無(wú)窮小無(wú)窮大極限運(yùn)算法則

1、無(wú)窮小無(wú)窮大極限運(yùn)算法則一一.無(wú)窮小量無(wú)窮小量.1.定義定義. 在某一變化過(guò)程中，以零為極限的變量在某一變化過(guò)程中，以零為極限的變量,稱為在此變化程中的無(wú)窮小量稱為在此變化程中的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。簡(jiǎn)稱無(wú)窮小。xexf-）（例：例：nn1lim1）nxn1在在n時(shí)是無(wú)窮小量時(shí)是無(wú)窮小量）（）1-lim21xx變量變量1-xxf）（在在x1時(shí)是無(wú)窮小時(shí)是無(wú)窮小xxe-lim3）變量變量在在x+時(shí)是無(wú)窮小量時(shí)是無(wú)窮小量000 xxe1lim2.無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1.0A)(A)(limxfxf性質(zhì)性質(zhì)2.(簡(jiǎn)表為簡(jiǎn)表為)0000 00可推廣到可推廣到有限個(gè)情有限個(gè)情況況0+0+

2、0+00 0 00性質(zhì)性質(zhì)3. 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量.N(x)00C00特別特別例如例如)sin1(limsinlimxxxxxx =0)1100(lim100lim22xxxx)111(lim,22xxx0(0-00)=0N(x)是有界量是有界量二二.無(wú)窮大量無(wú)窮大量1.定義定義.在某一變化過(guò)程中在某一變化過(guò)程中,絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為在此絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為在此變化過(guò)程中的無(wú)窮大量變化過(guò)程中的無(wú)窮大量.簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。簡(jiǎn)稱無(wú)窮大。記作記作)(limxf(含含+,-,這兩種情況變量的絕對(duì)這兩種情況變量的絕對(duì)值均會(huì)無(wú)限增大值均會(huì)無(wú)限增大)11l

3、im1xx如不存在本來(lái)極限11lim1xx但為了方便起見(jiàn)也說(shuō)在此過(guò)程中函但為了方便起見(jiàn)也說(shuō)在此過(guò)程中函數(shù)的極限為無(wú)窮大數(shù)的極限為無(wú)窮大y0 x12.無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系定理定理.在同一變化過(guò)程中在同一變化過(guò)程中,如果如果)(1xf是無(wú)窮大量是無(wú)窮大量,那么那么)(xf是無(wú)窮小量；即若是無(wú)窮小量；即若0)(1lim)(limxfxf若若)(xf且且0)(xf則則)(1xf是同一過(guò)程的無(wú)窮大量；即是同一過(guò)程的無(wú)窮大量；即是無(wú)窮小是無(wú)窮小量量)(1lim0)(0)(limxfxfxf且11lim1xx）（1lim1xx0簡(jiǎn)記為：無(wú)窮小和無(wú)窮大互為倒數(shù)三三.無(wú)窮小量的比較無(wú)

4、窮小量的比較當(dāng)當(dāng)X0時(shí)時(shí),變量變量 2X, 5X,3x都是無(wú)窮小量都是無(wú)窮小量,但它們趨于零的但它們趨于零的速度不同速度不同,3x趨于零的速度比趨于零的速度比2x,5x趨于零的速度快得多！趨于零的速度快得多！看下表看下表X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 , 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,3x為了比較在同一變化過(guò)程中無(wú)窮小量趨于零的速度為了比較在同一變化過(guò)程中無(wú)窮小量趨于零的速度,引入以引入以下幾個(gè)概念：設(shè)下幾個(gè)概念：

5、設(shè) 0)(, 0)(xx是同一過(guò)程的無(wú)窮小量是同一過(guò)程的無(wú)窮小量1.高階無(wú)窮小是比)()(xx若若0)()(limxx稱稱高階無(wú)窮小是比)()(xx的速度快的速度比0)(0)(xx2.低階的無(wú)窮小是比)()(xx若若)()(limxx稱稱低階的無(wú)窮小是比)()(xx的速度慢的速度比0)(0)(xx3.是同階的無(wú)窮小與)()(xx若若0)()(lim cxx稱稱是同階的無(wú)窮小與)()(xx特別當(dāng)特別當(dāng)c=1時(shí)即當(dāng)時(shí)即當(dāng)1)()(limxx時(shí)稱時(shí)稱是等價(jià)的無(wú)窮小與)()(xx例例 試比較下例無(wú)窮小量的階試比較下例無(wú)窮小量的階當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí),xxx與323解：解：xxxx3203lim)3(lim20

6、 xxx0當(dāng)x0時(shí)時(shí)高階的無(wú)窮小是比xxx323當(dāng)當(dāng)x3時(shí)時(shí)392xx與解：解：39lim23xxx)3(lim3xx6 當(dāng)當(dāng)x3時(shí)時(shí)392xx與是同階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí)2523xxx與解：解：25203limxxxx)31 (lim30 xx1當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí)2523xxx與是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小極限運(yùn)算法則定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf)(,xg在自變量在自變量x的同一變化過(guò)程中都的同一變化過(guò)程中都有極限：有極限：lim)(xf=A,lim)(xg=B則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf)()(limxgxf)(lim)(limxgxf推論推論1)(limxcf)(limxfc推論推論2nxf)(limnxf)(lim)(lim)(lim)(limxfxfxf)()(limxgxf)(lim)(limxgxf(其中其中l(wèi)im0)(xg0)(,xg)例例2.求求121lim221xxxx解解 原式原式=暫時(shí)不能用商的極限法則暫時(shí)不能用商的極限法則(為什么？為什么？) 1)(12() 1)(1(lim1xxxxx121lim1xxx32例例3.求求324521lim21xxxx也暫時(shí)不能用商的極限法則也暫時(shí)不能用商的極限法則,為什么？為什么？解解 原式原式=45232lim21xxxx而而32452lim21