橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)(含答案).

1、專(zhuān)題 1：橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用b2性質(zhì)一： 過(guò)橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑( 垂直于焦點(diǎn)的弦 ) 最短，通徑為 2a證明：性質(zhì)二： 已知橢圓方程為 x2y 21(a b 0),兩焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 設(shè)焦點(diǎn)三角形a2b 2PF1F2 中 F1PF2, 則 S F1PF2b2 tan .2證明：性質(zhì)三： 已知橢圓方程為 x 2y 21(a b 0), 兩焦點(diǎn)分別為 F1 , F2 , 設(shè)焦點(diǎn)三角形a 2b 2PF1F2 中 F1 PF2, 則 cos12e2 .例1.若 P是橢圓 x 2y 21上的一點(diǎn)， F1、 F2 是其焦點(diǎn)，且F1 PF2 60 ，10064求 F1PF2 的面積

2、 .例 2. 已知 P 是橢圓 x 2y 21上的點(diǎn)， F1、 F2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，259若PF1PF 21 ，則 F1PF2 的面積為（）|PF1|PF2|2A.3 3B.23C.3D.33例 3. 已知橢圓 x2y 21的左、右焦點(diǎn)分別是 F1、 F2，點(diǎn) P 在橢圓上 .169若 P、 F1 、 F2 是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P 到 x 軸的距離為（）A.9B.97C.9D.9 或 9757447例 4.已知 F1 、 F2 是橢圓 x2y 21(a b 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P 使a 2b 2F1PF 290 ，求橢圓離心率 e 的取值范圍。練習(xí)題：1.橢圓 y

3、 2x 21 上一點(diǎn) P 與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn) F1 、F2 的連線互相垂直， 則 F1 PF2 的4924面積為（）A. 20B. 22C. 28D. 242.橢圓 x2y 21的左右焦點(diǎn)為 F1 、 F2 ， P 是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng) F1PF2 的面積為 14時(shí)， PF1 PF2的值為（）A. 0B. 1C. 3D. 63.橢圓 x2y 21的左右焦點(diǎn)為 F1 、 F2 ， P 是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng) F1 PF2的面積4最大時(shí)， PF1PF2的值為（）A. 0B. 2C. 4D.24已知橢圓 x 2y21（ a 1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2，P為橢圓上一點(diǎn)，a 2且 F1 PF260 ，則| PF1

4、| | PF2|的值為（）A1B 1C 4D 23335.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)1 、 F2 為焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在橢圓上，直線 PF1 與 PF2 傾斜角的差為 90， F1 PF2的面積是 20，離心率為5 ，3專(zhuān)題 2：離心率求法：1若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與它的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為()2356A. 2B. 2C. 3D. 32若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()4321A. 5B.5C.5D.53若橢圓的短軸長(zhǎng)為 6，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的最近距離是1，則橢圓的離心率為_(kāi)22已知x2y2 1(a>b>

5、;0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 AB、AC 分別過(guò)焦點(diǎn) F1、F2，4.A 為橢圓 ab且與橢圓交于 B、 C 兩點(diǎn)，若當(dāng) AC 垂直于 x 軸時(shí)，恰好有 |AF1 2，|AF| 31求該橢圓的離心率5如圖所示， F1 、F2 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M 的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)2的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的3，求橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)及應(yīng)用（答案）性質(zhì)二證明：記 | PF1 |r1 ,| PF2 |r2 ，由橢圓的第一定義得r1r22a,( r1r2 )24a 2 .22F 1在 F1PF2 中，由余弦定理得：r1r22r1 r2 cos(2c)2 .配方得：

6、 (r1r2)22r1r22cos42 .r1r2c即 4 22r1r2(1 cos)4c2 .ar1 r22(a 2c 2 )2b 2.1cos1 cos由任意三角形的面積公式得：1sin2sincos2S F1 PF2r1r2 sinb2b22b2tan .21cos222cos2S FPF2b2 tan .12同理可證，在橢圓y 2x21（ ab0. ）中，公式仍然成立a 2b2性質(zhì)三證明：設(shè) PF1r1 , PF 2r2 , 則在F1 PF2 中，由余弦定理得：r12r222(r1r2 ) 22r1r24c22a22c2cosF1F22r1r 22r1 r22r1 r212a22c 2

7、12a22c211 2e2 .命題得證。r1r2)22a 2y2(2Px2y 2例 1解法一：在橢圓1 中， a10,b8, c 6, 而60 .10064OF 2x記 | PF1 | r1 , | PF2 |r2 .點(diǎn) P 在橢圓上，由橢圓的第一定義得：r1r22a20.在 F1 PF2 中，由余弦定理得：r12r222r1r 2 cos(2c) 2 .配方，得： (r1r2) 23144.r1r24003r1r2144. 從而 r1 r2256 .3S F1PF21 r1r2 sin1256364 3.22323解法二：在橢圓x2y21 中， b264，而60 .10064S F1PF2b

8、2 tan264 tan 30643 .3例 2.解：設(shè)F1PF2，則 cosPF1PF2160 .|PF1|PF2 |，2S FPF2b2 tan29 tan 3033.1故選答案A.例 3.解：若 F1或 F2 是直角頂點(diǎn)， 則點(diǎn) P 到 x 軸的距離為半通徑的長(zhǎng)b 29 ；若 P 是直角頂點(diǎn)，a4設(shè)點(diǎn) P 到 x 軸的距離為h，則 S F PFb 2 tan9 tan 45 9 ，又 S F PF1(2c) h7h,122122977h 9 ， h. 故答案選 D.7思路一：由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)二，cos90 01 2e2 .2 e 12思路二：利用焦點(diǎn)三角形性質(zhì)，從面積角度考慮不妨設(shè)短軸一

9、端點(diǎn)為 B則S FPFb 2 tan 45b2S FBF212c b bc1212cb2 c 2a2c 2 c2e2c21 ，故2 e 1a222練習(xí)題：1.解：F1PF290 , b224 ，S FPF2b2 tan24 tan 4524 .12故答案選 D.2.解：設(shè)F1 PF2，S FPFb2tantan1 ，122245 ,90， PF1PF20.2故答案選 A.3.解： a2,b 1, c3，設(shè)F1 PF2，S FPFb 2tantan ，1222當(dāng) F1 PF2 的面積最大時(shí)，為最大，這時(shí)點(diǎn)P 為橢圓短軸的端點(diǎn)，120 ，PF1PF2| PF1| | PF2 | cosa 2 co

10、s1202 .故答案選 D.4 解：F1 PF260 ， b1，S FPF2b2 tantan 303 ，123又S FPF21|PF1| PF2 | sin3 |PF1| PF2 |，1243 |PF1| |PF2 |3，從而 | PF1| |PF2| 4.433故答案選 C.5. 解：設(shè)F1PF2，則90.S FPFb2 tanb 2 tan 45b220 ，122又ca2b 25ea3，a1b25，即1205.a 29a29解得： a 245 .所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21或 y 2x21 .45204520離心率求法：1.解析：選 A. 如圖所示，四邊形 B1F2B2F1 為正方

11、形，則 B2 OF2 為等腰直角三角形，c2 a 2 .2.解析：選 B.由題意知 2bac，又 b2a2 c2， 4(a2 c2)a2c2 2ac. 3a2 2ac5c2 0.5c22ac3a20. 5e2 2e30.e35或 e 1(舍去 )3.解析：依題意，得b3，ac1.又 a2b2 c2，解得 a5，c4，c 44橢圓的離心率為ea5.答案：54.解：設(shè) |AF2 |m，則 |AF1| 3m，2a|AF1| |AF2| 4m.又在 RtAF1F2 中，|F1F2|AF1 |2 |AF2|22 2m.2c|F F| 2 2m212e2a2a 4m 2 .5. 解：法一：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、 短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為 a、b、c.則焦點(diǎn)為 F1(c,0)，2F2 (c,0)，M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (c， 3b)，則 MF1F2 為直角三角形在 Rt MF1F2 中，|F1F2|2|MF 2 |2 |MF 1|2，24 22