【精選習(xí)題】第五章線性微分方程組精品

1、第五章線性微分方程組研究對(duì)象一階線性微分方程組x1a11 (t)x1a12(t)x2a1n(t)xnf1 (t)x2a21(t)x1a22(t)x2a2n(t)xnf2 (t)xnan1(t)x1an2(t)x2ann(t)xnfn(t)1 基本概念1)一階微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型含有 n 個(gè)未知函數(shù)x1 , x2, xn及其一階導(dǎo)數(shù)的微分方程組x1f1 (t,x1, x2 ,xn )5.1 )x2f 2 (t, x1 ,x2 ,xn )xnf n (t,x1 ,x2 , xn )稱為一階微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型，其中 fi (t, x1, x2, ,xn)(i1,2, n) 是定義在n 1 維空間(t,

2、x1 ,x2, xn) 的某區(qū)域D 內(nèi)已知的連續(xù)函數(shù)，t是自變量。2)初值問(wèn)題求滿足方程組(5.1 )及初值條件x1(t0)1, x2(t0)2, ,xn(t0) n 的解的問(wèn)題稱為一階微分方程組的初值問(wèn)題(或柯西問(wèn)題)。表示如下x1f1(t,x1, x2,xn)x2f2(t,x1,x2,xn)xnfn(t,x1,x2, ,xn)及 x1 (t0)1,x2(t0)2, ,xn(t0)n。3)通解方程組(5.1 )含有 n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)C1, C2,Cn 的解1(t,C1,C2, ,Cn)x22(t,C1,C2, ,Cn)xnn(t,C1,C2, ,Cn)稱為它的通解。4) 高階線性方程與一階

3、方程組等價(jià)n 階線性微分方程的初值問(wèn)題x(n) a1(t)x(n 1) an 1(t)x an(t)x f(t) x(t0)1,x(t0)2,x(n1)(t0) n其中ai (t)(i 1,2,n), f(t)是區(qū)間 a,b上確定的函數(shù)，t0 a,b, 1, 2, , n是確定的常數(shù)， 它的解為x(t) 。只要令x1x,x2x,x3x ,xnx(n 1) ， 它可以化為下列一階線性微分方程組的初值問(wèn)題00x0 an(t)x1其中 x 2 , x100100an 1 (t)x1x2，并且它的解為12x(t0) ，n(t) (t)(n 1)(t)給定其中一個(gè)初值問(wèn)題的解，就可構(gòu)造另一個(gè)初值問(wèn)題的解

4、，在這個(gè)意義下，稱5)一階線性微分方程組若( 5.1 )中函數(shù)fi(t,x1,x2,xn)(i1,2, ,n)關(guān)于x1,x2,xn是線性的，即x1a11 (t)x1a12(t)x2 a1n(t)xn f1 (t)x2a21(t)x1a22(t)x2a2n(t)xnf2(t)( 5.2 )xnan1(t)x1an2(t)x2ann(t)xnfn(t)簡(jiǎn)稱為線性方程組，其中 aij (t), fi (t), i, j 1,2, n 在則稱 ( 5.2) 為一階線性微分方程組， 區(qū)間 a,b 上連續(xù)。6) 線性方程組的向量表示方程組(5.2 )的向量形式為dx5.3 )ddxtA(t)xf (t)其

5、中 A(t)a11(t)a21(t)a12(t)a22(t)a1n (t)a2n(t)an1 (t)an2(t) ann(t)x1 (t)x2 (t)， f(t)f1(t)f2(t)dx， dtdt dx2 dtxn (t)fn(t)dxn dtdx1x(t)在方程組(5.3)中，若f (t)0,(ta,b) ，則有dxA(t)x dt5.4)稱( 5.4)為線性齊次方程組，否則稱(5.3 )為線性非齊次方程組，7) 向量函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)定義在區(qū)間a,b上的 n 維向量函數(shù)x1(t), x2(t), xm(t) ，如果存在m 個(gè)不全為零的常數(shù)C1,C2, ,Cm，使得 C1x1(t)

6、 C2x2 (t)Cmxm(t) 0 在區(qū)間 a,b 上成立，則稱這個(gè)向量函數(shù)組在區(qū)間a, b 上線性相關(guān)，否則稱x1 (t), x2 (t), xm(t) 線性無(wú)關(guān)。8) 向量函數(shù)組的朗斯基行列式設(shè)x1 (t), x2 (t), xn (t) 是 n 個(gè)向量函數(shù)，以xi (t) 作為第 i 列 (i 1,2, n) 所構(gòu)成的矩 陣 記 為 X(t)(x1(t),x2(t),xn(t) ， 將 其 行 列 式 detX(t) 稱 為 向 量 函 數(shù) 組x1 (t), x2(t), xn (t)的朗斯基行列式，記為9)基本解組和基本解矩陣W(t) detX(t)x11(t)x21 (t)x12(

7、t)x22 (t)x1n(t)x2n (t)xn1 (t)xn2(t)xnn(t)若x1(t), x2(t),xn(t) 是 線 性 齊 次 方 程 組 ( 5.4 ) 的 n 個(gè) 線 性 無(wú) 關(guān) 解 ， 那 么 稱x1(t),x2(t),xn(t) 是它的一個(gè)基本解組，并稱矩陣(x1(t), x2(t),xn(t) 為方程組5.4 )的基本解矩陣，簡(jiǎn)稱基本解矩陣。2 基本定理及性質(zhì)定理 5.1 如果矩陣函數(shù)A(t) 及向量函數(shù)f(t) 在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則對(duì)a,b上任一點(diǎn)t0 以及任意給定的x 0 ，初值問(wèn)題t0 a,bdxA(t)xf (t)dtx (t0 )x0在區(qū)間 a,b 內(nèi)存

8、在唯一的解。定理 5.2 (線性齊次方程組的疊加原理)設(shè)x1 (t), x2 (t), xm (t) 是線性齊次方程組(5.4)的 m 個(gè)解，則x(t)C1x1(t) C2x2(t) Cmxm(t)也是( 5.4)的解，其中C1 ,C2, Cm是任意常數(shù)，即線性齊次方程組的任意有限個(gè)解的任意線性組合仍為該方程組的解。定理 5.3 如果向量函數(shù)組x1(t), x2(t), xn (t) 在區(qū)間 a,b 上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式W (t) 在區(qū)間 a,b上恒等于零。推論 5.1 如果向量函數(shù)組x1(t), x2(t),xn(t)的朗斯基行列式W(t) 在區(qū)間 a,b 上的某一點(diǎn)t0不等于零

9、，即W(t0)0，則該向量函數(shù)組在區(qū)間a,b 上線性無(wú)關(guān)。定理 5.4 如果方程組(5.4)的 n 個(gè)解在其定義區(qū)間a,b 上線性無(wú)關(guān)，則它們的朗斯基行列式W(t) 在區(qū)間a,b 上處處不為零。推論 5.2 方程組(5.4)的n 個(gè)解在其定義區(qū)間a,b 上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式W (t) 在區(qū)間 a,b上處處不為零。定理5.6(劉維爾公式)若 x1 (t), x2 (t), xn (t) 是線性齊次方程組( 5.4) 的 n 個(gè)解，則這 n 個(gè)解的伏朗斯基行列式與方程組(5.4)的系數(shù)有如下關(guān)系式t a11 (t) a22(t)ann(t) dtW(t)W(t0)et0 112

10、2 nn 。定理 5.7 (線性齊次方程組通解結(jié)構(gòu))如果向量函數(shù)組x1(t), x2(t),xn(t) 是線性齊次方程組(5.4 )的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則方程組(5.4 )的任一解x(t) 均可表示為x(t)C1x1(t)C2x2(t) Cnxn(t)，這里C1,C2,Cn 是 n 個(gè)相應(yīng)的常數(shù)。結(jié)論 1(線性齊次方程組通解結(jié)構(gòu)的矩陣表示)線性齊次方程組(5.4 )的通解為x(t) (t)C ，其中 (t) 為( 5.4 )的基本解矩陣，C 為任意常向量。性質(zhì) 5.1 如果 x* (t) 是線性非齊次方程組(5.3 )的解，而x0(t) 是其對(duì)應(yīng)線性齊次方程組(5.4)的解，那么x0(t)

11、x* (t) 是線性非齊次方程組(5.3)的解。性質(zhì) 5.2 線性非齊次方程組( 5.3 ) 的任意兩個(gè)解的差是其對(duì)應(yīng)線性齊次方程組( 5.4 )的解。定理 5.8 (非齊次方程組通解結(jié)構(gòu))線性非齊次方程組(5.3 )的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組( 5.4 ) 的通解與其自身的一個(gè)特解之和，即若 x* (t) 是線性非齊次方程組( 5.3 )的一個(gè)特解，x1(t), x2(t),xn(t)是線性齊次方程組(5.4)的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則x(t)C1x1(t) C2x2(t)Cn xn (t) x (t)就是( 5.3)的通解。結(jié)論 2(線性非齊次方程組通解結(jié)構(gòu)的矩陣表示)線性非齊次方程

12、組(5.3 )的通解為x(t) (t)Cx (t) ，其中 (t)為( 5.4)的基本解矩陣，C 為任意常向量，x* (t)是非齊次線性方程組(5.3)的一個(gè)特解。結(jié)論 3 ( 常數(shù)變易公式)如果 (t)是線性齊次方程組(5.4 )的基本解矩陣，則線性非齊次方程組(5.3)滿足初始條件(t0) 的特解 x* (t)由下面公式給出x* (t) (t) 1(t0 )(t) t 1 (s) f (s)dst0其中 1 (t ) 表示矩陣 (t) 的逆矩陣。注意：利用常數(shù)變易法可求線性非齊次方程組(5.3 )的一個(gè)特解。dx定理 5.9 給定常系數(shù)線性方程組dxAx ，那么dta) 如果A 的特征值的

13、實(shí)部都是負(fù)的，則方程組的任一解當(dāng)t 時(shí)都趨于零。b) 如果A 的特征值的實(shí)部都是非正的，且實(shí)部為零的特征值都是簡(jiǎn)單特征值，則方程組的任一解當(dāng)t 時(shí)都保持有界。c) 如果 A 的特征值至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則方程組至少有一解當(dāng)t 時(shí)趨于無(wú)窮。3 基本求解方法1)常數(shù)變易法第一步：確定線性非齊次微分方程組(5.3 )對(duì)應(yīng)的線性齊次方程組(5.4)的通解。若方程組(5.4)的基本解矩陣為(t) ，則(5.4 )的通解為x(t) (t)C 。第二步：設(shè)(5.3)有形如x(t)(t)C(t) 的解， C(t) 為待定的向量函數(shù)。第三步：確定向量函數(shù)C (t) 。將 x(t) (t)C(t)代入方程(5.

14、3 ) ，有 (t)C(t) (t)C (t)A(t) (t)C(t)f(t)，因 (t)為方程組(5.4 )基本解矩陣，則有 (t)A(t) (t)，所以上式為(t)C (t) f(t)，即C(t) 1(t)f(t)，積分得t1C(t) t (s)f(s)dst0其中取 C (0) 0，所以得到方程組(5.3 )滿足初始條件(t0 )0的解為t1x* (t) (t) (s) f (s)ds。t0第四步：求線性非齊次方程組(5.3)的通解。2，方程組(5.3 )的通解可表示為x(t) (t)Ct1(t) 1(s) f (s)ds。第五步：求線性非齊次方程組(5.3)滿足初始條件(t0 ) 的解

15、。將初始條件(t0) 代入通解表達(dá)式中得，C 1(t0) ，故方程組(5.3 )滿足初始條件 (t0) 的解為1t1(t) (t) (t0) (t) (s) f(s)ds。2)常系數(shù)線性齊次方程組的解法若( 5.4)中系數(shù)矩陣為常矩陣，則稱其為常系數(shù)線性齊次方程組，記為5.5 )dxAx dt5.7 和結(jié)論 1 ， 求解常系數(shù)線性齊次方程組的關(guān)鍵在于求它定理 5.10 矩陣函數(shù)X (t)e At是常系數(shù)線性方程組(5.5 )的基本解矩陣，且X(0) E 。基本解矩陣X (t) eAt exp(At) 的特點(diǎn)：a) 基本解矩陣X(t) exp(At) 是標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣，即滿足X(0) E 。b)

16、 若系數(shù)矩陣A為實(shí)矩陣，則exp(At) 是實(shí)基本解矩陣，且任一基本解矩陣(t) 與1exp( At) 有關(guān)系exp( At) (t)(0) 成立。定理 5.10 給出了常系數(shù)線性齊次方程組( 5.5 ) 的基本解矩陣的構(gòu)造形式，具體解題時(shí)k要計(jì)算矩陣級(jí)數(shù)X (t)eAtt Ak 相當(dāng)困難。下面給出計(jì)算基本解矩陣的常用方法。k 0 k!基本解矩陣的計(jì)算方法方法 1 空間分解法定理 5.11 如果矩陣A具有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量vi , (i 1,2, , n) ， 對(duì)應(yīng)特征值i (i 1,2,n)(不必各不相同)， 則矩陣 (t)(e1tv1 ,e2tv2,entvn),t 是方程組(5.

17、5 )的一個(gè)基本解矩陣。特別地，有下面重要結(jié)論結(jié)論 4 若矩陣 A有 n個(gè)互異的特征值i (i 1,2, n) ， vi 是 A對(duì)應(yīng)于 i 的特征向量，則 vi(i 1,2, n)必線性無(wú)關(guān)，且矩陣 (t) (e1tv1,e2tv2,entvn)是方程組 ( 5.5) 的基本解矩陣。更一般地，基于代數(shù)學(xué)中的空間分解定理，給出基本解矩陣的計(jì)算方法。設(shè) j(j 1,2,k) 是 A的 相 異 特 征 值 ， 它 們 的 重 數(shù) 分 別 為n1,n2, ,nk ， 且n1n2nkn ，對(duì)于每一個(gè)nj 重特征值j，線性代數(shù)方程組n(A jE)nju 0具有 n j個(gè)線性無(wú)關(guān)的解uj(1),uj(2),

18、 uj(nj) ，(稱為矩陣A對(duì)應(yīng)于j的廣義特征向量)， 因而方程組(A jE)nj u 0的解的全體構(gòu)成一個(gè)nj維子空間U j (j 1,2, , k) ，并且 n 維線性空間U 可以表示為這些子空間U j (j 1,2, , k)的直和，即對(duì)任一向量v U ，存在唯一的 uj U j(j 1,2, ,k)，使得 v u1 u2, uk。定理 5.12 方程組(5.5)滿足初始條件(0) 的解可表示為knj 1 it ti(t) ej(A jE)ivjj 1 i 0 i!其 中 j(j 1,2, ,k) 是 A 的 相 異 特 征 值 ， 它 們 的 重 數(shù) 分 別 為 n1,n2, ,nk

19、 ， n1n2nkn ， v1v2vk， vjU j ,( j 1,2, , k) ，而 U j 是 n 維線性空間 U 的直和分解，即U U 1 U 2 U k 。利用定理5.12 求基本解矩陣的步驟：步驟 1 求特征根解代數(shù)方程組A E 0 。假如求得A的相異特征值為j ( j 1,2,k) ，它們的重?cái)?shù)分別為n1, n2,nk ，n1n2nkn 。步驟 2 對(duì) n 維線性空間U 進(jìn)行直和分解分別求解方程組n(A jE) u 0， j 1,2, ,k得到 j 對(duì)應(yīng)的 n j 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量u(j1),u(j2),u(jnj), j 1,2, ,k，由u(j1), u(j2),u(jnj)

20、所張成的線性子空間，記為U j，則有 U U1 U2 U k 。步驟3 (0) 在 n 維線性空間U U1 U2 U k 中的表示由于u(j1),u(j2),u(jnj), j 1,2, ,k 線性無(wú)關(guān)，方程組k1(1)2(2)nj (nj)juj juj j uj j1有唯一的解1j,j2,jnj，j 1,2, ,k。k這樣就得到了j1u(j1 ) j2u(j2)j j uj j vj U j ， j 1,2, k ， vj 。j1步驟 4 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣exp( At)0令 ei ， ei 1 第 i行(i 1,2, n)，利用公式0knj 1 it t (t)ejtt (A jE)i

21、vjj 1 i 0 i!分別求得i (t) (i 1,2, n)，則方程組(5.5 )的基本解矩陣為exp(At)(1(t),2(t), ,n(t),)特別當(dāng)矩陣A只有一個(gè)特征值時(shí)n1 iexp( At)et(A E )i 。i 0 i!方法 2 待定系數(shù)法定理 5.13 如果 A有相異特征值為 j ( j 1,2,k) ， 它們的重?cái)?shù)分別為n1 ,n2, , nk，n1 n2nkn ，則方程組（5.5 ）存在 nj 個(gè)形如p1i(t)xi (t)p2i(t)ejti 1,2, ,nj)pni (t)pri (t) ( r 1,2, ,n,i 1,2,nj )為 t的次數(shù)不高于nj 1 的多項(xiàng)

22、式，取遍所有的 j （j 1,2, , k）就得到方程組（5.5 ）的一個(gè)基本解組。具體確定這個(gè)基本解組的方法是步驟 1 求特征根解代數(shù)方程組A E 0 。假如求得A的相異特征值為j （ j 1,2,k） ，它們的重?cái)?shù)分別為n1, n2,nk ，n1n2nk n 。步驟 2 根據(jù)定理5.13 ，設(shè)出方程組（5.5）的形式解對(duì)于每個(gè) j ，方程組（5.5）有下列形式的解，x1(t)( p11x(t)xn(t)( pn1nj 1 jtp12tp1njt j )e jP(t)ejtpn2tpnnjtnj 1)ejt(j 1,2, , k)步驟 3 確定待定系數(shù) jt將 x(t) P(t)e 代入方程

23、組(5.5 ) ，有tttP (t)ej jP(t)ejAP(t)e j即(A jE)P(t) P(t)t 的同次冪系數(shù)，可得到關(guān)于待定系數(shù)pri (t)( r 1,2, ,n,i 1,2, ,nj)的n n j 個(gè)等式。但注意到上式右端次數(shù)比左端要低一次，且j是A的 n j重特征根，我們并不能得到n n j 個(gè)無(wú)關(guān)的等式。由代數(shù)知識(shí)可證所有n nj個(gè)系數(shù)可以通過(guò)其中nj個(gè)來(lái)表示。設(shè)為C1,C2, ,Cnj, 依次令C1 1,C2 0, ,Cnj 0,C1 0,C2 1, ,Cnj 0,C10,C2 0,Cnj1,就可得到方程組(5.5)的 n j個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。取遍所有的j (j 1,2,

24、, k)就得到方程組5.5 ) 的 n1 n2 nk n 個(gè)線性無(wú)關(guān)5.5)一個(gè)基本解組。方法 3 約當(dāng) (Jordan) 標(biāo)準(zhǔn)型法結(jié)論 5 方程組 x Ax的基本解矩陣為exp(At) TetJ1etJ2T1tJme其中， J i而 m 為矩陣 AE 的初等因子的個(gè)數(shù)，非奇異矩陣，使得是 ni 階的若當(dāng)塊，i， ii 1,2, ,m， n1 n2nm n ，1,2, m 為矩陣 A的特征根，T 為 n 階T 1 AT J ， JJ1J2Jm注：矩陣中空白的地方為零，T 稱為過(guò)渡矩陣。方法 4 遞推法結(jié)論 6 方程組 x Ax的基本解矩陣為n1exp(At) rj 1(t)Pjj0其中P0E ， Pj j (A kE), j 1,2, ,n， r1(t),r2(t), rn (t)是下列初值問(wèn)題k1r11 r1rjrj 1 jrj， (j 2,3,n)r1(0) 1,rj (0) 0i (i 1,2, , n) 是矩陣 A特征值(不必相異)方法 5 拉普拉斯變換法記向量函數(shù)x(t)x1 (t)x2(t)xn (t)Lx(t)X(s)L(x1(t)L(x2(t)L(xn(t)對(duì)方程(5.5 )兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得X ( s)的代數(shù)方程組sX(s) x(0)AX(s)，求解得 X (s) ， 再求逆變換