《等比數(shù)列求和》教案

1、等比數(shù)列的前n 項和（第一課時）一、教材分析1. 從在教材中的地位與作用來看等比數(shù)列的前n 項和是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前n 項和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前 n 項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進一步學(xué)習(xí) “數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準備。就知識的應(yīng)用價值上來看， 它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 就內(nèi)容的人文價值上來看，等比數(shù)列

2、的前n 項和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神, 是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體。2. 從學(xué)生認知角度來看從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n 項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q = 1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。3. 學(xué)情分析教學(xué)對象是剛進入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對問題的分析缺乏

3、深刻性和嚴謹性。4. 重點、難點教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的運用教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運用公式推導(dǎo)所使用的“錯位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點也是難點。二、目標分析1 .知識與技能目標：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。2 .過程與方法目標：通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合的思維能力， 提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。3 .情感態(tài)

4、度與價值觀：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗 試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu) 的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴謹美。用數(shù)學(xué)的觀點看問題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學(xué)的態(tài)度認識世界。三、教學(xué)方法與教學(xué)手段本節(jié)課屬于新授課型，主要利用計算機和實物投影等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)探究，合作學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)等的教學(xué)模式四、教學(xué)過程分析學(xué)生是認知的主體，也是教學(xué)活動的主體，設(shè)計教學(xué)過程必須遵循學(xué)生的認知規(guī)律， 引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，結(jié)合本節(jié)課的特點，我按照自主學(xué)習(xí)的教學(xué)模式來設(shè)計如下的教學(xué)過程，目

5、的是在教學(xué)過程中促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和意識，形成自主學(xué)習(xí)的能力。1 .創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大舍罕為贊賞，對 他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第 64格.國王覺得太 容易了，就同意了他的要求。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚.為什么 呢？大家想一下，這個國王能夠滿足宰相的要求嗎？【教師提問】同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù).帶著這樣的問題，學(xué)生會動手算了起來，他們想到用計算器

6、依次算出各項的值， 然后再求和.這時我對他們的 這種思路給予肯定.2 .學(xué)生探究，解決情境在肯定他們的思路后，我接著問：1, 2, 22,，263是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：設(shè)S64 =1+ 2+ 22 + 23 +263記為（1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）探討2:如果我們把每一項都乘以2,就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以 2則有2s54 =2+ 22 +23 +263 + 264 ,記為（2）式.比較（1） （2 ）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？“加”【設(shè)計意圖】留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變

7、為“減”，在教師看來這是很顯然的事，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng) 著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力.解決情境問題：經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（ 1）、（2）兩式有許多相同的項，把兩 式相減，相同的項就可以消去了，得到： 864 =264 -1老師強調(diào)指出：這就是錯位相減法，并 要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以 2呢？【設(shè)計意圖】經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了， 讓學(xué)生在探索過程中， 充分感受到成功的情感體驗， 從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的 信心，同時也為推導(dǎo)一般等比數(shù)列前n項和提供了方法。3 .類比聯(lián)想，解決

8、問題這時我再順勢引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為an,公比為q,如何求它的前n項和？讓學(xué)生自主完成，然后對個別學(xué)生進行指導(dǎo)。一般等比數(shù)列前n項和：Sn =a1 +a2 +a3 +an+an =?2nNn cSn 二ai aiq aiq aiq aiq =?方法i :錯位相減法7上上2, n_2°n/Sn =a1 +aiq +aiq +, Laiq +aiqc23n，ngSn =aiq+aiq +aiq +""aiq+aiqnai (i - q )(i -q)Sn ai - aiq =±i -q這里的q能不能等于i?ai(i -qn) Sn = i _q

9、等比數(shù)列中的公比能不能為q 二ii? q = i時是什么數(shù)列？此時 Sn=?nai在學(xué)生推導(dǎo)完成之后，我再問:q 二in由 (i q)Sn =ai aid得 Sn = i -q【設(shè)計意圖】在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué) 生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。4 .討論交流，延伸拓展探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？我們知道Sn=ai+a iq+aiq2+ 11 +aiqn-i =a i +q(ai+a iq+ IH+a iqn-2)那么我們能否利用這個關(guān)系而求出與呢？方法2:提取公比qSn =ai aiq aiq2 ad_2 ' aiq

10、n1=a1 q (a1a1q向qn -2)=ai +q (Sn _aiqn). (1 -q)Sn - ai -a1q根據(jù)等比數(shù)列的定義又有a2"=%=川= a2 a3anan-1=q ,能否聯(lián)想到等比定理從而求出Sn呢？方法3:利用等比定理a2a3ai a2a4a3ana2 , a3»ana1 . a2 an j二qan _JSn - ai ,=q =(i - q)Sn = ai - anqSn - an【設(shè)計意圖】以疑尋思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛 圍.以上兩種方法都可以化歸到 Sn=ai+qsn，這其實就是關(guān)于Sn的一個遞推式，遞推數(shù)

11、列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進作用 .領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值，從特殊到一般，從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué) 生的知識遷移和能力提高。5 .鞏固提高，深化認識(1) 口答：在公比為q的等比數(shù)列an中若 a =2,q =1，則 Sn =,若 ai =i, q =i,則 Sn = 33若21二一 i5, a4 =96 ,求 q 及 S4 ,什 .1 一 1 .一右 a3 =1 , S3 =4一，求 21及 q. 22(2)判斷是非：CD 1-24-8- -(-2廣(1 -2 ) 1 -2 i . 2 22 23 - -2n =1。2) 1

12、- 2 若c#0且c#i,則246 . 2n C21-(C2)nc-c-c-1 -c2【設(shè)計意圖】對公式的再認識，剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識記公式，并加強計算能力的訓(xùn)練。6 .例題講解，形成技能例 i .求和 1 +a +a2 +a3 +an例2.求等比數(shù)列 工,1,1，工,的第5項到第10項的和.2 4 8 16方法1：觀察、發(fā)現(xiàn)：a5+a6 +aio =So S4.方法2:此等比數(shù)列的連續(xù)項從第5項到第10項構(gòu)成一個新的等比數(shù)列：首項為a5 =16,公比為q = 2,項數(shù)為n =6.變式1 ：求1121 31 4工5的前n項和.2 4 8 16, 32變式2：求1 J2 3 3 9的

13、前n項和.2'4 '8 '16 32【設(shè)計意圖】采用變式教學(xué)設(shè)計題組，深化學(xué)生對公式的認識和理解，通過直接套用公式、變式運用公式、研究公式特點這三個層次的問題解決，促進學(xué)生新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的形成.通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識.解題時，以學(xué) 生分析為主，教師適時給予點撥。7 .總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、 推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再 從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)?！驹O(shè)計意圖】以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力，歸納概括能力。8 .課后作業(yè)，分層練習(xí)必做：練習(xí)3 (1)習(xí)題3.5第1題選作：思考題(1):求

14、和 x+2x 2+3x 3 + |l+nx n.(2)畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形,依此類推，這樣一共畫了 10個正方形，求這10個正方形的面積的和。【設(shè)計意圖】布置彈性作業(yè)以使各個層次的學(xué)生都有所發(fā)展.讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)。 五、評價分析本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項和公式.錯位相減：變加為減，等價轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸 定義，自然樸實.學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會到推導(dǎo)過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性.同時通過精講一題，

15、發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏 固了知識，又形成了技能，在此基礎(chǔ)上，通過民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、 合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)，形成學(xué)習(xí)能力。 六、教學(xué)設(shè)計說明 1 .情境設(shè)置生活化.本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高一學(xué)生的心理特點以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來源于生活”，采用故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的 學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生主動探究的欲望。2.問題探究活動化.教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、 說的機會以及展示思維過程的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究, 展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅. 通過師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴謹性。3辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化在理解公式的基礎(chǔ)上, 及時進行正反兩方面的“短、 平、快”填空和判斷是非練習(xí) . 通過總結(jié)、 辨析和反思，強化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進學(xué)生主動建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系。4鞏固提高梯度化例題通過公式的正