無窮大量與無窮小量

1、第五講 授課題目： 2.4 無窮大量與無窮小量； 2.5 極限的運算法則。 教學目的與要求：1、理解無窮大與無窮小的概念，弄清無窮大與無窮小的關(guān)系；2、掌握極限的運算法則。 教學重點與難點：1、無窮大與無窮小的概念、相互關(guān)系；2、用極限的運算法則求極限。 講授內(nèi)容： 2.4 無窮大量與無窮小量一、無窮大的概念：引例：討論函數(shù)y1，當 x1時的變f ( x)x1化趨勢。當 x1時， 1越來越大 (任意大 )，即： E R ，要1Ex11 ，x1x1E也即：ER，10 ，當x 11 時，有：1E 。EEx 1定義 2.9： ER，變量 y 在其變化過程中， 總有一時刻， 在那個時刻以后，yE成立，

2、則稱變量y 是無窮大量，或稱變量y 趨于無窮大，記：lim y。如： lim1， lim lg x， lim tgx。x1x1x0x2注 1.若： lim y，則習慣地稱此時yf ( x) 的極限為無窮 (大) ；2.無窮大不能與很大的數(shù)混淆；3.無窮大與無界變量的區(qū)別；例如： yf ( x)1當 xk , (k0,1, 2) 時， f ( x)，無界，但非sin x無窮大，xk時， f (x) 為有限數(shù)。例 1函數(shù) yx cosx在( ,)內(nèi)是否有界 ?又當 x時，此函數(shù)是否為無窮大？為什么？解用反證法若：當x時， yx cos x 非無窮大 ，則當時 有，取，當n充分大時M0, X0, x

3、X , x cosx M , (1)xn2n2必有 xnX ， 而xn cosxn0 與(1) 式矛盾。x 時， y x cos x ， 非無窮大。4.無窮大運算的結(jié)論：(1)有界變量與無窮大量之和是無窮大量；(2)兩個無窮大量之積是無窮大量；(3)有限個無窮大量之積是無窮大量。二、無窮小量：1.概念：定義 2.10以零為極限的變量稱為無窮小量。例如： lim10，則稱n時，變量yn1是無窮小量。nnn22注 無窮小量非很小的數(shù)，但零是可作為無窮小量的唯一的數(shù)。2.兩個重要結(jié)論：結(jié)論 1定理 2.9l i myA ，yA， lim0 。例如： lim 6x5?，6x565 ，而： lim50

4、，lim 6x56。xxxxxxxx結(jié)論 2定理 2.10若： lim0 ，且： yM,M 0，limy0推論 若： C 為常數(shù)， lim0lim C0 。例如： lim x sin 1?x 0xlim x0 ， sin 11，lim x sin 10。x 0xx0x三、無窮大量與無窮小量的關(guān)系：定理 2.11若： lim y，lim 10 ；若： lim0, (0)lim 1。y例如： lim ex，lim10 。exxx注 無窮大、無窮小與極限過程有關(guān)。四、無窮小的階 (無窮小的比較 )：1.概念：定義 2.11設,是關(guān)于同一過程的無窮小，lim也是關(guān)于同一過程的極限，若： lim0 ，則

5、稱是比較高階的無窮小，記：() ；若： lim，則稱是比低階的無窮??；若： limc(c0) ，則稱是與 同階的無窮??；特別地： c1 時，稱與是等價的無窮小，記： 。例如： limx1 ，x0 時， x 與 2x 是同階無窮小。x 0 2x2注 1.同一過程的無窮小方能比較；2.lim存在，方能比較。2.重要結(jié)論： ， ，且：定理 2.12若：lim，則 lim= lim。常用的等價無窮?。簒0 時， x sin x tgxarcsin x arctgx ln( x1) ex， 。1例 2設： x0時， (1cosx) ln(1x2 ) 是比 x sin x n 高階的無窮小，而x sin

6、xn 是比 ex21高階的無窮小，則n?lim (1cos x) ln(1x2 )x2x2lim 1 x3 n解lim20，3n0x 0x sin xnx0xx nx0 2n3 ；x sin x nlimxx nlim xn10，n10n 1，又： lim2x 0 ex1x 0 x2x 0即：1n3，故： n2。2.5 極限的運算法則定理 2.13若： lim xA ， lim yBlim( xy)lim xlim yAB 。nnn推論 1lim xiAi， i1,2, n ，limxlim xiAi。i 1i 1i 1推論 2l i ml i m0 ，lim()0注可推廣到有限個。定理 2.

7、14若： lim xA ， lim yBlim( xy)lim x lim yABnnn推論 1lim xiAi， i1,2, n ，limxilim xiAii 1i 1i1推論 2l i ml i m0 ，lim0注可推廣到有限個。推論 3lim f (x)A0 ， lim0 ，lim0f ( x)推論 4l i mxA ， c 為常數(shù)lim cxc lim xcA111推論 5lim xAlim xn(lim x) nAn ， lim x n(lim x) nA nnZ。定理 2.15若： lim xA ， lim y B0limxlim xA 。ylim yB例 1求： lim (3x

8、 22x 1) 。x1解lim (3x22x1)3 lim x22 lim x13122 1 12x1x1x1注若： f ( x) 是一多項式，則：limf ( x)f ( x0 ) 。x x0例 2求：若： f ( x) 是 lim 2x2x5 。x 23x12 x2x5l i m(2x 2x5)5解x 2l i m3x1l i m(3x1)7x2x2注若： f (x)q(x) , p( x0 ) 0p( x), q( x) 是多項式， 則： limf ( x)p(x)xx0lim q( x)q( x0 ) 。= xx0lim p( x)p( x0 )xx0例 3研究： lim5x24x2

9、x解limx240 ，lim5x。5xx24x2x 2例 4求： limx3。x3x29解limx3limx3l i m11x 3 x 29x 3 ( x 3)( x 3)x 3 x36例 5求： limx2。(1)x4x44解l i mx2limx2l i m114x 4 x4x 4 ( x 2)( x 2)x 4x 2例 6求： lim1x1 。x0x解(A0)，q( x)limxx0p( x)l i m 1 x 1lim ( 1x1)( 1 x 1)limxl i m11x 0xx 0x(1 x 1)x 0x( 1 x 1)x 01 x 12例 7求： lim12x3 。x4x22解l

10、i m12x3lim (2x8)(x 22 )lim 2( x22)2 2x 4x 22x 4 ( x 4)( 1 2x 3)x 4 ( 1 2 x 3)3例 8求： lim4x 32x21。3x41x4213204x2x1xx2x4lim解l i m3x410xx313x42x 2例 9求： lim1。8x27 xx2x21211l i mx2解27xl i m74x8xx8x注a0 , nma0 xna1 x n 1an 1 x anb0lim0, nm ( a00,b00, ai , bj 是常數(shù)，且：b0 xmb1 xm1bm 1 x bmx, nmi0,1,2, n ， j0,1,2

11、, m )。例 10已知：x1, x0，研究：，limf (x) ，limf (x) 。yf ( x)2x3x 1, x0lim f (x)xxx 0x31解limf (x)lim ( x1)1，lim f (x)lim x233x 11 ，x0x0x 0x 0x1limf ( x)1；x0又： lim f ( x)limx23x10 ； limf ( x)lim ( x1)。x31xxxx例 11求：limx(x21)xx解l i mx(x 21x)l i mx1x1 。xxx22例 12求： lim (x21x21)x解 l i m( x21x1) = limx21( x21)=lim2=2xxx21x21xx21x212= limx0 。x111212xx 小結(jié)與提問 :1.