《平行線的證明》專題專練

1、第七章 平行線的證明專題專練專題一 定義與命題一、知識要點1 .定義： 對術(shù)語和名稱的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義如 “兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是 “兩點之間的距離的定義.2 .命題：判斷一件事情的句子叫做命題，每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項.命題一般寫成 如果，那么的形式， “如果 ”引出的部分是條件，“那么 ”引出的部分是結(jié)論.3 .真命題、假命題與反例真命題：正確的命題稱為真命題.假命題：不正確的命題稱為假命題.反例：要說明一個命題是假命題，通?？梢耘e出一二例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結(jié)

2、論，這個例子稱為反例.4 .公理、定理、證明公理：人們公認的真命題稱為公理.定理：經(jīng)過證明了的真命題稱為定理.證明：推理的過程稱為證明.二、考點分析：該考點主要涉及命題的概念和命題的結(jié)構(gòu)形式、判斷命題的真假等 . 多以選擇題的形式出現(xiàn)，以判斷真假命題類型題為主要考點.三、復習策略：應結(jié)合具體實例來理解命題的定義，體會尋找命題的題設(shè)和結(jié)論的常用方法-將命題改寫成 如果，那么”的形式，能舉反例說明一個命題是假命題，能利用推理的方法證明一個命題是真命題等.四、典例分析例 1 判斷下列語句是不是命題，如果是命題，是真命題還是假命題？（ 1）兩點之間，線段最短；（ 2）作線段AB=CD ； （ 3）你今

3、天上數(shù)學課了嗎？（4）熊貓沒有翅膀；（ 5）對于角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.解析：判斷一個句子是否為命題需抓住兩點：（ 1）命題必須是一個完整的語句，且是陳述句，不是疑問句、祈使句；（ 2）要對事情作出判斷.根據(jù)這兩條可知（2） 、 （ 3）不是命題，（ 1） 、 （ 4） 、 （ 5）是命題，且都是真命題.例 2 寫出下列命題的條件和結(jié)論.（ 1）如果一個三角形中有兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形.（ 2）對頂角相等.解析：（1）命題一般寫成 如果A,那么B'的形式，A部分為條件，B部分為結(jié)論，所以（ 1）中的條件“一個三角形中有兩條邊相等”，結(jié)論為 “這個

4、三角形是等腰三角形”.（2）對于命題本身不含 如果“，那么"詞語，此時需將其改寫成 如果，那 么”的形式，再找條件和結(jié)論，便不易錯，所以（2）中可改成 如果兩個角是對頂 角，那么這兩個角相等”，故條件為“兩個角是對頂角”，結(jié)論為 “這兩個角相等”.專題練習一1 .把 垂線段最短”改寫成 如果,那么”的形式是.2 .下列語句中，不是命題的是（）A.直角都相等B.如果ab=0,那么a=0C.不是對頂角的兩個角相等D.連接兩點A、B3 .下列命題中，是真命題是是（）A.互補的兩角若相等，則此兩角都是直角B.直線是平角C.不相交的兩條直線叫平行線D.和為180°的兩個角叫鄰補角4.

5、下列命題中，是真命題的是（）1）所有菱形都相似；（ 2）任意兩個等邊三角形都相似；（ 3）任意兩個等腰三角形都相似；（ 4）有一個角相等的兩個直角三角形相似；（ 5）同位角相等.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個5.判斷下列命題的真假，若是假命題，請舉出反例：（1）若 |a|二|b| 則 a=b；（ 2）兩個銳角之和一定是鈍角；（ 3）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.專題二 平行線的判定和性質(zhì)一、知識要點1 .平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行.2 .平行線的判定定理1：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.3 .平行線的判定定理2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.平行線的性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等.4

6、 .平行線的性質(zhì)定理1：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.平行線的性質(zhì)定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.注意：對于平行線的判定與性質(zhì)，一定不要混淆它們的條件和結(jié)論，平行線的條件是由角的數(shù)量關(guān)系來確定直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行線的位置關(guān)系來確定角的數(shù)量關(guān)系.對平行線的判定而言，“兩直線平行”是結(jié)論， 對平行線的性質(zhì)而言，“兩直線平行”是條件.因此，不能隨便說“同位角相等”“ 同旁內(nèi)角互補”.二、考點分析：該考點主要涉及：（ 1）與兩直線平行條件有關(guān)的開放題、探究題等；（2）運用平行線的性質(zhì)進行計算或說理，解決生活中的一些實際問題等.在中考中多以填空題或選擇題形式出現(xiàn)難度不大，但非常重要，在大題中

7、，經(jīng)常用到./三、復習策略：應理解并熟記兩直線平行的判定和性質(zhì)，注意平行線的判定和性質(zhì)的區(qū)別，同時也可進行適當?shù)奶骄啃詥栴}的訓練 .例1 如圖1,在4AFD和4BEC中，點A, E, F, C在同一直線上，有下面 4個論斷：AD=CB;BE=DF;/ B=/D;AD/BC.請用其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并證明.分析：本題是一道開放性問題，在寫命題時，要根據(jù)題意找一個比較簡單的，這樣解答起來也較容易.解：如，已知：BE=DF, /B=/D, AD=CB.求證：AD/BC.證明：因為 AD=CB, /B=/D, BE=DF,所以ADFzXCBE.所以/ A=/C,所以 A

8、D/BC.點評：證明兩條直線平行，主要根據(jù)圖形找同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角/EMB=50 ,圖2互補.例2 如圖2, AB/CD , EF分別交AB , CD于M , N,MG 平分/ BMF , MG 交 CD 于 G.求：/ 1的度數(shù).分析：由AB/CD,得/ 1 = /2,所以要求/ 1的度數(shù)，可求/ 2的度數(shù).由條件知1/2= NBMF ,而/ BMF與/ EMB是鄰補角，所以/ BMF=180 -50 =130 .于是可求 2得/2的度數(shù)，進而得出/ 1的度數(shù).解：因為AB/CD ,所以/ 1 = /2.又因為/ EMB=50 ,所以/ BMF=180 -50 =130

9、6;.11因為 MG 平分 / BNF,所以 /2 = 1/BMF =父130° =65°.所以 / 1=65 . 22點評：根據(jù)平行條件求角的度數(shù)，一般借助平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補）解決問題.專題練習二1.如圖 3, ABC 中，/ABC = 90°, /A = 50°, BD/AC,則/CBD 的度數(shù)是2 .如圖2,直線a / b ,則/A的度數(shù)是（）A. 28 B. 31 C. 39 D. 42圖43 .如圖 5, /ABC=/ACB, BD 平分/ ABC , CE 平分/ACB, /DBF=/F.求證:EC

10、/DF.4 .如圖 6, AB/EF ,求證：/ BCF=/B+/F.圖5圖7/D應滿足什么條件?5 .如圖7,若要能使得 AB/ED , / B、/ C、專題三三角形內(nèi)角和定理、知識要點1.探究三角形內(nèi)角和定理時，將三角形的三個內(nèi)角 湊”在一起，拼成一個平角，從而得到三角形的內(nèi)角和等于180°,這里體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學思想 一一轉(zhuǎn)化思想.三角形內(nèi)角和定理的證明方法較多，除了轉(zhuǎn)化為平角證明外，還可以利用構(gòu)造周角”的方 法以及 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”的方法解析證明、考點分析：該考點主要是利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)或判斷三角形的形狀.單獨命題時以填空、選擇題為主，但大多出現(xiàn)在綜

11、合題中、溫馨提示：復習時，應理解并熟記三角形內(nèi)角和定理四、典例分析例 1 在 4ABC 中，/B-/C=40, /A=80°,求/A、/ B、/C 的度數(shù)，并判斷ABC的形狀?分析：利用隱含條件：三角形的三個內(nèi)角和等于180。.構(gòu)造方程求解.解：因為/ A+/B+/C=180 , ZA=80° ,所以/ B+/C=100 ,又/ B-ZC=40 ,所以/ B=70° , / C=30 ,所以 ABC為銳角三角形.點評：在證明或計算三角形的角度的大小關(guān)系時，應注意三角形的三個內(nèi)角和等 于180。的隱含條件，合理地構(gòu)造方程（組），特別是在求解有關(guān)三角形角的度數(shù)的問 題

12、時，應體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，善于使用方程思想，以便于問題的正確求解例 2 如圖 1, / B=42° , /A+10° =/1, /ACD=64 ,求證：AB/CD.分析：要證明 AB/CD,根據(jù)圖形可知，只需證明/ A=64° ,利用內(nèi)1AB圖1錯角相等，兩直線平行即可證明.或證明/ DCB+/B=180° ,利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行也可證明.為此需利用三角形內(nèi)角和定理求出/ A或 /1的度數(shù).證明：在 ZXABC 中，/ 1 + /A+/B=180° ,又/ B=42° , / A+10° =/1,所以（/ A+10&

13、#176; ） +/A+42° =180°.即 2/A+52° =180°,所以/ A=64° .又因為/ DCA=64 ,所以/ DCA=/A.所以 AB/CD.點評：證明兩直線平行，借助于內(nèi)錯角相等，在推導內(nèi)錯角相等時，用到了三角 形的內(nèi)角和定理.專題練習三三角形.1 .在4ABC中，已知/ A:/B:/C=1:2:3,則這個三角形是2 .小華到工廠去進行社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅生產(chǎn)了一種如圖2所示的零件，工人師傅告訴他：AB/CD , /BAE=35 , / AEC=80，小華馬上運用所學的數(shù)學知識得出了 / ECD的度數(shù)，聰明的你一

14、定知道/ ECD二圖2圖33.若等腰三角形白一個內(nèi)角為80°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)是4 .如圖3,在4ABC中，/C=/ABC=2/A, BD是AC邊上的高，求/ DBC的度5 .如圖 4,已知 AB/DE ,求證：/ B+/C+/E=360°.專題四關(guān)注三角形的外角一、知識要點三角形內(nèi)角和定理的兩個推論是：推論1三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和推論2三角形的一個外角等于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角關(guān)于三角形外角的重要結(jié)論是三角形內(nèi)角和定理的推論.第一個推論反映了一個外角與它不相鄰的兩個的相等關(guān)系，應用在證明或計算內(nèi)角與外角的大小問題中；第二 個推論反映了一個外角與

15、它不相鄰的內(nèi)角的不等關(guān)系，用于證明和三角形有關(guān)的角的 不等關(guān)系問題中.二、考點分析：該考點主要涉及：（1）利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”求角的度數(shù)；（2）利用 三角形的一個外角大于任何與它不相鄰的內(nèi)角 ”來證 明兩角的不等關(guān)系.在中考中可以單獨命題，但大多數(shù)出現(xiàn)在綜合題中.三、復習策略：應理解并熟記三角形的內(nèi)角和定理的兩個推論，并多練習利用它們解決有關(guān)的證明問題或計算問題的題目.四、典例分析例 1 如圖 1,已知/ 1=100°, / 2=140°,那么/ 3=.分析：觀察圖形可知，欲求/ 3的度數(shù)，可先求/ 4的度數(shù)，這只要利用三角形的外角等于與它不相鄰的

16、兩個內(nèi)角的和即可 .解：因為/ 1=100°,所以/ 4=1800°-/1=70°.又/ 2=/3+/4.所以/ 3=/2-/4=140 -70 =70°.點評：求角的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰 的兩個內(nèi)角的和，因此，只要知道了其中的兩個角的度數(shù)，就可以求出另一個角的度 數(shù).例2 如圖2,點P是4ABC內(nèi)的一點，連接BP、CP.求證：/ BPC>ZBAC.分析：要求證明/ BPC>/BAC,通常有兩種方法：一是找到第三個角，利用不等式的傳遞性得證；二是將/ BPC和/BAC都分成兩個角，利用同向不等式的和所得不

17、等式仍然成立來證明.證法一：如圖2 (1)所示，延長BP交AC于點D.由于/ BPC是4DPC的外角，所以/ BPC>ZCDP.,所以/ CDP>/BAC.由于/ CDP是/所以/ BPC>BAC.證法二：如圖2 (2)所示，連接AP并延長AP.因為/ 1是4ABP的外角，所以/ 1>/3.因為/ 2是4APC的外角，所以/ 2>/4.所以 / 1 + /2>/3+/4.又因為 / 1 + /2=/BPC, /3+/4=/BAC, 所以/ BPC>/ BAC.點評：要證角的不等關(guān)系，一般地將大角轉(zhuǎn)化為某三角形的外角，將小角轉(zhuǎn)化為某三角形的內(nèi)角.解決本題

18、的關(guān)鍵是通過添加輔助線以達到此目的專題練習四1 .如圖3,已知4ABC中，/ A = 40°,剪去/ A后成四邊形，則/ 1+/2=.BC2 .下列語句中，正確的是(A.三角形的外角大于它的內(nèi)角B.三角形的一個外角等于它的兩個內(nèi)角的和C.三角形的一個內(nèi)角小于和它不相鄰的外角D.三角形的外角和等于180°3 .已知如圖4所示，AD是4ABC的外角/ CAE的平分線，/ B=40° , / DAE=70 ,則/ACD=()A.1500B.1100C.800D.304 .如圖5, AABC中，/ A=40° , BP、CP是4ABC的外角平分線，則/ P的度數(shù)為()A.500B.600C.700D.805 .AABC中，一個內(nèi)角的大小是50°, /A=/B,那么/ C的外角是多少度?專題練習一1.如果一條線段是垂線段，那么這條線段最短； 2.D 3,C 4,C 5.(1)假命題. 反例：如|2|引-2|,但2六2; (2)假命題.反例：如兩個銳角分別為 20°、30°,但它們的 和50°是銳角；(3)是真命題.專題練習二1.40 ; 2.C;113 .因