中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--知識(shí)講解基礎(chǔ)

1、中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題3.掌握?qǐng)D形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮小4.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1. 比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a，b的長(zhǎng)度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做

2、比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的基本性質(zhì)：a：b=c：dad=bc a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形1.相似圖

3、形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比

4、，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊

5、和一條直角邊的比對(duì)應(yīng)相 等，那么這兩個(gè)三角形相似.考點(diǎn)三、位似圖形1.位似圖形的定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.2.位似圖形的分類：(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.3.位似圖形的性質(zhì)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.【要點(diǎn)詮釋】位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.4.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

6、，并任取一點(diǎn)作為位似中心；第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接截取點(diǎn).【要點(diǎn)詮釋】在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐 標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類型一、比例線段1.在比例尺1：10 000 000的地圖上，量得甲、乙兩個(gè)城市之間的距離是8 cm，那么甲、乙兩個(gè)城市之間的實(shí)際距離應(yīng)為 _km.【思路點(diǎn)撥】地圖上的比例尺是一種比例關(guān)系，即圖上距離與實(shí)際距離的比.【答案與解析】1：10 000 000=8：80 000 000，即實(shí)際距離是80 000 000cm=800km.

7、【總結(jié)升華】本題考點(diǎn):比例性質(zhì).舉一反三： 【變式】如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小明用長(zhǎng)為2m的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距6m、與樹相距15m，則樹的高度為_m【答案】因?yàn)?，所以樹?7.類型二、相似圖形【高清課堂：圖形的相似 考點(diǎn)7 （3）】2如圖，一個(gè)矩形ABCD的長(zhǎng)AD=cm，寬AB=cm，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接E、F，所得新矩形ABFE與原矩形ABCD相似，求:的值 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得【答案與解析】矩形ABCD的長(zhǎng)AD=，寬AB=，則AE=AD=又矩形AEFB與矩形ABCD相似=

8、，即,即【總結(jié)升華】本題主要考查了相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，注意分清對(duì)應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵3如圖，ABC是一塊直角三角形的木塊，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一塊面積最大的正方形木塊，問按正方形CDEF加工還是按正方形PQRS加工？說出你的理由.【思路點(diǎn)撥】要加工成一塊面積最大的正方形木塊，有兩種方法，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，比較大小即可.【答案與解析】(1)如圖1，設(shè)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為x，則有，得x=cm；(2)如圖2，設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為y，作CNAB于N交RS于M，而知CN=， 同樣有得(cm)，x-y=0

9、，故xy， 所以按正方形CDEF加工，可得面積最大的正方形.【總結(jié)升華】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；對(duì)應(yīng)高的比等于相似比舉一反三：【變式】已知矩形ABCD，長(zhǎng)BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn).若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與BDC相似？【答案】設(shè)經(jīng)x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD= 90°，(1)當(dāng)1=2時(shí)，有：， 即；(2)當(dāng)1=3時(shí)，

10、有：， 即 經(jīng)過秒或2秒，PBQBCD.4. （2016閔行區(qū)一模）如圖，已知在ABC中AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，點(diǎn)E在線段DF的延長(zhǎng)線上，且BAE=BDF，點(diǎn)M在線段DF上，且EBM=C（1）求證：EBBD=BMAB；（2）求證：AEBE【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ABC=C，由已知條件得到EBM=C，等量代換得到EBM=ABC，求得ABE=DBM，推出BEABDM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）連接AD，由等腰三角形的性質(zhì)得到ADBC，推出ABDEBM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ADB=EMB=90°，求得AEB=BMD=90&#

11、176;，于是得到結(jié)論【答案與解析】證明：（1）AB=AC，ABC=C，EBM=C，EBM=ABC，ABE=DBM，BAE=BDF，BEABDM，EBBD=BMAB；（2）連接AD，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，ADBC，ABD=EBM，ABDEBM，ADB=EMB=90°，AEB=BMD=90°，AEBE【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5（2015麗水）如圖，在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE上的一點(diǎn)，連結(jié)CF并延

12、長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，MNCM交射線AD于點(diǎn)N（1）當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí)，求證：AM=CE；（2）若=2，求的值；（3）若=n，當(dāng)n為何值時(shí)，MNBE？【思路點(diǎn)撥】（1）如圖1，易證BMFECF，則有BM=EC，然后根據(jù)E為CD的中點(diǎn)及AB=DC就可得到AM=EC；（2）如圖2，設(shè)MB=a，易證ECFBMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EC=2a，由此可得AB=4a，AM=3a，BC=AD=2a易證AMNBCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到AN=a，從而可得ND=ADAN=a，就可求出的值；（3）如圖3，設(shè)MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=na由MNBE，MNMC可得EFC=HMC=90°，

13、從而可證到MBCBCE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出n的值【答案與解析】解：（1）當(dāng)F為BE中點(diǎn)時(shí)，如圖1，則有BF=EF四邊形ABCD是矩形，AB=DC，ABDC，MBF=CEF，BMF=ECF在BMF和ECF中，BMFECF，BM=ECE為CD的中點(diǎn)，EC=DC，BM=EC=DC=AB，AM=BM=EC；（2）如圖2，設(shè)MB=a，四邊形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，A=ABC=BCD=90°，ABDC，ECFBMF，=2，EC=2a，AB=CD=2CE=4a，AM=ABMB=3a=2，BC=AD=2aMNMC，CMN=90°，AMN+BMC=90°

14、;A=90°，ANM+AMN=90°，BMC=ANM，AMNBCM，=，=，AN=a，ND=ADAN=2aa=a，=3；（3）當(dāng)=n時(shí)，如圖3，設(shè)MB=a，同（2）可得BC=2a，CE=naMNBE，MNMC，EFC=HMC=90°，F(xiàn)CB+FBC=90°MBC=90°，BMC+FCB=90°，BMC=FBCMBC=BCE=90°，MBCBCE，=，=，n=4【總結(jié)升華】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得到線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵類型三、位似圖形【高清課堂：圖形的相似 考點(diǎn)9 （1）】6 . 如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都