數(shù)列的基本概念與簡單表示法

1、數(shù)列的基本概念與簡單表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 1. 理解數(shù)列的概念；理解數(shù)列的概念；2. 2. 掌握數(shù)列簡單的幾種表示方法；掌握數(shù)列簡單的幾種表示方法；3. 3. 了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。目標(biāo)達(dá)成目標(biāo)達(dá)成1.通過數(shù)學(xué)文化、生活實(shí)例感知數(shù)列；通過數(shù)學(xué)文化、生活實(shí)例感知數(shù)列； 2.通過自主學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)達(dá)成目標(biāo)。通過自主學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)達(dá)成目標(biāo)。三角形數(shù)三角形數(shù)1, 3, 6, 10, . 正方形數(shù)正方形數(shù)1, 4, 9, 16, 觀察下列圖形：觀察下列圖形：傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家研究的問題：傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)家研究的問題：情境情境11214181

2、161321 ， ， ， ， ， ， 情境情境2其其半半萬萬世世不不竭竭. .4 4月月1010日至日至4 4月月1717日昆明的日最高氣溫日昆明的日最高氣溫日期日期4月月10日日4月月11日日4月月12日日4月月 13日日4月月14日日4月月15日日4月月16日日4月月17日日最高氣溫最高氣溫（ ）2321182020222119C（4）23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19情境情境3（1）1, 3, 6, 10, . （2）1, 4, 9, 16, ,321,161,81,41,21,1（3）共同特點(diǎn)：共同特點(diǎn)：1. 都是一列數(shù)；都是一列數(shù)；2. 都有一定的順序都有一

3、定的順序1.定義：定義：請(qǐng)問，是不是同一數(shù)列？請(qǐng)問，是不是同一數(shù)列？請(qǐng)問，是不是同一數(shù)列？請(qǐng)問，是不是同一數(shù)列？不是不是(數(shù)列具有順序性數(shù)列具有順序性)例例1： 數(shù)列數(shù)列 改為改為15 5 16 16 28 32， ， 5 16 28 32， ，1516數(shù)列數(shù)列改為改為1 1 1 1 1 ， ， ， 1 1 1 1 1 ， ， ， 按照一定順序排列的一列數(shù)叫做按照一定順序排列的一列數(shù)叫做目標(biāo)目標(biāo)1：理解數(shù)列的概念：理解數(shù)列的概念想一想想一想:數(shù)列與集合的區(qū)別是什么？數(shù)列與集合的區(qū)別是什么？ （1 1）數(shù)列）數(shù)列aan n 中是一列數(shù)，而集合中中是一列數(shù)，而集合中的元素不一定是數(shù)；的元素不一定是

4、數(shù)； （2 2）數(shù)列）數(shù)列aan n 中的數(shù)是有一定順序的，中的數(shù)是有一定順序的，而集合中的元素沒有順序；而集合中的元素沒有順序； （3 3）數(shù)列）數(shù)列aan n 中的數(shù)可以重復(fù)，而集中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能重復(fù)。合中的元素不能重復(fù)。思考：數(shù)列與集合的概念有何區(qū)別項(xiàng)項(xiàng)2、數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫、數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫 做這個(gè)數(shù)列的做這個(gè)數(shù)列的 3、數(shù)列的分類、數(shù)列的分類按項(xiàng)數(shù)分：按項(xiàng)數(shù)分：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫無窮數(shù)列無窮數(shù)列無窮數(shù)列有窮數(shù)列有窮數(shù)列有窮數(shù)列有窮數(shù)列無窮數(shù)列無窮數(shù)列2 2按大?。▎握{(diào)性）分按大小（單調(diào)性）分遞減數(shù)列

5、：遞減數(shù)列：從第從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞增數(shù)列：遞增數(shù)列：從第從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列于它的前一項(xiàng)的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列：擺動(dòng)數(shù)列：從第從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列數(shù)列常數(shù)列：常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列,321,161,81,41,21,11 13 34 41 1 1 1 1 ， ， 1,1,1,1,1,1,123, 21,18,20,20,22,21,19遞減數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列 4. 數(shù)列

6、的一般形式可以寫成：數(shù)列的一般形式可以寫成：123 naaaa， ， ， ， ， na是數(shù)列的第是數(shù)列的第n項(xiàng)項(xiàng)1 12 23 34 45 522263211 2n，31224 6111111，第第1項(xiàng)項(xiàng)1()nna 12 n64*(N ,)nn1a第第2項(xiàng)項(xiàng) 第第3項(xiàng)項(xiàng)3a2ana第第n項(xiàng)項(xiàng)n，1， -1n，0212n 的第的第n項(xiàng)項(xiàng) na5、如果數(shù)列、如果數(shù)列與序號(hào)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式12nnanna*(N )n簡記為簡記為 na其中其中是數(shù)是數(shù)1a列的第列的第1項(xiàng)或

7、稱為首項(xiàng)項(xiàng)或稱為首項(xiàng),2n，2nna目標(biāo)目標(biāo)2：掌握數(shù)列的表示方法：掌握數(shù)列的表示方法或或na n1na 0n)(*Nn 2 2,321,161,81,41,21,11 13 34 41 1 1 1 1 ， ， 51,32,28,16,16,5,1523, 21,18,20,20,22,21,19與序號(hào)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的第的第n項(xiàng)項(xiàng) na5、如果數(shù)列、如果數(shù)列并不是每個(gè)數(shù)列都能寫出通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式解：解： 首項(xiàng)為首項(xiàng)為2 1 11 1a2 2 13 2a3a2 3 1

8、5 第第2項(xiàng)為項(xiàng)為第第3項(xiàng)為項(xiàng)為通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式的作用的作用例例2：已知數(shù)列：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n1，寫，寫 出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、第出這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、第2項(xiàng)和第項(xiàng)和第3項(xiàng)項(xiàng)顯然顯然,有了通項(xiàng)公式有了通項(xiàng)公式,只要只要依次用依次用1,2,3,代替公式代替公式中的中的n,就可以求出這個(gè)數(shù)就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)列的各項(xiàng)設(shè)某一數(shù)列的通項(xiàng)公式為設(shè)某一數(shù)列的通項(xiàng)公式為)1( nnan123426122020以內(nèi)的正奇數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列以內(nèi)的正奇數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列2311013519也就是說每個(gè)序號(hào)也都也就是說每個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)（項(xiàng)）對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)（項(xiàng)）序號(hào)

9、序號(hào)項(xiàng)項(xiàng)從函數(shù)的觀點(diǎn)看，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，是是 的函數(shù)。的函數(shù)。 y = f ()ann函數(shù)值函數(shù)值自變量自變量數(shù)列項(xiàng)數(shù)列項(xiàng)序號(hào)序號(hào)（正整數(shù)或它（正整數(shù)或它的有限子集）的有限子集）項(xiàng)項(xiàng)6、數(shù)列的實(shí)質(zhì)、數(shù)列的實(shí)質(zhì)序號(hào)序號(hào)項(xiàng)項(xiàng)即，數(shù)列可以看成以正即，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集整數(shù)集(或它的有限子集或它的有限子集1，2，n)為定義為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值值。序號(hào)序號(hào)通項(xiàng)通項(xiàng)公式公式從映射的觀點(diǎn)看，數(shù)列從映射的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是：可以看作是： 到到 的映射的映射目標(biāo)目標(biāo)3：數(shù)列是特殊的函數(shù)：數(shù)列是特殊

10、的函數(shù)序號(hào)序號(hào)數(shù)列項(xiàng)數(shù)列項(xiàng)例例3：已知數(shù)列：已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，寫出這個(gè)數(shù)列的前列的前5項(xiàng)，并作出它們的圖象項(xiàng)，并作出它們的圖象（1）na1;nn（2）na12.nn（1）na1nnna1nnn123451223344556onan1234560.10.30.50.70.9我們好孤單！我們好孤單！是一些孤立點(diǎn)數(shù)列用圖象表示時(shí)的特點(diǎn)數(shù)列用圖象表示時(shí)的特點(diǎn)一系列孤立的點(diǎn)一系列孤立的點(diǎn)123456on0.10.3- 0.5- 0.1- 0.3anna12nnn12345121418116132（2）na12nn是一些孤立點(diǎn)從例題中你發(fā)現(xiàn)數(shù)列有那些表示方法從例題中你發(fā)現(xiàn)數(shù)列有

11、那些表示方法(1) 列表法列表法 (列出序號(hào)列出序號(hào)n與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)值與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)值)(4)遞推公式法遞推公式法(下一節(jié)可研究）下一節(jié)可研究）(2) 圖像法圖像法 (一系列孤立的點(diǎn)一系列孤立的點(diǎn))(nfan(3) 通項(xiàng)公式法（解析法通項(xiàng)公式法（解析法): 分析：分析：例例4：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前 4項(xiàng)分項(xiàng)分別是下列各數(shù)：別是下列各數(shù)：11111 12233445( ),12341 11 1111-2 11 1221-3 11 1331-4 11 1441-1 121 231 34145解： 這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積，且奇數(shù)項(xiàng)

12、為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是na111nn n(2)0 2 0 2， ， ，分析：分析：1234111 211 311 411 0202解：這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是0，偶數(shù)項(xiàng)是2，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是na11n 1、觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空，、觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空， 并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：128), (,32,16), (,4,2)1(49), ( ,25,16,9,4), )(2() ( ,61,51- ,41), ( ,211,-)3(7), ( ,5, 2), ( , 2, 1 )4(86413631-71-36an=

13、2n an=n2nann1) 1() 3 (nan) 4 (3、寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，使它的前、寫出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，使它的前 4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)1 2 3 4， ，(2)1 4 9 16， ， ，(3)11111111 2233445，2、根據(jù)數(shù)列 的通項(xiàng)公式，寫出它的 前5項(xiàng)：(1)na2nn(2)na152nna（1）2, 6, 12, 20, 30（2）4, 3, 1, -3, -11nann) 1(2nan111nnan課后作業(yè)：1、學(xué)習(xí)反饋訓(xùn)練（時(shí)間：學(xué)習(xí)反饋訓(xùn)練（時(shí)間：15-20分鐘）分鐘）2、思考題：、思考題： 為什么課本練習(xí)為什么課本練習(xí)4中要求寫出數(shù)列的中要求寫出數(shù)列的“一個(gè)