正方向的單位向量，且求點的軌跡的方程；【解析】由已知可得又知，即點到兩定點的距離之和為定值8，又8>4所以的軌跡為

3、以 為焦點橢圓，故方程為 【例5】已知的三邊長成等差數(shù)列,若點的坐標(biāo)分別為.求頂點的軌跡的方程;【解析】:因為成等差數(shù)列,點的坐標(biāo)分別為 所以且 由橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點長軸為4的橢圓(去掉長軸的端點), 所以. 故頂點的軌跡方程為 【例6】一束光線從點出發(fā),經(jīng)直線上一點反射后,恰好穿過點求以、為焦點且過點的橢圓的方程;【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點, 則,解得, ,根據(jù)橢圓的定義,得=, , 橢圓的方程為 【例7】已知圓，定點，點為圓上的動點，點在上，點在上，且滿足，求點的軌跡方程?！窘馕觥坑深}意可得：垂直平分，所以=，所以二、 待定系數(shù)法高考試題整理中的試題1（2009廣東）已知橢

4、圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率為，且上一點到的兩個焦點的距離之和為12，橢圓的方程3（2009浙江理）已知橢圓：的右頂點為，過的焦點且垂直長軸的弦長為求橢圓的方程 16（2009寧海理）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1求橢圓C的方程 7（2009山東理）設(shè)橢圓（）過，兩點，為坐標(biāo)原點，求橢圓的方程。9（2009全國）已知橢圓的離心率為，直線過右焦點F，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，坐標(biāo)原點到的距離為，求，的值10（2009安徽文）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，以橢圓短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切求a與b 14（2009湖南文

5、）已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）求橢圓C的方程三、 轉(zhuǎn)化已知條件【例1】已知點的坐標(biāo)分別是,直線相交于點M,且它們的斜率之積為.求點M軌跡的方程;【解析】:設(shè)點的坐標(biāo)為, 整理,得(),這就是動點M的軌跡方程 【例2】設(shè)Q、G分別為的外心和重心,已知,求點的軌跡【解析】:設(shè), 又Q是外心,且 ,即 【例3】已知動點P到直線的距離是到定點()的距離的倍.求動點P的軌跡方程;【解析】:設(shè)動點,由題意知. . 即動點P的軌跡方程是. 【例4】在平面直角坐標(biāo)系中,長度為6的線段PQ的一個端點P在射線y=0(x0)上滑動,另一端點Q在射線x=0(y0)上滑動,點M在線段PQ上,且求點M的軌跡方程;【解】:設(shè)點P、Q、M的坐標(biāo)分別是P(x1, 0)、Q(0,y1)、M(x, y) 其中x10,y10,依條件可得 可得： 代入(*)式,得 即點M的軌跡方程為 【例5】已知M（4，0）、N（1，0），若動點P滿足。求動點P的軌跡方程；【解】設(shè)動點P（x，y）， 則 由已知得， 化簡得 點P的軌跡是橢圓 【例7】已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且求動點的軌跡的方程；【解析】設(shè)，則， 即，即，所以動點的軌跡