矩陣的秩的若干等價刻畫-學士論文

1、 編號編號 學學士士學學位位論論文文矩陣的秩的若干等價刻畫矩陣的秩的若干等價刻畫學生姓名 學 號 系 部 專 業(yè) 年 級 指導教師 完成日期 年 月 日 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS1摘要本文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變化、相抵標準型、向量、矩陣的等價及分解等各個角度來刻畫矩陣的秩,進而用這些命題來證明與矩陣的秩有關的一些命題.關鍵詞:矩陣;秩;等價刻畫Several Equivalent Characterizations of Matrix RankAbstractFrom the Determinant, Linear Space, L

2、inear Equations, Linear Transformation, Offset Standard, Vectors, Matrices, equivalence and decomposition of various angles to characterize the Rank of Matrix, and thus to prove these propositions and Rank of the Matrix relating to a number of propositions.Key Words：Matrix; Rank; Equivalent Characte

3、rization; 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS2目目 錄錄摘要 .1ABSTRACT .1引言 .21.預備知識 .31.1 矩陣的基本概念.31.2 矩陣秩的求法.51.3 矩陣的相關定理.62.矩陣的秩的等價描述 .73.關于秩的命題() .104.關于秩的命題() .125.應用 .20參考文獻 .24致謝25 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS3引言矩陣的秩是線性代數(shù)的一個根本內容,它形容了矩陣的一個計算特征,也是矩陣的重要性質之一.在區(qū)分向量組的線性相關性,求矩陣的特征值,線性方程組有無解,在多項式,維數(shù)

4、空間以及空間幾何中等各個層次都有普遍的作用.之前高朝邦和祝宗山在論文1中寫了矩陣的秩的等價描述的命題,并給出了相關的證明. 本文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變換、相抵標準型、向量、矩陣的等價及分解等各個角度來描寫矩陣的秩的若干命題,并用這些命題來證實與矩陣的秩有關的一些命題.希望通過這些等價命題加深對線性代數(shù)的理解,對更好的掌握矩陣的秩的這一層次的理解起到幫助,使之在以后的數(shù)學學習中得到啟發(fā).1.預備知識1.1 矩陣的基本概念定義 1.1.12 數(shù)域中個數(shù)排列成的行列數(shù)表,記Pm n1,2,;1,2,ijaim jnm n做111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa稱為矩

5、陣,還可以記成或等.m n ijm nam nA設是的一個矩陣,是一個的矩陣,將和的乘積 ijm sAams ijs nBbsnAB稱為,其中 ijm nCABc 1 12221sijijijissikkjkca ba ba ba b1,2,;1,2,im jn負矩陣 令,則的負矩陣為. ijm nAaAijm nAa 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS4矩陣減法 .ijijm nABABab 定義 1.1.23 設,數(shù)與矩陣的乘積被記為,根據(jù)向量的數(shù)乘運 ijm nAaAA算,顯然有ijm nAa=注:矩陣的加法運算、數(shù)乘矩陣運算都稱為矩陣的線性運算,它們

6、與行列式的運算定義區(qū)別很大. 矩陣的線性運算滿足下列八條運算律(設皆是同型矩陣,為數(shù))., ,A B C O, (1)矩陣加法的交換律: ABBA(2)矩陣加法的結合律:ABCABC(3 右加零矩陣律: A OA(4)右加負矩陣律: AAO (5)1 乘矩陣律:1AA(6)數(shù)乘矩陣的結合律: =AA (7)矩陣對數(shù)加法的分配律:AAA(8)數(shù)對矩陣加法的分配律:ABAB定義 1.1.34 階子式:設在中任意取行列交錯處的元素,然后k ijm nAaAkk按原來相應位置組成的階行列式,被稱為的一個階子式.1min , kkm nAk例 1.1 共有個二階子式,并含有 4 個三階子123-1456

7、210-1-1A22344 33182C C 式,矩陣的第一、三行,第二、四列交錯處的元素所形成的二階子式為A,而為的一個三階子式.因而,矩陣總共有個22-10-1D 3123456101D AmnAkkmnC C階子式. k定義 1.1.45 令有 階子式不為,任意階子式(若存在的話)全 ijm nAar01r 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS5為,則 被稱為矩陣的秩,可記成或或秩.0rA R A rank A A規(guī)定:零矩陣的秩為.0注意:(1)例如,則中至少有一個 階子式,全部階子式等 R ArAr0rD 1r 于,且更高階子式均為,那么 是中不等于

8、零的子式的最高階數(shù). 0 0rA(2). TR AR A(3). , R Aminmn(4)若且,則.反之,如,則因此,是n nA0A R An R Am0A R An方陣可逆的充要條件.A(5) 矩陣行向量的秩被稱為矩陣的行秩; 矩陣列向量的秩被稱為矩陣的列秩.(6)向量組的線性極大無關組中所具有向量的個數(shù)被稱為這個向量組的秩.1.2 矩陣秩的求法1.2.1 子式判別法(定義)例 1.2 設階梯形的矩陣,求.123402700000B R B解 由于,存在一個二階子式不等于,然而任何三階子式都等于,112002B 00則. 2R B 結論:階梯形矩陣的秩就是非零行的行數(shù).例如,1230010

9、10010A120100B110010001C125034000D.2123081500070000E 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS6 3,2,R3,2,3R AR BCR DR E一般地,行階梯形矩陣的秩就是其“非零行的行數(shù)”也被稱為“臺階數(shù)”.例 1.3 設,如果,求111111aAaa 3R A a解 . 3R A 2a1111 =21011Aaaaa或.1a2a 1.2.2 用初等變換法求矩陣的秩定理 16 矩陣初等變換不變更矩陣的秩,即則AB R AR B注 1)只變更此行列式的符號.ijrr2)是中對應行（或列）的倍.ikrAk3)是將行列

10、式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的ijrkrk相對應元素上.1.2.3 求矩陣的秩方法 A1)矩陣可利用初等行變換化為階梯形矩陣.AB2)階梯形矩陣非零行的行數(shù)被稱為矩陣的秩.BA例 1.4 求.1024213-6-1-1-12A R A2121024102-4102-4213-601-1201-12-1-1-120-11-20000 rrA 2R A 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS71.3 矩陣的相關定理(1) Binet-Cauchy 定理7 設和分別為和矩陣,如果,則有ABn mm nnm,11211212|12 nniimnniii

11、ABABiiin其中表示的第行和第列所決定的子式.1212nnAiiiA1,2, n12, ,ni ii(2)Laplace 定理8 若為階方陣,對任意選定的行,則有Ank12, ,ki ii 1111212112121212|( 1)kknkkiijjjjnkkniiiiiinAAMjjjjjjiii其中表示的余子式.1212kkiiiMjjj1212kkiiiAjjj(3)維數(shù)定理9 3121212 dimdim dimdim(d)imWWWWWWW2.矩陣的秩的等價描述設,那么的非零子式的最高階數(shù)被稱為矩陣的秩,用表示,以m nAFA rA R A下是矩陣秩的等價描寫的一組命題1.設,則

12、,m nAF r Ar中不為零子式的最大階數(shù)是 ;Ar中有一個 階子式不等于零,所有階子式都等于零;Ar+1r中有一個 階子式不等于零,所有階子式都等于零;Ar+1r等價于;A000rE 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS8存在階可逆矩陣和階可逆矩陣,使得mPnQ000rEPAQ的行向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)是 個;Ar的列向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)是 個;Ar是的行空間的維數(shù); rA是的列空間的維數(shù); rA方程組含有 個獨立的方程,剩下的方程是這些方程的線性組合; 0AX r方程組的解空間的維數(shù)為; 0AX nr設維線性空間的一個基為,

13、維線性空間的一個基為nV12,n mW,從到的線性映射的矩陣為,12,m VWTA即 ,則的像空間的維數(shù)是 ; 1212, , , nmTATmI Tr設有線性映射 ; A,dimnmmFFXAXI Ar，存在型的列滿秩矩陣和型的行滿秩矩陣,使成立. m rPrnQ APQ存在 個線性無關的, 個線性無關的r112,nrF r,使得.112,mmF 1122rrA 證明:由秩的定義易知(1)(2)(3)(4).(1)(5).因為,故可將經過一系列的初等變換可化成.然而 R ArA000rE這一系列的初等變換可以用階初等矩陣和階初等矩陣m12,tP PPn表示,使得,12,sQ QQ211200

14、0rtsEPP PAQQQ令,由初等變換矩陣可逆知:可逆.2112,tsPPP PQQQQ,P Q(1)(5).由為可逆矩陣,使得,得,這相當,P Q000rEPAQ11000rEAPQ 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS9于由經過一系列的初等變換而得;又因為矩陣的秩不會由初等變換而改變,A000rE所以. R Ar(1)(6).設,為行向量,由于,由命題(2)知存在 階子式12TTTmATi R Arr,且所有,即有所在的 行線性不相關,且任意個行向量都線性相0rD10rDrDr1r關,因此的行向量組的一個極大無關組就是所在的 行,從而的行向量組的秩為Ar

15、DrA.r(1)(6).由的行向量組的秩為 ,依據(jù)向量組線性無關的條件可知,這 個行Arr向量所在的行的 階子式不為零,且全部階子都為零,故.r1r R Ar(1)(7)的證明和(1)(6)的證明類似.(1)(8)設的行向量組為,由它們所生成的行空間為: A12,TTTm112212, TTTmmmLR顯然從以上可得:行向量空間的維數(shù)與行向量組的秩相等.12,TTTm(1)(9)的證明和(1)(8)相似.(1)(10).矩陣的初等變換的過程實際上可以看作是解方程組的過程,0AX等價性顯然成立.(1)(11).由方程組的解空間的一個基就是方程組的基礎解系可0AX0AX知命題是成立的.(1)(12

16、).設的列向量組是,那么有線性方程組A12,m mI T有解,這的說的是的生成空間.AX12 ,m 12,m 12,m 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS10因此,從而的維數(shù)與的維數(shù)相等.而由(9)知12,mmI T mI T12,m 的維數(shù)與一樣,故命題成立.12,m R A(1)(13)由,則的行向量組有一個極大無關組,不妨設為 ,m nR Ar AFA,從而12,TTTiiir1112111111221121222221122222121122TTTTTriiiririTTTTTriiiririTTTTTmmmrirmimimririraaaaaaaa

17、aaaaAaaaaaa令.11121121222212,TriTriTmmmriraaaaaaPQaaa顯然為行滿秩 的矩陣,下面證明為列滿秩 的矩陣,即證就可以QrPr R Pr了.注意,由于被線性表示出的系數(shù)是惟一的,且12,TTTm12,TTTiiir被表示出的系數(shù)恰好是陣的第行,且分別為12,TTTiiir12,TTTiiirP12, ,ri ii即有 行線性無關,剩下的各行都可以由這 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,0,1Pr行線性表出,所以.r R Pr(1)(13)由,且,所以,APQ ,R Pr R Qr min,R AR PQR PR Qr只需證即可.而此時只

18、需利用一個結果就可以了;設分別是和 R Ar,A Bm r型矩陣,則有,由此可知.rn R ABR AR Br R Ar 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS113.關于秩的命題()設為階矩陣,Am n(1). Tr Ar A(2). 0 00kr Ar kAk(3). r Ar A(4). 1-1 0-1當 當 當knr Anr Ar Anr An(5)設是階可逆陣,是階可逆陣,則.PmQn r PAr AQr A(6);特別地,當時,有. Tr Ar Am nAR Tr A Ar A(1)(5)的證明略10 證明:方法 1,運用 Binet-Cauchy

19、公式.設,設,n mAF r Ar那么存在,然而所有 階子式都為零.記,則110rrllAjjssr（）CA A的 階子式Cr 111111111111110rrrrrrrllmllmrrrrrlljjllllllCAAAAjjlljjjjjj 因此.對于的任意 階子式 r CrCssr（）111111110ssssllmsssiiiillCAAjjlljj 所以,故. r Cr r Cr 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS12方法 2,設,那么存在可逆矩陣,使得m nAF Tr Arr AQ;其中,且所以,0AQC1111rmmraaCaa r Cr0CQ

20、 A 故0,0()000TTTTCC Cr A ACrr C C1111111110111 rrrrrTTllmllmrrllllllC CCCAAllrrr 所以.TTr A ArC Cr方法 3,記的解空間是,的解空間是,那么.0AX V0A AXWVW設,則.記,XW0X A AX 12,mAXYy yy則.所以.所以.這樣11220=mmYYy yy yyy 0,1iyim XV.VW故. dimdimTr A AnWnVr A4.關于秩的命題()(1) 0=0Arr Ar BB(2) 0Arr Ar BCB證明: (1)(2)證明見文獻11.(3)設,則. m nn lAFBF ()

21、min,r ABr Ar B 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS13證明：方法 1,設,當時, r Arsr111111110sssSiinsssiiiillABABjjlljj 所以.同理 () r ABrr A () r ABr B方法 2,設, r Ar00, ()()0000rsEEAPQ r ABrQBr設, r Bs11100, ()()0000ssEEBPQ r ABr APs方法 3,設,.那么存在可逆矩陣,使, r Ar r Bs,P Qr0CPA成立.s0BQD所以rs0()()0= (),000（）CCDr ABrPABQrDrr s方

22、法 4,設. 12n,ijnsAA AABb則.所以的列向量可以由的列向量nnn11121111,lljllllABb Ab Ab AABA線性表現(xiàn),故. () r ABr A考慮的行向量,可得.AB () r ABr B方法 5,記的解空間是,的解空間是,則.故0BX V0ABX WVW. dimdim()rank BlVlWrank AB 同理,考慮與,可得. 0B A X 0A X r Ar AB方法 6,12取 維線性空間的一個基,維線性空間的一個基lV12, lnU,維線性空間的一個基.設線性映射對,線性映射12,n mW12m, ，AAB,即B 學學 士士 學學 位位 論論 文文

23、BACHELOR S THESIS14,12,nA 12m,， AB12, l12( ,) nB因為,所以.mmIABI A dimr A(I AB)mdim(I A)m r A另一方面,因為,所以KerBKer AB dimr B(I)mBdimlKerBdimlKer ABdimmI AB r AB方法 7,用塊的初等變換0000AAABABEBEE又由于,事實上的列向量可由的列向量線性表示,所00()（）AArrEBEEBE以列向量可用線性表示.0AEB0AEE因此, 00()0ABAr ABnrrr AnEEE故,同理可證 r ABr A r ABr B方法 8,因為,0,0EBAA

24、ABE所以. ,0r ABr A ABr Ar A因為,所以.00EBBAEAB()()r( )0BBr ABrrBAB(4). ,r A Br Ar B證明:方法 1,設,即的列向量的極大無關組含 個向量 .所以,做列的 r ArAr初等變換可使除去 列外都為零;設.Ar r Bs同理可用列的初等變換使除 列外都為零 .所以,做列的初等變換可使Bs 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS15除列外全為零 .故.,A Brs ,r A Brsr Ar B方法 2,設,為的列向量的極大線性無關組. r Ar12,iiirAAAA設,是的列向量的極大線性無關組,則的

25、列向量可 r Bs12,jjjsBBBB,A B用,線性表出,故.12,iiirAAA12,jjjsBBB ,r A Brsr Ar B方法 3,設,則齊次線性方程組含有 個獨立的方程. r Ar0A Xr設,則齊次線性方程組具有 個獨立的方程. r Bs0B Xs這樣的獨立方程的個數(shù)至多為個.0AXBrs所以 .,Ar A BrrsB方法 4,設的解空間為,的解空間為,的解空間為0AXBV0A XW0B X,則.UWU因為,所以 dimdimdimdimWUWUWU ,dimdimdimAr A BrmWUmUWUmB. dimdimmWmUr Ar B方法 5,. 0,00ABAr A B

26、rrr Ar BBB方法 6,. ,00,A BAB利用結論“”. r ABr Ar B方法 7,設,.對的任意階子式,必至少有列來 r Ar r Bs,A B1 rs1r自或至少有列來自.對這些列用 Laplace 定理展開即可得到此子式為零.A1sB 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS16(5). r ABr Ar B證明:方法 1,設為的列空間的基,為的列空間的12,iiirAAAA12,jjjsBBBB基.則的列向量都可以用他們線性表示,故.AB r ABrsr Ar B方法 2,的每個列向量都可以由線性表出,AB,A B故 . ,r ABr A B

27、r Ar B方法 3,.故存在可逆矩陣,使得 r Ar r Bs1212,P P Q Q.這里.1122,APCQ BP DQ00,0000rrEECrDr則 .AB12120,0 QCQDP P所以. 1200()00QCCr ABrrr Ar BQDD方法 4,設,.,m nA BF rank Ar rank Bs故存在使得.1,m rPF122,r mm ss mQFPFQF1122,APQ BPQ因而.1122QAQPPB所以. 12,r ABr P Pr Ar B方法 5,. 000AABAr ABrrr Ar BBB方法 6,. 000ABABr ABrrr Ar BAA方法 7,

28、因為.,EABA BE 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS17所以. ,r ABr A Br Ar B方法 8,. ,r ABr AB Br A Br Ar B方法 9,13取維線性空間的一個基.維線性空間的一個基nV12, nmW .設線性映射對應,線性映射對應,即12m, ，AABBA12, n12m,， AB12, n12m,， B因為. mmmIIABIAB所以.dimmIABdim mmIAIBdim mIAdim mIB故. r ABr Ar B方法 10,設的解空間為,的解空間為,的解空間為=0AB XV=0AXW0BX,則.UVWU因為. d

29、imdimdimdimWUWUWU所以 ndimdimdimdimdimr ABVWUWUWU. n(n)r Ar Bnnr Ar B故. r ABr Ar B(6)、,這里. r ABr Ar Bn,m nn lAFBF證明:方法 1,設,則存在可逆矩陣,使得 .所以 r Ar,P Q000rEAPQ. 0()()00rEr ABrQBr QBnrr Ar Bn方法 2,設,則存在可逆矩陣,使得 r Ar r Bs11,P P Q Q 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS18,1100,0000rsEEAPQ BPQ所以100()0000rsEEr ABrQ

30、P設,這里 .則有111212122CCQPCC11r sCF 1110(00 Cr ABrr QPnrnsrsn方法 3,取 維線性空間的一個基,維線性空間的一個基lV12, lnU,維線性空間的一個基 .設線性映射對應,線性映射12, nmW12m,， AA對應,即BB,B12, l12, nBA12, n12,， mA考慮在的限制映射.則.AmI B:mAI BWm,mmIKerAKerABAIIAB因為.所以dimmI Adim KerAdimmI Bdimr ABmI ABdimmI AdimmI BdimmKerAI B. dimr BKerA r Br An方法 4,取 維線性空

31、間的一個基,維線性空間的一個基lV12, lnU,維線性空間的一個基 .設線性映射對應,線性映射12, nmW12,， mAA對應.BB因為.dimKer ABdimKerAdimKerB所以 . ()()nr ABnr Anr B 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS19方法 5,0000rAAABABEBEE所以.0()nArr ErABnr ABEB但是 0()Arr Ar BEB(7). r ABCr ABr BCr B證明:方法 1,設,則存在可逆矩陣,使得.所以 r Bs11PQ000sEBPQ.()(0)0ssEABCAPEQC所以()(0)0s

32、sEr ABCr APrEQCs. 00()()0000ssEEr APQr PQCsr ABr BCr B方法 2,.00000EBBCECBAEABEABC所以. 0BBCr Br ABCrr ABr BCAB方法 3,設是有限線性空間,是線性映,V W U L:A,VW:B,WUC :UL射,分別對應矩陣.考慮在和上的導出映射,我們有, ,A B CCmI ABmI B,dimmI CBAdimmKerCI BAdimmI BA,dimmI CBdimmKerCI BdimmI B因為,故有mmI BABI 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS20dim

33、mI CBAdimmI BAdimmKerCI BA,dimmI BAdimmKerCI BdimmI BAdimmI BdimmI CB所以. r CBAr CBr BAr B(8)設,則.0AB r Ar Bn證明:方法 1,設的解空間為,的列空間是的子空間,0AXVBV所以. dimr Ar Br AVn方法 2,由“”直接得出. r ABr Ar Bn方法 3,設,則存在可逆矩陣使得. r Ar,P Q000rEAPQ又設,這里是 行矩陣 .由題設,知即.12CQBC1Cr00,00rEQB10C所以. 2r Br QBr Cnr(9)設且,則.n nAF2AEr AEr AEn證明:

34、方法 1,因為,所以. 2AEEAE2r AEr AErEn因為,所以.0AEEAr AEr AEn方法 2,用塊的初等變換2202020100002EAEAEAEAEEEAEAEAEAEAEAE5.應用 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS211.設n nAF且2AA.求證. r Ar AEn證明:因為,所以 .AEAE r Ar AEr En因為,所以,所以.所以2AA20AA0A AE r Ar AEn2.設都是方陣,而且 .證明.,A Bn1ABABrank EABrank EABn證明:因為,所以1ABAB. 0EABEABEABABABABEE所以

35、r EABr EABn又因為. 2nrErEABEABr EABr EAB所以.r EABr EABn3.設都是階方陣,且,證明12,mA AAn120mA AA. 12(1)mr Ar Ar Amn證明:因為,所以120mA AA 1212,mmr A AAr Ar AAn. 123122(1)mmr Ar Ar AAnr Ar Ar Amn 又.所以.12,0mr A AA 12(1)mr Ar Ar Amn4.設都是級矩陣,證明:如果,且,那么,A Bn0ABBA () r Ar A14. r ABr Ar B證明:利用維數(shù)公式可得然 dim()dim()dim()dim()Ker AK

36、er BKer AKer BKer AKer B后只需驗證以及即可得結論. 0Ker AKer BKer Ker AKer BKer AB 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS22由得到,. () r Ar A ()Ker AKer A () RangeRa ge AnA任取一個向量,必存在使得x () Axr Ar A () AxRange ARange Ay.AxA y這樣可以拆分成.其中,x()xAyxAy ,yKer BxAyKer A從而. 0 KerKer AKer B反過來當然有,所以 0Ker AKer BKer 0Ker AKer BKer任

37、取,滿足,所以,xKer ABx2()0A xA AB x 2xKer AKer A進一步又有,從而. xKer B Ker ABKer AKer B反過來是顯然的, Ker AKer BKer AB因此. Ker AKer BKer AB5.設都是階方陣, .證明., ,A B Cn r Ar BAr ACr BAC證明:因為,且齊次線性方程組的解是是的解,所以方 r Ar BA0AX0BAX程組與同解.0AX0BAX要證,只要證明方程組與同解即可.顯然方程r ACr BAC0ACX0BACX組的解是的解.0ACX0BACX反之,設是的解,則,記,則,0X0BACX00BACX10BAX故也是的解,即,也即,所以是的解,故1X0AX10AX00ACX0X0ACX與同解,從而,.0ACX0BACXr ACr BAC10XCX6.設都是階方陣,而且.證明15,A BnABBA r ABr Ar Br AB證明:記分別為的行向量組生成的向量空間,易知包1234,W W W W, ,A B AB AB3W含在中. 由維數(shù)定理12WW 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS233121212 dimdim dimdim(d)imWWWWWWW即有. 12dim(