有標(biāo)題 對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用

1、本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題 目： 對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)生姓名： 付 艷 學(xué) 號(hào)： 200810010212 指導(dǎo)教師： 鄒 慶 云 專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 完成時(shí)間： 2012年5月 目 錄 0引言11主要結(jié)果2 1.1 對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異性2 1.2對(duì)角占優(yōu)矩陣行列式3 1.3對(duì)角占優(yōu)矩陣其逆矩陣對(duì)角占優(yōu)性4 1.4對(duì)角占優(yōu)矩陣其他相關(guān)性質(zhì)5 1.5關(guān)于矩陣對(duì)角占優(yōu)性在矩陣分解方面的應(yīng)用9 1.6關(guān)于矩陣對(duì)角占優(yōu)性在利用迭代法解線性方程方面的應(yīng)用11結(jié)論14參考文獻(xiàn)14 致謝15 對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生：付艷指導(dǎo)教師：鄒慶云摘要：本文根據(jù)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣、不

2、可約對(duì)角占優(yōu)等概念，討論了對(duì)角占優(yōu)矩陣的若干性質(zhì)及其應(yīng)用，而對(duì)角占優(yōu)矩陣有強(qiáng)、弱之分，本文主要以嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣為研究對(duì)象，適當(dāng)?shù)慕o出了不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣的一些性質(zhì)。本文主要研究了對(duì)角占優(yōu)矩陣的奇異性、行列式、特征值、以及其逆矩陣的對(duì)角占優(yōu)性，同時(shí)研究了矩陣對(duì)角占優(yōu)性在利用迭代法求解線性方程組，以及進(jìn)行矩陣LU分解等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：對(duì)角占優(yōu)矩陣，奇異性，迭代收斂性，行列式，特征值。Abstract：Based on the strict diagonally dominant matrix, not about diagonally dominantconcepts discussed d

3、iagonally dominant matrix of a number of nature and its application, and diagonally dominant matrix has strong and weak points of this paper mainly to strict diagonally dominant matrix for the study, are given an appropriate angle about the nature of some of the dominant matrix. This article on the

4、diagonally dominant matrix of singularity, the determinant, the characteristics of value, and its inverse matrix of diagonally dominant, while on a matrix diagonally dominant in the use of the method for solving linear Equations, as well as matrix LU decomposition, and other aspects of the applicati

5、on.Keywords：diagonal dominance matrix; irregularity; convergence of iterative; determinant; eigenvalue.0 引言各類對(duì)角占優(yōu)矩陣是數(shù)值代數(shù)和矩陣分析研究中的重要課題之一，19世紀(jì)末，人們?cè)谘芯啃辛惺降男再|(zhì)和值的計(jì)算時(shí)，就注意到“對(duì)角占優(yōu)”這一性質(zhì)，而對(duì)于對(duì)角占優(yōu)矩陣的一些性質(zhì)在數(shù)值計(jì)算、矩陣分解方面具有重要作用，因此，對(duì)對(duì)角占優(yōu)矩陣性質(zhì)及其應(yīng)用的探討成為許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的主要研究課題。定義1 若是矩陣，且滿足 （），則稱為對(duì)角占優(yōu)矩陣（嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣）。定義2 設(shè)階矩陣當(dāng)時(shí)，若的惟一的元素不為

6、0，則稱為不可約，否則稱為可約；當(dāng)時(shí)，把正整數(shù)的全體記為N，若存在一個(gè)非空集合K，它是N的真子集合（即KN,但KN）使,當(dāng)ik,jk.則稱為可約矩陣，否則稱為不可約矩陣。定義3 設(shè)階矩陣滿足下面三個(gè)條件： （1）為對(duì)角占優(yōu)矩陣， （2）為不可約矩陣， （3）嚴(yán)格不等式至少對(duì)一個(gè)下標(biāo)成立，則稱為不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣。1 主要結(jié)果1.1 關(guān)于對(duì)角占優(yōu)矩陣奇異性研究定理1 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則為非奇異。證明:用反證法。假設(shè)有非零向量滿足則存在正整數(shù)kn,使得且由此得 這與嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的性質(zhì)矛盾。 定理2若矩陣為不可約按行（或列）對(duì)角占優(yōu)矩陣，則非奇異。證明：僅考慮結(jié)論對(duì)不可約按行對(duì)角占優(yōu)矩陣成立。設(shè)

7、矩陣為不可約按行對(duì)角占優(yōu)矩陣，如果奇異，則存在非零向量，使得，記顯然且I非空，則 （1）如果，則與對(duì)角占有性矛盾。如果，令，則J非空，且由對(duì)角占優(yōu)性以及（1）即當(dāng)即時(shí)，故由上式立即得到，因此與矩陣不可約矛盾。證畢。1.2 關(guān)于對(duì)角占優(yōu)矩陣行列式的研究定理3設(shè)是（行或列）嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則和的主對(duì)角元素之積同號(hào)。而且，當(dāng)是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)， 。當(dāng)是列嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)時(shí)， 。證明:由假設(shè)知 。記于是 。注意到的對(duì)角元素是正實(shí)數(shù)：則的所有特征值具有正實(shí)部。這樣，由于是實(shí)的，復(fù)特征值必共軛成對(duì)出現(xiàn)，其積是正實(shí)數(shù)，而實(shí)特征值必為正實(shí)數(shù)，從而等于的所有特征值（按代數(shù)重?cái)?shù)計(jì)）之積必大于零。因此有 ，證畢。1.

8、3 關(guān)于對(duì)角占優(yōu)矩陣其逆矩陣對(duì)角占優(yōu)性的研究定理4設(shè)是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則是列元素嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。 證明:由于對(duì)角占優(yōu)，則可逆。令則因此，只須證明不失一般性，為了方便，取從而我們可得知注意到為了完成定理的證明，只須證明事實(shí)上，此式中最后的行列式是正的，因?yàn)槠渚仃囀切袊?yán)格對(duì)角占優(yōu)且對(duì)角元素全大于零，證畢。1.4 對(duì)角占優(yōu)矩陣其他相關(guān)性質(zhì)定理5設(shè)行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則對(duì)于任何成立 證明:依算子范數(shù)定義，存在使得令且令由得于是從而，證畢。定理6 設(shè)其中,為n階實(shí)方陣，若是對(duì)角占優(yōu)矩陣，則：（1） ；（2） 的所有主子式非負(fù)，即對(duì)所有的，有 ；（3） 的所有順序主子式非負(fù)；證明:設(shè)為階行交換初等矩

9、陣，則為對(duì)角占優(yōu)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)為對(duì)角占優(yōu)矩陣，據(jù)此對(duì)的行與行和列與列施行相同的交換，使得第一行除對(duì)角線上的元素以外，還有元素不為零，為討論方便，將記為，現(xiàn)設(shè)矩陣具有形式，其中滿足不全為零。（1） 對(duì)矩陣的階數(shù)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時(shí)，結(jié)論真。假定結(jié)論對(duì)階數(shù)小于的矩陣均成立。則當(dāng)階數(shù)為時(shí)，記這里顯然，我們證明對(duì)每一個(gè)，因?yàn)椋?，所以：因此再證仍是對(duì)角占優(yōu)的，注意到： 由條件第一行是行對(duì)角占優(yōu)的，現(xiàn)考慮行，記但是對(duì)角占優(yōu)的，所以有，從而所以仍是對(duì)角占優(yōu)的，設(shè)則是對(duì)角占優(yōu)的，由假設(shè)，于是。（2） 設(shè)是的任意階主子式，注意到仍是對(duì)角占優(yōu)的，于是由（1）有： 。（3）由（2）立得。下面給出例子說明上序性質(zhì)不能

10、作為對(duì)角占優(yōu)的充分條件。例1 設(shè)，則且的所有主子式均非負(fù)，但不是對(duì)角占優(yōu)的，事實(shí)上，若有正對(duì)角矩陣使得是對(duì)角占優(yōu)的，即則用第一行的3倍加到第二次行上去，有，但，此不可能，所以不是對(duì)角占優(yōu)的。15、關(guān)于矩陣對(duì)角占優(yōu)性在矩陣分解方面的應(yīng)用定理7 如果對(duì)角矩陣占優(yōu)的三對(duì)角線方程組 ，簡(jiǎn)記。當(dāng)時(shí)，且：則數(shù)值解三對(duì)角方程組的追趕法必可進(jìn)行到底。證明:由于方程組系數(shù)矩陣的各階順序主子式 的行列的值滿足：當(dāng)時(shí)，由于，則；當(dāng)時(shí)，由于，所以 ，又因?yàn)?且，則 ，所以 ，即；假設(shè)，當(dāng)時(shí)有，則當(dāng)時(shí)，由于對(duì)， ，而 ，且，所以，則 ，所以為對(duì)角占優(yōu)，所以，則，即證對(duì)任意有，所以可以作分解，則上述命題成立，證畢。1.6

11、 關(guān)于矩陣對(duì)角占優(yōu)性在利用迭代法解線性方程方面的應(yīng)用定理8 設(shè)階矩陣為強(qiáng)對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)，且，其中，則。證明:因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式為： ；而，于是的特征值為之根，記 下面來證明，當(dāng)時(shí)，即的特征值均滿足。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則有：這說明，當(dāng)時(shí)，矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則，矛盾，則，所以，證畢。例1 令，求證：。證明：由于為強(qiáng)對(duì)角占優(yōu)，而則的特征多項(xiàng)式 ，則特征值，故。類似于性質(zhì)3，我們可以得到如下性質(zhì)：定理9 設(shè)階矩陣為強(qiáng)對(duì)角占優(yōu)矩陣或不可約對(duì)角占優(yōu)，其中，則。上序兩條性質(zhì)在利用雅可比迭代法（高斯-塞德爾迭代法）解線性方程組，判斷迭代法的收斂性應(yīng)用廣泛。例2 設(shè)方程組，考察

12、雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法的收斂性。解:由于系數(shù)矩陣滿足：則系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，所以（同性質(zhì)3），（同性質(zhì)4）；所以，雅可比迭代法，高斯-塞德爾迭代法的收斂。定理10設(shè)，如果：（1） 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣（或?yàn)槿鯇?duì)角占優(yōu)不可約矩陣）；（2）。則解的迭代法收斂。證明:因?yàn)閲?yán)格對(duì)角占優(yōu)，故且非奇異，又SOR法的迭代矩陣為其中，而分別為對(duì)角，嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角，下面只須證明當(dāng)時(shí)，即可。反證法：假設(shè)有一個(gè)特征值，則有即有由于嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故所以只有事實(shí)上，令則 即故在時(shí)，也嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，從而，這與矛盾，故假設(shè)不成立，從而。即，SOR迭代法收斂，證畢。2 結(jié)論 針對(duì)我們對(duì)對(duì)角占優(yōu)矩陣的上序研究

13、，我們發(fā)現(xiàn)了對(duì)角占優(yōu)矩陣的非奇異性，以及某些特殊的對(duì)角占優(yōu)矩陣其特征值的實(shí)部是非負(fù)的，而對(duì)于嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣其逆矩陣也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，同時(shí)我們還給出了矩陣對(duì)角占優(yōu)性在矩陣的分解、以及用迭代法解線性方程組方面的應(yīng)用。但本文對(duì)弱對(duì)角占優(yōu)矩陣相關(guān)性質(zhì)的研究不夠深入，以及未涉及到塊對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)，在這些方面還需要廣大讀者做更深入的探討。參考文獻(xiàn)：1 曾金平·數(shù)值計(jì)算方法·長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)出版社，20062 李慶揚(yáng)，王能超，易大義·數(shù)值分析·北京：清華大學(xué)出版社，20013 郭世平·廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的若干基本性質(zhì)·安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)20054 程云鵬·矩陣論·西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2