計算方法浙大Chapter 5 數(shù)值積分及數(shù)值微分

1、上午8時47分44秒1 數(shù)值積分與數(shù)值微分數(shù)值積分與數(shù)值微分內(nèi)容提要5.1 問題的提出問題的提出5.2 插值型求積公式插值型求積公式5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式5.4 龍貝格（龍貝格（Romberg)求積公式求積公式5.5 高斯求積公式高斯求積公式5.6 數(shù)值微分數(shù)值微分5.1 問題的提出問題的提出牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz ）公式: 求解一元函數(shù)定積分問題若函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x) ,則 雖然在理論上或在解決實際問題中都起了很大的作用,但它并不能完全解決定積分的計算問題。babFaFdxxf)()()(定積分的計算（牛頓萊布尼茲公式）的三種局

2、限情況: (1)被積函數(shù)f (x)的原函數(shù)F(x)不易找到。例如 (2)被積函數(shù)f (x)沒有具體的解析表達式。其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示,無法求出原函數(shù)。2,ln1,sinxexxx5.1 問題的提出問題的提出(3)盡管f (x)的原函數(shù)能表示成有限形式但其表達式相當復(fù)雜。例如定積分 的被積函數(shù)的原函數(shù)比較復(fù)雜baxdx415.1 問題的提出問題的提出866972. 01221212ln2411110222104 xxarctgxxxxdxxI積分中值定理積分中值定理)()(abfdxxfba x0ab)(xf )( f),(ba 近近似似方方法法代代替替。一一般般很很難難得得到到，一一般般

3、用用在在積積分分區(qū)區(qū)間間上上的的平平均均值值是是被被積積函函數(shù)數(shù))()(xff 幾種精確度不高的積分方法幾種精確度不高的積分方法左矩形公式、右矩形公式左矩形公式、右矩形公式baafabdxxf)()()(babfabdxxf)()()(左矩形公式 右矩形公式 )(2()(abbafdxxfba 中矩公式中矩公式x0ab)(xfy2ba )2()(baff )()(abfdxxfba 梯形公式梯形公式)()(2)(bfafabdxxfba )()(abfdxxfba x0ab)(xf2)()()(bfaff 以上幾種方法都精確度不夠高！以上幾種方法都精確度不夠高！5.2 插值型插值型求積公式求積

4、公式 建立數(shù)值積分公式最基本的思想是選取一個既簡單又有足夠精度的函數(shù)(x),用(x)代替被積函數(shù)f(x),于是有 現(xiàn)用第4章介紹的插值多項式Pn(x)來代替被積函數(shù)f(x),即有 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn babadxxdxxf)()(banbadxxPdxxf)()(f(x)x0ab)(x 5.2 插值型插值型求積公式求積公式 bxxxan=10.在積分區(qū)間a, b上取一組節(jié)點作f(x)的n次插值多項式所以-與與f(x)無關(guān)無關(guān)-僅與積分僅與積分區(qū)間和積分點有關(guān)區(qū)間和積分點有關(guān)定義數(shù)值積分數(shù)值積分如下：是離散點離散點上的函數(shù)值函數(shù)值的線性組合線性組合)()(0iniinx

5、fafI積分系數(shù)積分系數(shù)- 與f(x)無關(guān)- 積分區(qū)間和積分點有關(guān)5.2 插值型求積公式插值型求積公式兩個問題：1、系數(shù) ai 如何選?。?、節(jié)點 xi 如何選取？5.2 插值型插值型求積公式求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式niihxxnkxxnabhbxxxaikkn.,2 , 1 , 0,1.,2 , 1 , 0,.0110)()()(xRxPxfnn取基點為等距取基點為等距，即利用拉格朗日差值多項式5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯柯特斯公式公式),(),()!1()()()()(1)1(00baxwnfxRyxxxxxPnnnininikkkikn 其中 這

6、里)(iixfy 5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 niniinbaninibanikkkikbababannfRyadxxwfnydxxxxxdxxRdxxPdxxf01)1(00)()()()!1(1)()()(5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 niiibanbannbanikkkikiyadxxfdxxwfnfRdxxxxxa01)1(0)()()()!1(1)(牛頓科特斯求積公式的余項由由 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。節(jié)點節(jié)點 f (x)牛頓科特斯求積公式5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式

7、柯特斯公式dsksninidskiksnccabdskiksnabdxxxxxansshxxnnikkinnnikknininnikkbanikkkiki 0000)()(0000)()!( !) 1(1)(0 ,令節(jié)點節(jié)點等距等距分布：分布：Cotes系數(shù)系數(shù))(nicx-xk=(x0+sh) (x0+kh)=(s-k)hxi-xk=(x0+ih) (x0+kh)=(i-k)h數(shù)。，就可以求出柯特斯系差值點數(shù)的常數(shù)，只要給出)(以及被積函數(shù),間系數(shù)是不依賴于積分區(qū))(nxfbaCni5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式) )()(2)()(babfafabdx

8、xf5 . 0|215 . 0| )21() 1(10210)1(110210)1(0ssdsCssdssC當n=1時，可算得得到梯形公式dsksninidskiksncnnikkinnnikkni 0000)()()!( !) 1(1)(niiibayadxxf0=5.2 插值型插值型求積公式求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 )()2(4)(6)()(babfbafafabdxxf61) 1(4164)2(2161)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0dsssCdsssCdsssC當n=2時，可得得到辛普生公式dsksninidskiksncnnikkinnnikkni

9、 0000)()()!( !) 1(1)(niiibayadxxf0=5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式辛普辛普生生公式公式5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式當n=3時，可得81)2)(1(18183) 3)(1(6183) 3)(2(6181) 3)(2)(1(18130)3(330)3(230)3(130)3(0dssssCdssssCdssssCdssssC得到數(shù)值積分公式為)()(3)(3)(8)(3210 xfxfxfxfabdxxfba5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 類似地可分

10、別求出n=4,5,時的柯特斯系數(shù),從而建立相應(yīng)的求積公式。具體結(jié)果下表。梯形公式系數(shù)辛普生公式系數(shù) 或 拋物線公式系數(shù)柯特斯公式系數(shù)nCk(n)k=0,n111/22141/631331/8473212327/905197550507519/288641216275722721641/8407751357713232989298913233577751/1728089895888-92810496 -454010496 -9285888989/28350柯特斯系數(shù)表柯特斯系數(shù)表10)( nknkC5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 從表中可以看出,當n7時,柯

11、特斯系數(shù)為正;從n8開始,柯特斯系數(shù)有正有負。因此,當n8時,誤差有可能傳播擴大,牛頓柯特斯求積公式不宜采用。 柯特斯系數(shù)C(n)i僅與n和i有關(guān),與被積函數(shù)f(x)無關(guān),且滿足 10)(niniC5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式例1 試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分dxx.150) )()(2)()(babfafabdxxf )()2(4)(6)()(babfbafafabdxxf5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式例1 試分別用梯形公式和拋物線公式計算積分解利用梯形公式原積分的準確值利用辛普生公式4267767. 01

12、5 . 025 . 0115 . 0dxx43096441. 03215 . 02315 . 0 xdxx43093403. 0175. 045 . 065 . 0115 . 0dxx) )()(2)()(babfafabdxxf )()2(4)(6)()(babfbafafabdxxf5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式誤差估計：牛頓柯特斯求積公式的余項為 易知,牛頓柯特斯求積公式對任何不高于n次的多項式是準確成立的。這是因為 故dxxwfnfRnbann)()()!1(1)(1)1(0)(fRn01+)()(fn5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓

13、-柯特斯公式柯特斯公式 代數(shù)精度代數(shù)精度的概念是：假如（3.1）式的求積公式對f(x)=1，x，x2，xm恒精確成立，而當f(x)=xm+1時就不精確成立，我們就稱公式（3.1）的代數(shù)精度為m。)()(0iniinxfafI梯形公式和辛普生公式的代數(shù)精度是？ )()2(4)(6)()(babfbafafabdxxf)()(2)(bfafabdxxfba 5.2 插值型求積公式插值型求積公式 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 定理1 (梯形公式的誤差)設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)的二階導數(shù),則梯形求積公式的誤差為),(),( 12)()(31bafabfR 定理2 (辛普生公式的誤差)：設(shè)f

14、(x)在a, b上有連續(xù)的四階導數(shù),則辛普生公式的誤差為),(),(2880)()()4(52bafabfR 定理3 (柯特斯公式的誤差)：設(shè)f(x)在a, b上有連續(xù)的六階導數(shù),則柯特斯公式的誤差為5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)合復(fù)合求積公式。求積公式。5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形 在每一個子區(qū)間在每一個子區(qū)間xi，xi+1上使用梯形公式。上使用梯形公式。復(fù)合梯形公式對于定積分 將積分區(qū)間a, b分成n個相等的子區(qū)間xi，xi+1,這里步

15、長)()()(aFbFxfba1,.,1 , 0,1nixxnabhii),(),( 12)()(2)(1311iiiiiixxxxfhxfxfhdxxfii相加后得5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形),(),( 12)()(31bafabfR) )()(2)()(babfafabdxxfbaniiiifhxfxfhdxxf1031)( 12)()(2)(若f(x)在a,b上連續(xù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在某一(a,b)使得)( )( 10fnfnii5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形于是得到復(fù)合梯形公式)( 12)()(23)(1fnabfRn )(2)()(2)(110ni

16、inbaxfxfxfhdxxf其余項為5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形= Tnbaniiiifhxfxfhdxxf1031)( 12)()(2)()( )( 10fnfnii-=bahn5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形例2 若用復(fù)合梯形公式計算積分 問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字 dxex10)( 12)()(23)(1fnabfRn5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形例2 若用復(fù)合梯形公式計算積分 問積分區(qū)間要等分多少才能保證有五位有效數(shù)字 解由余項公式dxex102)(123)(112)()( 1)( )( )()( 12)()(nefRexfabex

17、fxfxffnabfRnxn5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形 由于原積分的準確值具有一位整數(shù),因此要使近似積分值有五位有效數(shù)字,只需取n滿足8266. 126lglg4lglg4lg26lg1061021124242enenenne所以 n 至少為68n 67.0815.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-梯形梯形例3 根據(jù)給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表,用復(fù)合梯形公式計算dxxxI10sinxxxfsin)(5.3 復(fù)合復(fù)合求積公式求積公式-梯形梯形xxxfsin)(1 )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式解:用復(fù)合梯形公式 =0.945690

18、5 而I的準確值為0.946 083 1,可見復(fù)合梯形公式還不夠精確。 )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4 fhabfR 5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-Simpson 公式公式nnknkkknknkkkbaCbfxfxfxfxfafhdxxf )(7)(14)(32)(12)(32)(790)(10101010432141)(4945)(2)6(6 fha

19、bCIfRn 5.3 復(fù)合求積公式復(fù)合求積公式-柯特斯公式柯特斯公式誤差估計：誤差估計：)(2180)4(4 fhabfR 復(fù)復(fù)合合拋拋物物線線公公式式余余項項：),(),()(122bafabhfR 復(fù)復(fù)合合梯梯形形公公式式余余項項：復(fù)合柯特斯公式余項：)(4945)(2)6(6 fhabCIfRn 例：例：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494運算量基運算量基本相同本相同= 3.1415925024=kxk其中其中 )1()(2)(4)0(24130301421 kkkkfxfxffS )()(2)(4

20、)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf= TnQ: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上例中若要求上例中若要求 ，則，則610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949. 0 h即：取即：取 n = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對分不斷對分的方法，即取的方法，即取

21、 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時，時，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對分時注意到區(qū)間再次對分時412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用來判斷迭代可用來判斷迭代是否停止。是否停止。214)(xxf ),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk 事后誤差估計法事后誤差估計法變步長梯形求積法變步長梯形求積法變步長梯形求積法步驟：變步長梯形求積法步驟：）。，否否則則重重復(fù)復(fù)（并并，則則終終止止計計算算，預(yù)預(yù)先先設(shè)設(shè)定定的的精

22、精度度若若；利利用用梯梯形形公公式式計計算算等等分分），等等分分變變成成，由由原原來來的的將將積積分分區(qū)區(qū)間間二二等等分分一一次次則則分分，即即取?。├糜锰萏菪涡喂绞接嬘嬎闼惴e積2)(|)32)2);()(2, 112221nnnnTITTTnnbfafhTabhn )(3122nnnTTTI 預(yù)先設(shè)定精度的三倍！預(yù)先設(shè)定精度的三倍！梯形求積法的遞推化梯形求積法的遞推化 10101011102112)(221)(2)()(42)()(2)()(221,2121212121nkknnkknkkkkknkkknkkkkknxfhTxfhxfxfhxfxfxfxfhTxxxxxT利用梯形公式

23、有：利用梯形公式有：）（只增加了一個分點只增加了一個分點分一次，每個子區(qū)間分一次，每個子區(qū)間求積區(qū)間再二等求積區(qū)間再二等重復(fù)計算，這是因為將重復(fù)計算，這是因為將導致節(jié)點處的函數(shù)值的導致節(jié)點處的函數(shù)值的會會直接利用梯形公式計算直接利用梯形公式計算二步中，二步中，變步長梯形求積法的第變步長梯形求積法的第即可。即可。只需要計算只需要計算利用梯形公式計算利用梯形公式計算二步中，二步中，變步長梯形求積法的第變步長梯形求積法的第)(212 knxfTxkxk+1xk+1/2hh/2f(xk)f(xk+1)f(xk+1/2)5.4 龍貝格龍貝格(Romberg)積分方法積分方法 我們已經(jīng)知道,當被積函數(shù)f(

24、x)在區(qū)間a,b上連續(xù)時,要使得復(fù)合梯形公式比較精確地代替定積分 可將分點(即基點)加密,也就是將區(qū)間a,b細分,然后利用復(fù)合梯形公式求積。dxxfba)(梯形法的遞推化 實際計算中，由于要事先給出一個合適的步長往往很困難，所以我們往往采用變步長的計算方案，即在步長逐步分半的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進行計算，直到所求得的積分值滿足精度要求為止。設(shè)表示復(fù)化梯形求得的積分值，其下標是等分數(shù)，由此則有遞推公式其中hkaxnabhk)21(,21其中10212)(221nkknnxfhTT梯形法的加速梯形法的加速由復(fù)化梯形公式的截斷誤差公式可得， 412nnTITI)( 12)()()(2fhab

25、fTfIn)( 212)()()(22fhabfTfInn等分區(qū)間2n等分區(qū)間梯形法的加速梯形法的加速 由此可知， 這樣導出的加速公式是辛普生公式)(3122nnnTTTInnTTI31342 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf= Tn= Sn龍貝格算法 我們可以在步長逐步分半過程中將粗糙的積分值逐步加工為精度較高的積分值 :nnnRCS,nnnnnnnnnCCRSSCTTS631_636415115163134222144222nnnSSC144323nnnCCR1442n

26、nnTTS 將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的積分值序列 ，這種加速方法稱為龍貝格算法。nnnRCS,一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序序列列 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 T8 T4 T2 S1 R1 S2 C1 C2 S4 ?龍貝格算法例題龍貝格算法例題例4用Romberg公式計算積分(計算過程中保留小數(shù)點后五位)dxxI1021410212)(221nkknnxfhTT )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf=nTnnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRC

27、C 144323龍貝格算法例題龍貝格算法例題例4用Romberg公式計算積分解：按Romberg公式的求積步驟進行計算，結(jié)果如下：dxxI102142) 1 (, 4)0(, 1, 0,14)(2ffbaxxf324212) 1 ()0(1ffT13333. 33134, 1 . 3)21(21,516)21(12112TTSfTTf(1)這里 (2)計算 10212)(221nkknnxfhTT )(2)()(2)(110niinbaxfxfxfhdxxf龍貝格算法例題龍貝格算法例題(續(xù)續(xù)1）)41(f)43(f14212. 3151614157. 334213118. 3)43()41(4

28、1211212424SSCTTSffTT(1)計算然后由公式算出及10212)(221nkknnxfhTT龍貝格算法例題龍貝格算法例題(續(xù)續(xù)2）),87(),85(),83(),81(ffff并由公式(3.3)和逐次分半加速公式，算出14158. 314114414159. 314114414159. 3141144)87()85()83()81(812113233122422248448CCRSSCTTSffffTT龍貝格算法例題龍貝格算法例題( (續(xù)續(xù)3 3）把區(qū)間再分半，重復(fù)步驟(4)(4)，可算出結(jié)果：14159. 314102dxxn至此得 ，因為計算只用小數(shù)點后五位，故精確度只要求

29、到0.000010.00001因此積分5.6 5.6 數(shù)值微分數(shù)值微分 自然而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商hhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfhhh2)()(lim)()(lim)()(lim)( 0001.當函數(shù)f(x)f(x)以離散點列給出時，要求我們給出導數(shù)值，2.函數(shù)f(x)f(x)過于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導數(shù)值微積分中，關(guān)于導數(shù)的定義如下：5.6 5.6 數(shù)值微分數(shù)值微分hxfhxfxf)()()( 00hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()()()( ! 2)()()( )(000hOfhhxfhxfxfxR由Taylor展開因此，有誤差5.6 5.6 數(shù)值微分數(shù)值微分hhxfxfxf)()()( 00hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()()()( ! 2)()()( )(000h