初中數學定義、定理、公理、公式證明匯編(共12頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上初中數學定義、定理、公理、公式專心-專注-專業(yè)直線、線段、射線 七上p128 1. 過兩點有且只有一條直線.（簡：兩點決定一條直線）七上p132 2.兩點之間線段最短 七上p142 3.同角或等角的補角相等.同角或等角的余角相等.七下p44. 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 七下p65. 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短. （簡：垂線段最短）平行線的判斷七下p131.平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行. 七下p132.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行（簡：平行于同一直線的兩直線平行）七下p143.同位角

2、相等，兩直線平行. 七下p144.內錯角相等，兩直線平行. 七下p155.同旁內角互補，兩直線平行. 平行線的性質七下p201.兩直線平行，同位角相等. 2.兩直線平行，內錯角相等. 3.兩直線平行，同旁內角互補. 三角形三邊的關系七下p641.三角形兩邊的和大于第三邊、三角形兩邊的差小于第三邊.三角形角的關系七下p731. 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°.2.直角三角形的兩個銳角互余.已知：Rt,C=90°求證：A+B=90°證明：C=90°，A+B+C=180° A+B=90°七下p753.三角形的一個外角等于和

3、它不相鄰的兩個內角的和. 4. 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.全等三角形的性質、判定八上p31.全等三角形的對應邊、對應角相等.八上p92.邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等. 八上p113. 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等. 八上p124.推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.八上p75. 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等. 八上p146. 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等. 角的平分線的性質、判定八上p20性質：在角的平分線上

4、的點到這個角的兩邊的距離相等.八上p21判定：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上.等腰三角形的性質八上p501.等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角).2.推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 .已知：中，AB=AC,AD是BAC的角平分線求證：AD平分BC,ADBC.證明：AB=AC,AD是BAC的角平分線 AD平分BC,ADBC.（三線合一）八上p503.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.八上p544.推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60° .等腰三角形判定八上p521等腰三角形的判

5、定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊） 八上p542.三個角都相等的三角形是等邊三角形. 八上p543.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.線段垂直平分線的性質、判定八上p331. 定理： 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 .八上p332.逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上. 3.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合. 軸對稱、中心對稱、 平移、旋轉 八上p301. 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形 八上p32八上p322.如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連

6、線的垂直平分線 八上p333.兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上 八上p324.若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱. 九上p645.關于中心對稱的兩個圖形是全等的. 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.九上p646. 若兩個圖形的對應點連線都經過某一點,并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點成中心對稱.九上p57 p62 7.平移或旋轉前后的圖形是不變的.中心對稱是旋轉的特殊形式。八下p65勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2 .八下

7、p73勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角八上p55直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.八下p95直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.n邊形、四邊形的內角和、外角和七下p821.四邊形的內角和等于360°. 七下p832.四邊形的外角和等于360°七下p823.多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等于（n-2）180°.七下p83.推論 任意多邊的外角和等于360°.平行四邊形性質八下p841.平行四邊形的對角相等. 八下p842.平行四邊形的對邊相等.

8、 3.夾在兩條平行線間的平行線段相等. 已知：直線ab,線段ABCD.求證：AB=CD.abABCD證明：ab, ABCD，四邊形ABDC是平行四邊形AB=CD八下p854.平行四邊形的對角線互相平分.平行四邊形判定八下p831.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.八下p872.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形. 八下p873.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形. 八下p874.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. 八下p885. 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 八下p94矩形性質1. 矩形的四個角都是直角 .2. 矩形的對角線相等.矩形判定八下p951.有一個角是直角的平行四邊

9、形是矩形.八下p962.有三個角是直角的四邊形是矩形.八下p963. 對角線相等的平行四邊形是矩形 .八下p98菱形性質1、菱形的四條邊都相等.2. 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角. 3、菱形面積=對角線乘積的一半，即證明：菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形,且菱形對角線互相平分 設菱形對角線長為x,y則S菱形=4×1/2×(x/2×y/2)=1/2×xy 所以菱形的面積等于其對角線乘積的一半 八下p99菱形判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.四邊都相等的四邊形是菱形 3.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.八下p100正

10、方形性質1.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.2.正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角. 正方形判定八下p1001.四個角都是直角，四條邊都相等的四邊形是正方形2.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.證明：對角線互相平分平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形菱形；對角線相等的平行四邊形矩形形；菱形+矩形正方形八下p107等腰梯形性質1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等.2.等腰梯形的兩條對角線相等. 等腰梯形判定八下p1081.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形2.對角線相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD中，ADBC,AC=BD.求證：梯形ABCD

11、是等腰梯形。證明： 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰. 已知：梯形ABCD中，ADBCEF，其中E是AB中點。求證：F是CD中點證明：連接AC交EF于點GADBCEFAEGABCE是AB中點同理可證F是CD中點. 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊.（證法參照上題）八下p89三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 ，S=Lh 已知：梯形ABCD中，ADBC, EF是梯形的中位線，設AD=a,BC=b,EF=l,梯形高為h。求證： S=Lh證明：連接AF交BC延長線與G點九下p3

12、6 比例的基本性質 如果a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定九下p421.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.九下p462.兩角對應相等，兩三角形相似. 九下p443.兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似 九下p434.三邊對應成比例，兩三角形相似九下p475.如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.已知：RTABC和RTDEF，AC與DF為斜邊，AB：DE=AC：DF求證：RTABCRTDEF證明：由勾股定理得：BC= EF=設AB：DE=AC：DF=kAB:AC=DE:DF=

13、k（AB:AC）²=（DE:DF）²=k²AB²=k²AC²,DE²=k²DF²BC= = EF= =BC:EF=：=AC:DF=AB：DE三邊對應成比例RTABCRTDEF 相似三角形性質九下p521. 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比. 2.相似三角形周長的比等于相似比. 3.相似三角形面積的比等于相似比的平方. 九下p59-604.位似圖形是相似圖形的特殊形式。位似比等于相似比。以三角形為例：已知：與是以O為位似中心的位似圖形，位似比為1：k求證：與的相似比為1：k與

14、是以O為位似中心的位似圖形理可得 , ，與的相似比為1：k圓九上p791.圓是到定點的距離等于定長的點的集合.九上p902.圓的內部可以看作是到圓心的距離小于半徑.的點的集合. 3.圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合.九上p794.同圓或等圓的半徑相等. 九上p925.不在同一直線上的三點確定一個圓。 垂徑定理 九上p811.垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 .推論1 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 .弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.已知：AB為圓O的一條弦，CE垂直平分AB，垂足為D求證：CE是過點O，,證明：假設CE不過

15、點O 連接OA,OD,OB過點D有兩條直線與AB垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產生矛盾，所以假設不成立 CE是過點O，即CE是圓O的直徑根據推論1，可得,平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 .已知：O為圓心，CE是直徑，求證：，AOCBOC.OA=OBAOB為等腰三角形，CE平分它的頂角。從“三線合一定理”， ，又AOE180°-AOC180°-BOCBOE.九上p823.圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 .九上p834.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等 .5.在同圓或等圓中，如果

16、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等. 以下是等弦推出等弦心距的情況，其他的類似已知：AB，CD為圓O的兩條等弦,OE AB,OF CD求證：OE=OF證明：九上p85圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓 中，相等的圓周角所對的弧也相等.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑. 九上p87如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 .三角形的外心，三角形外接圓的圓心，它是三邊的中垂線的交點，到三個頂點的距離相等.如圖，三種ABC中，

17、為 AB的垂直平分線，為 BC的垂直平分線，與交于點O，連接OA、OB、OC ，是 AB的垂直平分線， OBOA 又是BC的垂直平分線 OBOC 故OA OB OC O在BC的垂直平分線上，即AC的垂直平分線過點O。九上p97三角形的內心，三角形內切圓的圓心，它是三個內角的平分線的交點，到三邊的距離相等.已知，I是三角形ABC中和的角平分線的交點求證：AI平分，I到三邊的距離相等證明：作 I是三角形ABC中和的角平分線的交點點I在的角平分線上，即AI平分且直角三角形三邊為a、b、c，c為斜邊，則外接圓的半徑；內切圓的半徑已知例2：如圖，RtABC，C=90°，兩直角邊a，b，斜邊為c

18、，它的內切圓O分別與BC，AC，AB相切于點D、E、F（1）求這個三角形外接圓半徑R和內切圓的半徑r.解：做出如圖輔助線,C=90°為外接圓直徑直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點外接圓半徑R=（2）RtABC的內切圓O分別與BC，AC，AB相切于點D、E、F四邊形CDOE是矩形，又OE=OD矩形CDOE是正方形，EC=CD=r由切線長定理可得：BD=BF=a-rAF=AE=b-rAF+BF=ca-r+ b-r=c九上p94直線和圓的位置關系 直線L和O相交 dr 直線L和O相切 d=r 直線L和O相離 dr 九上p95切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這切線九上p96切線的性質：圓

19、的切線垂直于經過切點的半徑經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 .已知：直線l是圓O切線，A為切點，OBl，垂足為B求證：直線OB不經過A點證明：假設直線OB不過A點直線l是圓O切線，A為切點過點O有兩條直線OA和OB與直線l垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產生矛盾，所以假設不成立直線OB過A點 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.已知：直線l是圓O切線，A為切點，ABl，AB與圓O交于點B求證：直線AB過圓心O證明：假設直線AB不經過圓心O直線l是圓O切線，A為切點過點A有兩條直線OA和AB與直線l垂直，這與“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”產生矛盾，所以假設不成立

20、直線AB過圓心O九上p97切線長定理. 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.圓和圓的位置關系如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 證明：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，兩圓組成的圖形也是軸對稱圖形，連心線是它的對稱軸，假設切點不在連心線上，則它關于連心線的對稱點也不在連心線上，而是兩圓的另一個公共點，這跟兩圓相切只有一個公共點矛盾，所以切點一定在連心線上九上p100兩圓外離 dR+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-rdR+r(Rr) 兩圓內切 d=R-r(Rr) 兩圓內含dR-r(Rr) 正多邊形和圓依次連結各等分點所得的多邊形是

21、這個圓的內接正n邊形 n(n3):以五邊形為例已知：圓O中,求證：五邊形ABCDE是O的內接正五邊形又，五邊形ABCDE的頂點都在圓O上，五邊形ABCDE是圓O的內接正五邊形。經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形。已五邊形為例，經過圓的五等分點作圓的切線，觀察以相鄰切線的交點為頂點的五邊形是不是正五邊形？已知，PQ、QR、RS、ST分別是經過分點A、B、C、D、E的O的切線求證：五邊形PQRST是O的外切正五邊形證明： PQ、QR、RS、ST分別是經過分點A、B、C、D、E的O的切線五邊形PQRST是O的外切正五邊形定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內

22、切圓，這兩個圓是同心圓.以五邊形為例證明：如果正五邊形ABCDE有外接圓，則A、B、C、D、E五點應都在同一個圓上，且它們到圓心的距離相等不在同一直線上的三點確定一個圓，不妨過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C作O，連結OA、OB、OC、OD、OE則OA=OB=OC；OABODCABCDE有一個外接圓O既然正五邊形有一個外接O，那么正五邊形的五條邊也就應是O的五條等弦根據弦等、弦心距相等，證明參見p4，可知點O到五邊的距離等以該弦心距為半徑作圓，可得該圓與各邊都相切，所以同樣，正n邊形也應有一個內切O，且兩圓同心定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形. 以五邊形為例已

23、知：正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距求證：正五邊形的半徑和邊心距把正五邊形分成十個全等的直角三角形.證明：正五邊形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,為五邊形各邊的邊心距（弦等推出弦心距等證明參見p4）同理其他直角三角形也全等，每條邊和圓心以及對應半徑一共組成5個三角形，每個三角形可以分割成兩個直角三角形，所以一共有10個全等的直角三角形。正三角形面積， a表示邊長. 已知，正邊長為a求證：正三角形面積證明：作AD BC于D，正邊長a九上p110扇形弧長： 九上p111扇形面積： 圓拄的側面積圓柱展開圖是矩形，長和寬中其中一條是圓柱的高h，另一條是圓

24、柱底面周長，所以面積為圓拄的表面積九上p113圓錐的側面積圓錐的表面積冪的運算：八上p160a0時a0=1，八下p19a-p=八上142am an= am+n；（am）n= am n 0的0次冪沒有意義八上p151平方差：a2-b2=(a+b)(a-b)八上p154完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2推廣：a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab證明： 八上p27一次函數y=kx+b（k0）八上p30k>0，y隨x的增大而增大k<0，y隨x的增大而減少八上p23正比例函數y=kx （k0）八上p25k>0，y隨x的增大而增大,直線y=kx經過（0，0），（1，k）, 經過第一、三象限k<0，y隨x的增大而減少,直線y=kx經過（0，0），（1，k），經過第二、四象限八下p39反比例函數（k0）八下p43k>0，雙曲線在第一、三象限，在每個象限內，隨x