中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題—知識(shí)講解

1、5中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題一知識(shí)講解【中考展望】1 用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類：(1) 利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題，它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；(2) 運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題 ，常常要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等2.熱點(diǎn)內(nèi)容：在初中教材中，“數(shù)”的常見表現(xiàn)形式為：實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式等，而“形”的常見表現(xiàn)形 式為：直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等在直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)一條直線，二次函數(shù)的圖像對(duì)應(yīng)著一條拋物線，這些都是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容【方法點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合：就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形

2、”兩個(gè)方面利用它可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化,它兼有“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)”與“形的直觀”之長，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法數(shù)形結(jié)合解題基本思路：“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí) ，利用代數(shù) 的知識(shí)，解決幾何的問題實(shí)現(xiàn)了抽象概念與具體圖形的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀特別是二次函數(shù)

3、，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，同時(shí)也使數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中得到最 充分體現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等 都與其系數(shù)a，b, C密不可分事實(shí)上，a的符號(hào)決定拋物線的開口方向，b與a 一起決定拋物線的對(duì)稱 軸的位置，C決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，與 a、b 一起決定拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，拋物線圖 形的平移，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，其實(shí)從代數(shù)的角度看是b、C的有關(guān)變化.在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)注意養(yǎng)成數(shù)形相依的觀念，有意識(shí)培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，形成數(shù)形統(tǒng)一意識(shí)， 提高解題能力.“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”總之，要把數(shù)形結(jié)合思想貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)

4、習(xí)中數(shù)與形及其相互關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的基本內(nèi)容.【典型例題】類型一、利用數(shù)形結(jié)合探究數(shù)字的變化規(guī)律如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是 第1個(gè)圏形第2個(gè)圖形【思路點(diǎn)撥】首先計(jì)算幾個(gè)特殊圖形，發(fā)現(xiàn)：數(shù)出每邊上的個(gè)數(shù)，乘以邊數(shù)，但各個(gè)頂點(diǎn)的重復(fù)了一次，應(yīng)再減去第1個(gè)圖形是2×3-3 ,第2個(gè)圖形是3×4-4 ,第3個(gè)圖形是4×5-5 ,按照這樣的規(guī)律擺下去，則第 n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是( n+1) ( n+2) - (n+2) =n2+2n.【答案與解析】第1個(gè)圖形是三角形，有 3條邊，每條邊上有 2

5、個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了 3個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋(2×3 -3 )個(gè); 第2個(gè)圖形是四邊形，有 4條邊，每條邊上有 3個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了 4個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子（3×4 -4 ）個(gè); 第3個(gè)圖形是五邊形，有 5條邊，每條邊上有 4個(gè)點(diǎn)，重復(fù)了 5個(gè)點(diǎn)，需要黑色棋子（4×5 -5 ）個(gè);按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是（ n+1）（n+2） - （n+2） =n （n+2）.故答案為 n（ n+2）=n2+2n.【總結(jié)升華】 這樣的試題從最簡單的圖形入手.找出圖形中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)與第 n個(gè)圖形之間的關(guān)系，找規(guī)律需要列出算式，一律采用原題中的數(shù)據(jù)，不要用到計(jì)算出來的結(jié)果來找

6、規(guī)律舉一反三：【變式】用棋子按下列方式擺圖形，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形比第（n-1）個(gè)圖形多 枚棋子.【答案】解：設(shè)第n個(gè)圖形的棋子數(shù)為Sn .第1個(gè)圖形，S=1;第2個(gè)圖形，S2=1+4;第3個(gè)圖形，S=1+4+7;第 n 個(gè)圖形，S=1+4+ +3n-2 ;第（n-1 ）個(gè)圖形，S-=1+4+ +3 （ n-1 ） -2;則第n個(gè)圖形比第（n-1 ）個(gè)圖形多（3n-2）枚棋子.類型二、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)與式的問題2.已知實(shí)數(shù)a、b、C在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+b-c-b 的結(jié)果是 （）GaObA.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c【思路點(diǎn)撥】首先從數(shù)軸上 a、b

7、、C的位置關(guān)系可知：CV av 0; b>0且Ibl > Ial ,接著可得a+b>0, c-b V 0, 然后即可化簡a+b-c-b可得結(jié)果.具體步驟為：a,b,c的具體位置，在原點(diǎn)左邊的小于0,原點(diǎn)右邊的大于0.比較絕對(duì)值的大小.a V |c| V |b|.化簡原式中的每一部分，看看絕對(duì)值內(nèi)部（二次 根式中的被開方數(shù)的底數(shù)）的性質(zhì)，若大于零，直接提出來，若小于零，則取原數(shù)的相反數(shù).進(jìn)行化簡計(jì)算，得出最后結(jié)果.【答案與解析】解：從數(shù)軸上 a、b、C的位置關(guān)系可知：CV a V 0; b> 0且|b| > |a| , 故 a+b> 0, c-b V 0, 即

8、有 a+b-c-b=a+b+c-b=a+c.故選A.【總結(jié)升華】此題主要考查了利用數(shù)形結(jié)合的思想和方法來解決絕對(duì)值與數(shù)軸之間的關(guān)系，進(jìn)而考察了非負(fù)數(shù)的 運(yùn)用數(shù)軸的特點(diǎn)：從原點(diǎn)向右為正數(shù)，向左為負(fù)數(shù)，及實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.非負(fù)數(shù)在初中 的范圍內(nèi)，有三種形式：絕對(duì)值（|a| ）,完全平方式（a ±b）2, 二次根式（JF（a0）.性質(zhì)：非負(fù)數(shù)有最小值是0;幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.類型三、利用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)式的恒等變形問題CP3.圖是一個(gè)邊長為(m n)的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是()A. (m n)2 (m n)2

9、4mn B. (m n)2 (m2 n2) 2mnC222C22.(m n) 2mn m nD(m n)(m n) m n圖【思路點(diǎn)撥】這是完全平方公式的幾何背景，用幾何圖形來分析和理解完全平方公式的實(shí)質(zhì).是一個(gè)很典型的“數(shù)形結(jié)合”的例子，用圖形的變換來幫助理解代數(shù)學(xué)中的枯燥無味的數(shù)學(xué)公式.根據(jù)圖示可知，陰影部分的面積是邊長為(m+n的正方形的面積減去中間白色的小正方形的面積(m+n2)，即為對(duì)角線分別是 2m2n的菱形的面積據(jù)此即可解答.【答案】B.【解析】(m+r) 2- (f+ n2) =2mn故選B.【總結(jié)升華】本題是利用幾何圖形的面積來驗(yàn)證(m+r) 2- ( m+n2) =2mr,

10、解題關(guān)鍵是利用圖形的面積之間的相等關(guān)系列等式.舉一反三：【變式】如圖1是一個(gè)長為2m,寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖 2的形狀拼成一個(gè)空心正方形.(1) 你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長是多少？(2) 請(qǐng)用兩種不同的方法求出圖2中陰影部分的面積；(3) 觀察圖2,你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式：(m+f) 2、(m-n) 2、mn之間的關(guān)系嗎？團(tuán)1團(tuán)2【答案】解：（1）圖中陰影部分的正方形的邊長等于（m-n）;22（2）（ m-n） ； （m+r）-4mn ；22（3）（ m-n） = （m+r）-4mn.類型四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問題i* 4.我們知道：根據(jù)

11、二次函數(shù)的圖象，可以直接確定二次函數(shù)的最大（?。┲?；根據(jù)“兩點(diǎn)之間， 線段最短”，并運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以在一條直線上找到一點(diǎn)，使得此點(diǎn)到這條直線同側(cè)兩定點(diǎn)之間 的距離之和最短.這種“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，非常有利于解決一些實(shí)際問題中的最大（?。┲祮栴}.請(qǐng)你嘗試解決一下問題：（1） 在圖1中，拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是 .（2） 在圖2中，相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線 CD的同側(cè)，且到河岸的距離 AC=I千 米，BD=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請(qǐng)你： 作圖確定水塔的位置； 求出所需水管的長度（結(jié)果用準(zhǔn)確值表示）（3）已知x+y=

12、6 ,求 JX 9 Jy2 25的最小值？此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，具體步驟如下： 如圖3中，作線段 AB=6分別過點(diǎn) A、B,作CALAB, DBLAB,使得CA=DB=. 在AB上取一點(diǎn) P,可設(shè)AP=, BP=. Jx2 9 Jy2 25的最小值即為線段 和線段長度之和的最小值，最小值為112圉 3【思路點(diǎn)撥】（1）利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)就可得出函數(shù)的極值；（2）延長AC到點(diǎn)E,使CE=AC連接BE交直線CD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求；過點(diǎn)A作AF BD,垂足為F,過點(diǎn)E作EGL BD交BD的延長線于點(diǎn) G,則有四邊形 ACDF CEGD 都是矩形，進(jìn)而利用勾股定理求出即可；（3

13、）作線段 AB=6,分別過點(diǎn) A、B,作CAL AB, DB丄AB,使得CA=3 BD=5, 在AB上取一點(diǎn) P,可設(shè) AP=x, BP=y; x2 9 y2 25的最小值即為線段 PC和線段PD長度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可【答案與解析】解：（1）拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是4;（2）如圖所示，點(diǎn) P即為所求.（作法：延長 AC到點(diǎn)E,使CE=AC連接BE,交直線CD于點(diǎn)P,貝U點(diǎn)P即為所求.說明：不必寫作法和證明，但要保留作圖痕跡；不連接PA不扣分；（延長BD,同樣的方法也可以得到P點(diǎn)的位置.）過點(diǎn)A作AF BD垂足為F,過點(diǎn)E作EG丄BD,交BD的延長線于點(diǎn) G,則有四

14、邊形 ACDF CEGD 都是矩形. FD=AC=CE=DG=IEG=CD=AF AB=3, BD=2, BF=BD-FD=I BG=BD+DG=3在 Rt ABF 中，AF2=ABF2=8, AF=2 . 2 EG=2 2 .在 Rt BEG中，Bh=EG+bG=17, BE=、17 (Cm). PA+PB的最小值為 17 cm.即所用水管的最短長度為.17 cm.（3）圖3 所示,作線段 AB=6,分別過點(diǎn) A B,作CAIAB DB丄AB使得 CA=3 BD=5在AB上取一點(diǎn)P,可設(shè) AP=X, BP=y,的最小值即為線段 PC和線段PD長度之和的最小值,6作C點(diǎn)關(guān)于線段AB的對(duì)稱點(diǎn)C&

15、#39;,連接C D,過C點(diǎn)作C E DB交BD延長線于點(diǎn)E, AC=BE=3 DB=5 AB=C E=6, DE=8c'd DE2 C'e210.最小值為10.故答案為：4;X, y;PC, PD, 10.【總結(jié)升華】此題主要考查了函數(shù)最值問題與利用軸對(duì)稱求最短路線問題，結(jié)合已知畫出圖象利用數(shù)形結(jié)合以及勾股定理是解題關(guān)鍵.作圖題不要求寫出作法，但必須保留痕跡最后點(diǎn)題，即“ XX即為所求” 類型五、利用數(shù)形結(jié)合思想，解決函數(shù)問題5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a 0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為x=1,給出下列結(jié)論：abc >0;b2=4ac;4a+2b+c> 0;3

16、a+c >0,其中正確的結(jié)論是 （寫出正確命題的序號(hào)）.根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸的位置，與X軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及 X= - 1, x=2對(duì)應(yīng)y值的正負(fù)判斷即可.【答案與解析】解：由二次函數(shù)圖象開口向上，得到a> 0;與y軸交于負(fù)半軸，得到 CV 0,對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，且-'=1,即2a+b=0,2a a與b異號(hào)，即bv 0, abc> 0,選項(xiàng)正確;二次函數(shù)圖象與 X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，2 2 =b - 4ac > 0 ,即b > 4ac,選項(xiàng)錯(cuò)誤；原點(diǎn)O與對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（2, 0）, x=2時(shí)，y V 0, 即卩4a+2b+cv 0,選項(xiàng)錯(cuò)誤；/ X= - 1 時(shí)，y > 0, a- b+c>0,把b= - 2a代入得：3a+c > 0 ,選項(xiàng)正確,故答案是：.【總結(jié)升華】2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求 之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用.舉一反三：【變式】（2015?黔東南州）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+