正弦定理和余弦定理

1、.正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在 ABC 中，若角 A， B， C 所對的邊分別是a，b，c，R 為 ABC 外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理a2b2 c22bccosA；內(nèi)容sinAa sinBbsinCc2Rb2c2 a22cacosB；c2a2b2 2abcosC， ， ；2c2 a2(1)a2RsinA b2RsinB c2RsinCcosAb2bc；abcc2a2 b2(2)sinA2R，sinB 2R，sinC2R；cosB；變形2ac(3)a b csinAsinB sinC；cosCa2b2c2(4)asinBbsinA，bsinC csinB， asinCcsinA

2、2ab111abc1SABC2absinC2bcsinA2acsinB4R2(a b c)r(r 是三角形內(nèi)切圓半徑 )，并可由此計(jì)算 R、r選擇題在 ABC 中，已知 a2，b6，A45，則滿足條件的三角形有 ()A1 個B2 個C0 個D無法確定解析 bsinA62， ，滿足條件的三角形有2個23bsinAa32，解析因?yàn)?31，所以只需使邊長為3 及 x 的對角都為銳角即可，故即 8x2x2，又因?yàn)?x0，所以 22x10.c在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若bcosA，則 ABC 為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形csinC解析已知 bco

3、sA，由正弦定理，得sinBcosA，即 sinCsinBcosA，所以 sin(A B)sinBcosA，即 sinBcosA cosBsinAsinBcosA0，所以 cosBsinA0，于是有 cosB1.;. 角 B 不存在，即滿足條件的三角形不存在若 ABC 的三個內(nèi)角滿足sinAsinB sinC51113，則 ABC()A一定是銳角三角形B一定是直角三角形C一定是鈍角三角形D可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形abc解析 由正弦定理 sinA sinB sinC 2R(R 為 ABC 外接圓半徑 )及已知條件sinAsinB sinC51113，可設(shè) a5x，b11x，c13x(

4、x0)則 cosC5x 2 11x 2 13x 223x20，25x11x110x2 C 為鈍角， ABC 為鈍角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，則“ ab”是“ cos2Acos2B”的 ()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析 因?yàn)樵?ABC 中， ab? sinA sinB? sin2 22 22 2Asin B? 2sin A2sin B? 12sin A12sin B?cos2Acos2B，所以 “ ab”是 “cos2Acos2B”的充分必要條件在 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別是 a， b， c，已知 bc

5、，a2 2b2sinA)，則)(1A (3A. 4B.3C.4D.6解析在 ABC 中，由 bc，得 cosAb2 c2a22b2a222sinA)，所以 cosA2bc2，又，2ba 2b(1sinA即 tanA 1，又知 A(0， )，所以 A4，故選 C.3在 ABC 中， AB3，AC1，B30， ABC 的面積為 2 ，則 C ()A30B45C 60D75解析 SABC1 3，2 AB AC sinA213即 23 1 sinA 2 ，sinA1，由 A(0 ，180)， A 90，C60，故選 C;.已知 ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a，b，c，且cbsinA，

6、則 B等于()ca sinC sinB3A. 6B.4C.3D. 4解析根據(jù)正弦定理 a b c2R，得cbsinA a，sinAsinBsinCca sinCsinBcba2 c2b21即 a2c2 b2ac，得 cosB2ac2，故 B3，故選 C.23，則 B等于(在 ABC 中，角 A，B，C 對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，若 A3，a2，b23)5 5A. 3B. 6C.6或 6D.622 3abb23331 A解析3 ，a2，b 3，由正弦定理 sin A sin B可得， sinBasinA22 2，2 A 3 ，B6設(shè) ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對邊的長分別為 a，b，c，若

7、 bc2a,3sinA5sinB，則角 C 等于 ()235A. 3B.3C. 4D. 6解析因?yàn)?3sinA 5sinB，所以由正弦定理可得3a5b.因?yàn)?b c 2a，所以 c 2a37令 ，5a5a.a5b3，c7，則由余弦定理c2 a2b2 2abcosC，得 49 259235cosC，解得 cosC1，所以 C23.2在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c，若 c2(ab)26，C3，ABC 的面積是 ()9333A 3B. 2C. 2D3 3解析 c2 2 ，2 22 (ab)6cab2ab 6. C3，c2 a2b22abcos3a2b2ab.由得 ，即1

8、16333ABC2absinC222 .ab 60ab 6， S;.填空題 ABC 中，若 bcosCccosB asinA，則 ABC 的形狀為 _解析由已知得 sinBcosCcosBsinCsin2A， sin(BC) sin2A， sinA sin2A，又 sinA 0， sinA 1， A 2， ABC 為直角三角形在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若角 A，B，C 依次成等差數(shù)列， 且 a 1，b3，則 S ABC _.解析因?yàn)榻?A，B， C 依次成等差數(shù)列，所以B60.由正弦定理，得13，解得sinA1sin A sin 60 ，213因?yàn)?A180，所

9、以 A30或 150(舍去 )，此時 C 90，所以 S ABC2ab2sin2A在 ABC 中， a4，b5，c6，則 sinC _b2c2a225 361637解析由余弦定理： cosA2bc 2564，sinA4，a2 b2c2371625 36 137sin2A244cosC2ab 2 58， sinC8 ， sinC71.438在 ABC 中，角 A，B，C 的對邊分別為 a， b， c.若(a2 c2b2，則角B 的值為 _)tanB3ac解析由余弦定理，得a2c2b233 22ac cosB，結(jié)合已知等式得 cosBtanB 2 ，sinB 2，B3或 3在 ABC 中，角 A，

10、B，C 的對邊分別為a，b，c，已知 bcosC3bsinC a c 0，則角 B _解析由正弦定理知， sinBcosC3sinBsinCsinAsinC 0 sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，代入上式得 3sinBsinC cosBsinCsinC 01 sinC0， 3sinBcosB1 0， 2sin B6 1，即 sin B6 2.;. B (0，)，B3在 ABC 中，已知 sinAsinB2 1， c2b2 2bc，則三內(nèi)角 A，B，C 的度數(shù)依次是 _解析由題意知 a2b，a22c22bccosA，即2b2b22，bc2bccosA2221又 c b 2b

11、c，cosA 2 ，A45，sinB2，B30，C 105.1設(shè) ABC 的內(nèi)角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，且 a 2，cosC4，3sinA2sinB，則 c _解析 由 3sinA2sinB 及正弦定理，得 3a 2b，又 a 2，所以 b3，故 c2222abcosC ab4 91223 416，所以 c4.設(shè) ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a， b， c.若 a3，sinB1， C ，則 b_2615解析因?yàn)?sinB2且 B(0， )，所以 B6或 B 6 .2又 C6，BC，所以 B6，ABC 3 .又 a3，由正弦定理得ab3b，即，sinAsinB2sin3

12、sin6在 ABC 中， A 60， AC 2， BC3，則 AB_解析 A 60，AC2，BC3，222設(shè) ABx，由余弦定理，得BC AC AB 2ACABcosA，化簡得 x22x 10， x 1，即 AB1.2b在 ABC 中， A 3 ，a3c，則 c_解析在 ABC 中， a22c2，將A2代入，可得(3c)2222bc1， b2bccosA3a3cbc2222b 2bb整理得 2c b bc， c0， 等式兩邊同時除以c，得 2 cc，可解得 c1;.在 ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，已知 ABC 的面積為3 15，bc2，cosA1，則 a

13、的值為 _4解析 cosA 1， ， 15 ABC1115315，bc24，4 0 AsinA4 ，S2bcsinA2bc4又 bc2，b2 2bc c24，b2c2 52，2221由余弦定理得， a b c 2bccosA52224 4 64， a8.解答題 221 2在 ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別是a，b，c，已知 A4，b a2c(1)求 tanC 的值；(2)若 ABC 的面積為 3，求 b 的值2 2 1 2解 (1)由 b a 2c 及正弦定理得21 1 223sin B 22sin C.所以 cos2B sin C.又由 A4，即 BC4，得33 cos2B

14、cos24C cos 22C sin2C 2sinCcosC，由 解得 tanC2.255(2)由 tanC2，C(0，)得 sinC5 ，cosC 5，310因?yàn)?sinBsin(AC) sin 4 C，所以 sinB10，22 1由正弦定理得 c3b，又因?yàn)?A4，2bcsinA 3，所以 bc62，故 b3.已知 a，b，c 分別為 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊， a3bsinAacosB.(1)求角 B；(2)若 b 2， ABC 的面積為3，求 a，c.解 (1)由 a 3bsinAacosB 及正弦定理，得 sinA 3sinBsinA sinAcosB， 0A0，1 53

15、sinBcosB 1，即 sin B 6 2，又 0B， 6B 6 6 ， B3.122222(2)S 2acsinB3， ac4， ，又 b a c 2accosB，即 a c 8.由 聯(lián)立解得 ac 2.;.如圖，在 ABC 中， D 是 BC 上的點(diǎn)， AD 平分 BAC， ABD 面積是 ADC 面積的 2 倍sinB(1)求 sinC；2(2)若 AD1，DC 2 ，求 BD 和 AC 的長解(1)S ABD 1， ADC12AB ADsinBADS2AC ADsin CAD.因?yàn)?S ABD 2SsinB AC 1ADC，BADCAD，所以 AB2AC，由正弦定理可得 sinCAB

16、2.(2)因?yàn)?SABDS ADC BD DC，所以 BD 2.在 ABD 和 ADC 中，由余弦定理，知222222AB AD BD 2ADBDcosADB，AC AD DC 2ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2 BD22DC26，由 (1)知 AB 2AC，所以 AC1.在 ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊分別為a，b，c，已知 ac66 b， sinB 6sinC(1)求 cosA 的值；(2)求 cos 2A6的值c ，及解 (1)ABC 中，由 b 6sinC，可得b6c，sinBsinCsinB6b2c2a26c2c24c26又由 ac 6 b，有 a2c，

17、所以 cosA2bc26c24610(2)在 ABC 中，由 cosA 4，可得 sinA 42115于是， cos2A 2cos A 14，sin2A2sinAcosA41315 115 3所以， cos 2A6 cos2Acos6 sin2Asin6 4 2428已知 a，b，c 分別為 ABC 三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊， a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，則 ABC 面積的最大值為解析由正弦定理，可得 (2 b)(a b) (cb) c a 2， a2b2 c2bc，即 b2 c2a2bc;.b2c2a213由余弦定理，得 cosA2bc2，sinA2 .由 b2

18、c2 bc4，得 b2c2 4 bc. b222bc，即 4bc 2bc，bc4，SABC1 ，即ABCmaxc2bc sinA3(S)3.在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 ab，c3， cos2A cos2B3sinAcosA 3sinBcosB.(1)求角 C 的大??；4(2)若 sinA5，求 ABC 的面積解(1)由題意得1 cos2A1cos2B22332 sin2A 2 sin2B，3131即 2 sin2A 2cos2A 2 sin2B 2cos2B， sin 2A 6sin 2B6 .2由 ab，得 A B，又 A B (0，)，所以 2A62

19、B6，即 A B 3 ，所以 C 3.4ac8(2)由 c 3，sinA5，sinA sinC，得 a5，3由 ac，得 A C，從而 cosA 5，故 sinB sin(A C)sinAcosC cosAsinC43310，18 318所以， ABC 的面積為 S2acsinB25.36在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 cosB3 ，sin(AB)9，ac23，求 sinA和 c 的值366解 在 ABC 中，由 cosB 3，得 sinB 3 ，因?yàn)?A B C，所以 sinC sin(A B) 9 .53因?yàn)?sinCsinB，所以 CB，可知 C 為銳角

20、所以 cosC 9 .6533622因此 sinAsin(BC) sinBcosCcosBsinC 3 93 9 3 .;.accsinA232c由 sinAsinC，可得 a sinC 623c，又 ac 23，所以 c1.9專項(xiàng)能力提升在 ABC 中， AC7，BC2，B60，則 BC 邊上的高等于 ()33 33 63 39A. 2B.2C.2D.4解析設(shè) ABc，則由 AC22BC2 知 2 2c，即c22c， 負(fù)AB2AB BC cosB7 c43 0c3(3 3 3值舍去 )BC 邊上的高為 ABsinB3 2 2 .在 ABC 中，內(nèi)角 A， B， C 所對的邊長分別是a， b，

21、 c，若 cacosB(2a b)cosA，則 ABC 的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析 cacosB(2ab)cosA，C(A B)， 由正弦定理得 sinC sinAcosB 2sinAcosA sinBcosA， sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosA cosA(sinBsinA)0， cosA 0 或 sinBsinA， A2或 BA 或 BA(舍去 )， ABC 為等腰或直角三角形在 ABC 中，三個內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若 S ABC23，ab6，acos Bbcos Ac 2cosC，則 c()A2 7B4C2