2017屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題一三角函數(shù)與解三角形必考點

1、專題一三角函數(shù)與解三角形必考點一三角函數(shù)圖象與性質(zhì)類型一學(xué)會踩點例 1(本題滿分 12分)已知函數(shù) f(x) = cos x sin %+三；-/3cos2x+4, xCR求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間xC上的最大值和最小值.解：(1)由已知得 f (x) = cos x - ?sin x +乎cos x |-黃cos2x+半= gsin x cos x-cos2x+ -(2 分)1 . c .3“c 、，31 . c 3= 4$in 2 x-4-(1 + cos 2x)+ 上= 4sin 2 xcos 2 x(4 分)1=一sin 2分)1 一 rr2 兀，t所以，f(x)

2、的最小正周期 T= -2-= K .(7分) (2)因為f(x)在區(qū)間i十，一121 上是減函數(shù)，在區(qū)間i12，41是增函數(shù).(10分)(兀 '1( Tt )1 兀 ) 1f c T廠0 f c 萬廠2，fa尸 4.(11 分)所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間| 一十，十I上的最大值為4,最小值為一；(12分) 42評分細(xì)則：得分點及踩點說明(1)第(1)問無化簡過程，直接得到f(x) =2sin J2x-3- 1；扣5分.每一步用公式正確就得分.(2)化簡結(jié)果錯誤，但中間某一步正確，給 2分.(3)第(2)問只求出f 亍!= -4, f6i= 4得出最大值為；，最小值為一4，得1分.(4)

3、若單調(diào)性出錯，只得 1分.(5)單調(diào)性正確，但計算錯誤，扣 2分.一 、兀 .一 一一一，(6)若求出2x工的范圍，再求函數(shù)的最值，同樣得分.3。自我挑戰(zhàn)1.已知函數(shù)f(x)=4cos w x - sin K x+卷(3 > 0)的最小正周期為兀.求W的值；(2)討論f(x)在區(qū)間jjo，2 上的單調(diào)性. .(.兀)解：(1)f(x)=4cos 3 xsin wx+ J= 22sin 3 xcos 3 x + 2y12cos? 3 x=小(sin 2 3 x+ cos 2 3 x) + 陋= 2sin ,2 w x + -4 % >y2.因為f(x)的最小正周期為兀，且w >

4、0,一、，2 兀,所以=兀,故 3 = 1.2 w (2)由 知，f(x)=2sin ,x + 41+ 啦.若 0WxW"2-,則/zx+'T當(dāng)亍& 2x+亍<y,即0WxW8時，f(x)單調(diào)遞增;兀兀 5兀兀兀當(dāng)"2-W 2x+"4-<即 WxW 萬時，f (x)單倜遞減.綜上可知，f(x)在0，看L單調(diào)遞增，在I9,與上單調(diào)遞減.J 8J8 2類型二學(xué)會審題例2已知函數(shù) f(x)=43sin( w x+() 1 w >0,兀一x=4對3稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為兀.求3和4的值；(2)若f 3 1=乎噎< a &

5、lt;23 j求COS卜十昔，勺值.審題路線圖(1)條件：f x圖象上相鄰兩個最高點距離為兀挖掘三角函數(shù)圖象的特征 *f x 的周期為兀T=色，“>0(已知)I 33=2.一 . .條件：f x圖象關(guān)于直線x=三對稱 3(手)取至IJ最值一 兀兀 2 x 亨 + $ = k 兀+ 工 k C Z會(已知)條件：f仔卜乎;代入f( T)115TT 1=欲求 cos ( a+ 4)=sin a= sin ( a，) + .3幾 ''、4+乒2 廠 8規(guī)范解答(1)因為f (x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為兀， 一一， 一一 2 兀所以f(x)的取小正周期為T=兀,從而w =

6、 tt= 2.又因為f(x)的圖象關(guān)于直線 x=對稱,兀所以 2x-+ ()= k %3兀 ,一一十 萬，kez.k= 0,LL,、，兀 2兀所以 j =23兀后.,1 a(2)由(1)得f 萬所以sin= sin一兀in 一6_J54兀I 兀a - cos + cos66。自我挑戰(zhàn)2. (2016 山東臨沂一模)已知函數(shù) f (x) =2cos2 cox1 + 2，3cos coxsinwx(0 < w < 1),.兀一直線x= 4是f (x)圖象的一條對稱軸.3(1)試求co的值;(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移

7、23二個單位長度得到的，若 g 2£ Jo, i 求 sina的值.解：f (x) =2cos23 x1 + 23cos 3 xsin w x= cos 2 w x + /ssin一一.lc , JL !2 wx = 2sin 2wx+ 6 .兀(1)由于直線x=1"是函數(shù)f(x) = 32sin i2cox± 1.sin2兀兀,.兀_V k 兀十萬(kez)，1又 0Vco<1, kCZ,從而 k= 0, . w = 2.(2)由 知 f (x) =2sin jx+-6 j,由題意可得g(x) =2sin |Jx+1即 g(x) = 2cos2x.g?a

8、+f j2cos7t+ -1=7,65cosi1 兀 c。Tsin兀* 465'sin= sin7t6= sin4=5X3 3 1 4 132 5* 2 =310+ T- Cos 三一Cos . lc 五 I a +66,類型三學(xué)會規(guī)范例3(本題滿分12分)已知函數(shù) f(x) = a(ba),其中向量 a= (cos «x, 0) , b= h/3為正實數(shù).求f (x)的最大值;1 一(2)對任息m R,函數(shù)y=f(x) , xC m m+兀)的圖象與直線 y=3有且僅有一個父點，求w的值，并求滿足f(x) =7兀72的X值.考生不規(guī)范示例解：f(x) = a (b a)2=

9、a - b - |a|=q3cos 3 xsin 3 x + 0 cos* 2 x= gsin 2co x- COS2co x1 + cos 2 3 x.i'兀sin 2 wx 又 一 1 sin 12co x 6 產(chǎn) 1,11- f(x)的取大值為2.一.，一 1 , 一一， 一，(2)函數(shù)f(x)與直線y= 2有且只有一個交點,2、,2 兀.f (x)的周期為 兀， coTt , CO = 2, -f (x) =sin J4x-6- j 2, .sin !4x -6-；i J3-i _s127t6,13兀.1.4x- -=即 x=。或 x=-.633'824規(guī)范解答(1)

10、.1 a , b = J3cos w xsin w x + 0x 1乎sin 2 ,x.(2 分)2 .f (x) = a (ba) = a b - | a|in 2co x COS co x*2in 21 一1一 八、cox?cos 2 cox 2(4 分)- 1 < sin 12 co x6 產(chǎn) 1,f (x)的最大值為 216 分)11 ,(2)函數(shù)f(x)的取大值為2，y=f(x), xCm 兀)的圖象與直線y=2有且僅有一個父點,(8分)，函數(shù)f (x)的周期T為兀.2 兀, d -=兀， - 3=1.2 w f (x)=sin l2x-6- i2,sin，2* 。60,兀,，

11、2x =3或一;一，即 x=-或 x=7；V.(12 分) 6633412終極提升登高博見方法詮釋將三角函數(shù)化為 y= Asin( cox+4)之后.立_.一 , i ， 、 1一(1)令w x+ ()= k % +萬(k e Z),可求得對稱軸方程.(2)令wx+ ()=kTt(kCZ),可求得對稱中心的橫坐標(biāo).將w x+()看作整體，可求得 y = Asin( w x+()的單調(diào)區(qū)間，注息 3的符號.(4)討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論A> 0, Av 0.限時規(guī)范訓(xùn)練一三角函數(shù)圖象與性質(zhì)(建議用時45分鐘)解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)11.已知函數(shù)

12、f(x)=cos x(sin x+cos x) -2._兀 一x/2,一(1)右 0Voe V -,且 sin a = 2 ，求 f ( a )的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.A一 ，兀解：(1)因為 0V a <-2, sin所以f ( a )=(2)因為 f (x) = cos x(sin121 11 + cos 2 xx+cos x) -= sin xcos x+ cos x- =-sin 2 x+2112=Sin 2 x+ 2cos 2 x= /sin7/ 兀一 4兀T 以 所,兀兀兀由 2k 兀一 »< 2 x + < 2 k 兀 +

13、 , k C Z)得 k 兀 £ x w k 兀 + , k Z. 88所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為|k兀一等，k兀kCZ.8 82.已知向量 a= (cos x, sin x),向量 b = (cos x, - sin x), f(x) = a b.求函數(shù)g( x) =f (x) + sin 2 x的最小正周期和對稱軸方程；(2)若x是第一象限角且 3f (x) = 2f ' (x),求tan 3+3的值.解：(1)g( x) = f (x) + sin 2 x = cos2x sin 2x+ sin 2 x=cos 2 x + sin 2 x=V2sin x+-4 !；，

14、函數(shù)g(x) =f (x) + sin 2 x最小正周期 T=.=兀.當(dāng) 2x + = y+ k 兀(kC Z)時, x=kf+-8.，函數(shù) g(x) =f (x) + sin 2 x 的對稱軸方程為x = k2+8(k Z).(2)由 3f (x) = 2f ' (x),得 3cos 2 x= 4sin 2 x.3cos2x 3sin 2x 8sin xcos x= 0.(3cos x+ sin x)(cos x 3sin x) = 0.又x是第一象限角， .cos x= 3sin x,故 tan x=".，、，一 兀tan x+ tan -47t11+31 = 2.1 t

15、an xtan 1 -433. (2016 山東棗莊質(zhì)檢 )已知函數(shù) f(x) = sin ' wx+4 i!+6sinx>x 2cos2-, xC6 2R(其中 3 >0).(1)求函數(shù)f (x)的值域;. . .TT.(2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=1的兩個相鄰交點間的距離為-2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解：(1) f (x) = sin 3 x+2cos 3 x+乎sinx x - -cos w x2-(COS cox+1)=2且in2xx - -cos w x 12l'兀i=2sin w x i 1.由一1 wsin7t1,/口 -. I兀 i ,

16、得一3W2sin w x i1< 1,所以函數(shù)f(x)的值域為3,1.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知,一一，,一 , 2 Tt一f(x)的周期為兀，所以=兀，即3=2.所以f (x) = 2sin 2x- 1-1,再由解得4.已知函數(shù) f(x) = Asin( cox+j) xCR, A>0,3 >0, 0Ve <J的部分圖象如圖所示,P是圖象的最高點，Q為圖象與x軸的交點，O為坐標(biāo)原點.若OQ= 4, O2器,PQ= >/i3.2kTt -y W2x a& 2 kTt +-2(k Z),.兀.兀一k 兀一z-< x< k % +

17、§(kez).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k求函數(shù)y=f(x)的解析式;(2)將函數(shù)y=f (x)的圖象向右平移2個單位后得到函數(shù) y=g(x)的圖象，當(dāng)xC( 1,2)時,求函數(shù)h(x)=f(x) g(x)的值域.2X4X ：5,所以 P(1,2).自 上 /42 +解：(1)由條件知cos/POQ=由此可得 A= 2,周期T= 4X(4 1)=12,又紅=12,則co =4.將點P(1,2)代入f(x) = co62sin yx+()71. i 兀.i . 兀得 sin +()i= 1,+()= 2k71兀兀，. + 寧，4 = 2k % + (ke Z).23一.兀 -兀因

18、為0V()< ，所以4 =可，于23f (x) = 2sin'兀 兀 i5x+5j(2)由題息得 g(x)=2sin |x-2兀1C 兀 至12sin Tx.所以 h(x) = f (x) - g(x) =4sin + 彳)sin -6x= 2sin 2_-x + 2/3sin x , 6167t7tcos -6x = 1 cosx+,/3sin -3x= 1 + 2sin7t.兀兀當(dāng) xC( 1,2)時，x- -6所以 sin x- y 卜(1,1),1 一兀兀 1即1 + 2sin yx-y代(-1,3).于是函數(shù)h(x)的值域為(一 1,3) .必考點二解三角形類型一學(xué)會踩

19、點例1(本題滿分12分)ABC43, D是BC上的點，AD平分/ BAC ABDADC®積的2倍.sin Bsin C(2)若 AD= 1, DC=乎，求 BOT AC的長.1 一斛：(1) S>A ABD= 2AB ADSin / BAD (1 分)八 1 一Skadc= /AC。ADSin / CA(2 分)因為 Si ABD= 2Sk ADC,/ BAD= / CAD所以AB= 2AC(4分),力,n sin B AC 1 八由正弦定理可得 而一C= AB= 2.(6分) Sin C AB 2(2)因為 ABDW AD多高，所以 Sk ABD： S；A ADC= BD：

20、DC所以BD=姆.(8分)在ABD ADC,由余弦定理知，AB = AD+ BD22AD- BDCos/ADB (9 分)AC = AD+ DC 2AD DQos/ADC (10 分)故 A百+ 2AC= 3AD+ BD+ 2DC= 6.(11 分)由知AB= 2AC,所以AC= 1.(12分)評分細(xì)則：得分點及踩點說明(1)第(1)問，正確列出面積公式各得1分(2)得出AB= 2AC,彳# 2分將正弦比轉(zhuǎn)化為邊長比得 2分，錯誤結(jié)果扣1分.(4)第(2)問，正確得出BD的值得2分，面積比轉(zhuǎn)化正確，值算錯扣1分(5)正確利用余弦定理各得1分(6)兩式相加消去角得1分。自我挑戰(zhàn)1. (2016

21、高考全國乙卷)ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知2cos QacosB+ bcos A) = c.求G(2)若c=/, ABCW面積為323,求ABC勺周長.解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B+ sin Bcos A) = sin C,即 2cos Csin( A+ B) = sin C,故 2sin Ccos C= sin C.r1?？傻胏os C= 2,所以C=?(2)由已知得；absin C= 323.兀 - 一又C= w，所以ab=6. 3由已知及余弦定理得 a 一 2(2) ABC勺面積 S= 2acsin B=ac.由已知及余弦

22、定理得4= a2+ c2 2accos :又 a2+c2R2ac,故 acw生胃，當(dāng)且僅當(dāng) a=c時，等號成立. 2 因此 ABC®積的最大值為，2+ 1.+ b2 2abcos C= 7,故 a2+b2=13,從而（a + b）2=25.所以ABC勺周長為5+ 7.類型二學(xué)會審題例2ABC勺內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a, b, c,已知a=bcosC+csinB求B;（2）若b=2,求 ABO積的最大值.審題路線圖：條件：q= fcos C+ csin B正弦定理>角的關(guān)系：sin B=co;> BBC (01it) >結(jié)論：b=£余弦定理，得出口與L的

23、關(guān)系基本不等式>而和公式得出好的取闔-小今當(dāng)I得面積的最大值規(guī)范解答（1）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+ sinC- sinB.又 A=兀一（B+ C）,故 sin A= sin（ B+ C = sin Bcos C+ cos Bsin C.由和 CC （0 ,兀）得sin B= cos B兀又BC （0 ,兀），所以B=2. （2016 高考山東卷）在AB8,角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知2（tan A+ tantan A tan B 功cos B+ cos A （1）證明：a+b=2c； （2）求cos C的最小值.解：（1）證明：由題意知2sin

24、B sin Ai=；-cos B cos Acos Bsin Bcos Acos B'化簡得 2(sin Acos B+ sin Bcos A) = sin A+ sin B,即 2sin( A+ B) = sin A+ sin B因為A+ B+ C=兀,所以 sin( A+ E)=sin(兀一C)=sin C,從而 sin A+ sinB= 2sinC,由正弦定理得a+ b= 2c.a+ b (2)由(1)知 c=-2-,a2+b2c2所以 cos C=a2+b22ab3 a b 11= 86+ a 廠尸 2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，1故cos C的取小值為2.類型三學(xué)會規(guī)范例3

25、（本題滿分12分）已知a, b, c分別為乙ABCrt角A, B, C的對邊，sin 2B= 2sin Asin若a= b,求cos B； (2)設(shè)B= 90° ,且a= 啦,求 ABC勺面積.考生不規(guī)范示例(1) - b2= ac, a= bB=a2 + c2 b22ac人a2 + c2 b2 1由余弦定理可得cos-一二4.（6分）(2)由知 b2=2ac.因為B= 90。，由勾股定理得a2+ c2= b2.(8分)故 a2+c2=2ac,得 c=a=姆.一一 .11所以 ABC勺面積為 S= 2ac=2x2x2=i.(i2 分) 終極提升登高博見 求解三角形的基本量的技巧：先將

26、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，正確分析已知等式中的邊角關(guān)系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面積公式等進行三角形中邊角的互化.若要把“邊”化為“角”，常利用“ a= 2RSin A, b=2RSin B, c= 2RSin C ,若要把“角”化為“邊”，一 “abca2+b2c2” 心 小 r一常利用“sin A=示 sin B=示sin C=示 cos C= -20b ”等，然后利用三角形的內(nèi)角和定理、大邊對大角及三角函數(shù)等知識求出三角形的基本量限時規(guī)范訓(xùn)練二解三角形（建議用時45分鐘）解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）1 .如圖，在 ABC3, / ABG= 90 , AB=聒

27、BC= 1, P為ABCl一點,B BPG= 90什 14若PB= 2,求PA(2)若/APB= 150° ,求 tan/PBA解：(1)由已知得，/ PBC= 60° ,所以/ PBA= 30° .在4PBA中，由余弦定理得 pA=3+； 2X 43x；cos 30 ° =：故PA=平(2)設(shè)/ PBA= & ,貝U/ BCP= & ,在 RtABCF, PB= BGin a = sin a,在iBA中，由正弦定理得忑，化簡得 43cos a =4sin a .所以 tan a 即 tan / PBA= *.2 .如圖，在 ABC /

28、B=-, AB= 8,點 D在 BC邊上，且 CD= 2, 31cos / ADC= 7.(1)求 sin / BAD(2)求BD, AC的長.解：(1)在 ADC4因為1 4 3cos / ADC= 7,所以 sin Z ADC= 7 .所以 sin / BAD= sin( / ADO / B)=sin / ADCos B cos / ADCin B4 .3 1 13 3 3=丫 x - - x = -i.72 7214(2)在4AB計，由正弦定理得8X3 .,3AB- sin / BAD 14BD= ：/= 3.sin / ADB 4小7在 ABC中，由余弦定理得AC2 = A+ BC2-

29、2AB- BC- cos B= 82+ 522X8X5X 2=49.所以AC= 7.3.在ABC,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=：,b2a2=：c22 2sin C,所以一cos 2 B= sin C.求tan C的值；(2)若ABC勺面積為3,求b的值. 一 ° 1 °、 一 °1解：(1)由b a = 2c及正弦te理得 sin B- 2 =3- 2C|-sin 2 C= 2sin Ccos C, ,2又由A=1,即B+ C= 3兀，得一cos 2 B= cos2 1 4 C j = cos2sin Ccos C= sin 2C解得 tan

30、C= 2.(2)由 tan C= 2, CC (0 ,兀)得 sin C= f ,5又因為 sin B= sin( A+ C) = sin l_4+ C ；,所以 sin B= 30由正弦定理高_cB sinC,彳導(dǎo)c=一 E、，兀 1又因為 A= , 2bcsin7tA= 3,所以 bc=6j2,故 b=3.4. ABC勺內(nèi)角A B,C所對的邊分別為a, b,c.向量 m= (a,小b)與 n= (cos A, sin B)平行.(1)求 A;(2)若a=卡,b=2,求 ABC勺面積.解：(1)因為 m/ n,所以 asin B-/3bcos A= 0,由正弦定理，得sin Asin B3s

31、in Bcos又 sin Bw 0,從而 tan A= 3J3,由于0VA兀，所以兀A=.3(2)法一：由余弦定理a2= b2 + c2 2bccos A 及a=4,b=2,. 兀A，2得 7=4+c 2c,即2c 2c3 = 0,因為c> 0,所以c = 3.故 ABC勺面積為 2bcsin A= "2.法二：由正弦定理，得43 sin t sin B21 從而 sin B= 7 ,又由a>b,知A> B,所以 cos B= 277.故 sin C= sin( A+ B) = sin ,B+-3 ； = sin Bco吟+ cos所產(chǎn)噌所以 ABC勺面積為；abs

32、in C= 了.專題一 規(guī)范滾動訓(xùn)練(一)(建議用時45分鐘)解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)1 .在銳角 ABC43, a, b, c分別為角 A, B, C所對的邊，且 J3a=2csin A 求角C的大?。?2)若c= 2,且 ABC勺面積為 4，求a+ b的值.解：(1)由題意得堂 =sin A,由正弦定理得 堂'A= sin A,2c2sin C又 sin Aw0,sin C= -3,又 0° v C<90° , . C= 60°1 .=3, ab= 4.2 2) . Sa abc= 2absin 60又 c= 2,由余弦定

33、理得 c2= a2+b22abcos 60即 4= a2+ b2- 2ab 2,即 4= (a+ b)2 2ab ab,2，(a+b) =4+3ab=16,，a+b=4.()一 cos 兀 x1 0V 4 V -2 M勺部3 .已知函數(shù) f(x)=2cos 兀 x cos2_2+sin( x+1)兀sin分圖象如圖所示.(1)求(f)的值及圖中Xo的值;.一 1(2)將函數(shù)f(x)的圖象上的各點向左平移 二個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)不變,6縱坐標(biāo)伸長到原來的 也倍,得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間| 1, 11上的最大值 2 3和最小值.4 cos 兀 x = cos解：（1） f （x） = 2cos兀 x cos2 -2- + sin（ x + 1）兀 sinTtx 12cos 2邑一1 ： sin兀 x . sin（）2=cos 兀 x - cos （） sin 兀 x sin （）= cos（兀 x+（）.11 716由題圖可知，cos又0<4<會所以=-6.又cos 1兀x°+微-|= 所以 兀x0+6 2 6所以xo=-.3(2)由 可知f (x) = cosx + -6-；,將圖象上的各點向左平移，個單位長度得到 y =8s h A1)+ 旬= cos 兀x+全附圖象，然后將各點的橫坐標(biāo)不變，