簡單的線性規(guī)劃問題

1、551ABCOxy2022年年2月月10日星期四日星期四則用不等式可表示為則用不等式可表示為:024020 xyxyy解解：此平面區(qū)域在此平面區(qū)域在x-y=0的右下方，的右下方， x-y0它又在它又在x+2y-4=0的左下方，的左下方， x+2y-40它還在它還在y+2=0的上方，的上方， y+20Yox4-2x-y=0y+2=0 x+2y-4=02練習(xí)練習(xí) .求由三直線求由三直線x-y=0;x+2y-4=0及及y+2=0所圍成的平面區(qū)域所表示的不等式。所圍成的平面區(qū)域所表示的不等式。求二元一次不等式組求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積所表示的平面區(qū)域的面積例例 x-y+50 y2 0

2、x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如圖，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪稳鐖D，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪? ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD=3,AB=2,BC=5故所求區(qū)域的面積為故所求區(qū)域的面積為S=S=解析：解析：135282課堂課堂 練習(xí)練習(xí)2.答案：B 4.5.自我鞏固一下自我鞏固一下 例例3方法總結(jié)方法總結(jié)自我鞏固一下自我鞏固一下試試自己的能耐試試自己的能耐1.2.三含參數(shù)的問題三含參數(shù)

3、的問題若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x2若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x22 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想答案答案:5a5a 7 72.0024xyxysyx35s6,157,156,87,

4、81（廣東卷）下，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是B. C. D. A.32zxyO在約束條件49 某工廠用某工廠用A A、B B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4 4個個A A配件耗時配件耗時1h1h，每生產(chǎn)一件，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用乙產(chǎn)品使用4 4個個B B配件耗時配件耗時2h2h，該廠每天最多可從配，該廠每天最多可從配件廠獲得件廠獲得1616個個A A配件和配件和1212個個B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h計(jì)計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？解：解：按甲、乙兩種產(chǎn)品分別

5、生產(chǎn)按甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x x、y y件，由已知條件，由已知條件可得二元一次不等式組件可得二元一次不等式組2 y8284 x1 644 y1 23x00y00 xxyxyxy 四四 線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用：線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用： 將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域?qū)⑸鲜霾坏仁浇M表示成平面上的區(qū)域yx4843o 若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2 2萬元，生產(chǎn)萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利一件乙產(chǎn)品獲利3 3萬元，采用那種生產(chǎn)萬元，采用那種生產(chǎn)安排利潤最大？安排利潤最大？ 設(shè)工廠獲得的利潤為設(shè)工廠獲得的利潤為z z，則，則z z2x2x3y3y把把z z2x2x3y3y變形為變形為 它表示

6、斜率為它表示斜率為 的直的直線系，線系，z z與這條直線的與這條直線的截距有關(guān)。截距有關(guān)。233zyx 23 如圖可見，當(dāng)直線經(jīng)過區(qū)域上的點(diǎn)如圖可見，當(dāng)直線經(jīng)過區(qū)域上的點(diǎn)MM時，截距最大，時，截距最大，即即z z最大。最大。M28xy 284300 xyxyxy 4x 甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x x、y y件件基本概念基本概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)榘亚笞畲笾祷蚯笞钚≈档牡暮瘮?shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)樗顷P(guān)于變量它是關(guān)于變量x x、y y的一次解析式，又稱線性目標(biāo)函數(shù)。的一次解析式，又稱線性目標(biāo)函數(shù)。 滿足線性約束的解滿足線性約束的解（x x

7、，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。 一組關(guān)于變量一組關(guān)于變量x x、y y的一次不等式，稱為線性約束條的一次不等式，稱為線性約束條件。件。 由所有可行解組成的由所有可行解組成的集合叫做可行域。集合叫做可行域。 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解。這個問題的最優(yōu)解?？尚杏蚩尚杏蚩尚薪饪尚薪庾顑?yōu)解最優(yōu)解約束條件約束條件為為284300 xyxyxy 目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)為4zxy作出上述約束條

8、件所表示的作出上述約束條件所表示的 可行域如下：可行域如下：yx48oM28xy 4x 3y將將 變形為變形為4zxy144zyx 14 這是斜率為這是斜率為 ，隨，隨z變化的平變化的平行直線系，行直線系， 是是 直線在直線在Y軸上的軸上的截距，當(dāng)截距，當(dāng) 最大時，最大時，z取得最大取得最大值。所以直線值。所以直線 與可行域相交且在與可行域相交且在Y軸上的截距軸上的截距最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值最大時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值。4z4z14yx 14yx N由圖可見，當(dāng)由圖可見，當(dāng) 直線直線 經(jīng)過可行域上的經(jīng)過可行域上的N點(diǎn)時點(diǎn)時 最最大，即大，即 最大。最大。4zxy4zz 若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利若

9、生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1 1萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4 4萬元，采用萬元，采用那種生產(chǎn)安排利潤最大？那種生產(chǎn)安排利潤最大？解方程組解方程組 得得N點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）。）。所以所以328yxy max24 314z 例例5、營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)28元；而元；而1kg食物食物B

10、含有含有0.105kg碳水碳水化合物，化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)21元。為了元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費(fèi)最低，需要同時食用食物要同時食用食物A和食物和食物B多少多少kg？分析：分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格將已知數(shù)據(jù)列成表格食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白質(zhì)蛋白質(zhì)/kg脂肪脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解：解：設(shè)每天食用設(shè)每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，總成本為，總成本為z，那么那么0.1050.100.0757750.070.140

11、.0671460.140.070.0614760000 xyxyxyxyxyxyxxyy目標(biāo)函數(shù)為：目標(biāo)函數(shù)為：z28x21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域1、找、找把目標(biāo)函數(shù)把目標(biāo)函數(shù)z28x21y 變形為變形為xyo/ 575/76/73/73/76/74328zyx 它表示斜率為它表示斜率為 縱截縱截距隨距隨z變化的一組平行變化的一組平行直線直線43 是直線在是直線在y軸上軸上的截距，當(dāng)截距最的截距，當(dāng)截距最小時，小時，z的值最小。的值最小。28zM如圖可見，當(dāng)直線如圖可見，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過可行經(jīng)過可行域上的點(diǎn)域上的

12、點(diǎn)M時，縱截距時，縱截距最小，即最小，即z最小。最小。43yx 2、畫、畫3 3、移、移M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組7751476xyxy得得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：1747xy所以所以zmin28x21y16由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B約約571g，能夠，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。元。4 4、求求5 5、答、答58解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： 2 2、畫畫： 畫出線性約束條件所表示的可行域；畫出線性約束條件所表示的可行域； 3 3、移：

13、、移： 在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)利用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；且縱截距最大或最小的直線； 4 4、求求：通過解方程組求出最優(yōu)解；通過解方程組求出最優(yōu)解； 5 5、答：作出答案。答：作出答案。 1 1、找、找 找出線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)；找出線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)； 1.線性規(guī)劃的理論和方法主要在哪幾類問題線性規(guī)劃的理論和方法主要在哪幾類問題中得到應(yīng)用？線性規(guī)劃問題的常見類型有中得到應(yīng)用？線性規(guī)劃問題的常見類型有哪些？哪些？(1)線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中線性規(guī)劃的理論和方法

14、主要在兩類問題中得到應(yīng)用：得到應(yīng)用：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)成該項(xiàng)任務(wù)解線性規(guī)劃問題的類型：解線性規(guī)劃問題的類型： (2)線性規(guī)劃問題的常見類型有：線性規(guī)劃問題的常見類型有：物資調(diào)運(yùn)問題物資調(diào)運(yùn)問題例如已知例如已知A1、A2兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)B1、B2兩個車站運(yùn)往外地，兩個車站運(yùn)往外地，B1

15、、B2兩車站兩車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知的運(yùn)輸能力是有限的，且已知A1、A2兩煤兩煤礦運(yùn)往礦運(yùn)往B1、B2兩車站的運(yùn)輸價格，煤礦應(yīng)兩車站的運(yùn)輸價格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最少？怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最少？產(chǎn)品安排問題產(chǎn)品安排問題例如某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一例如某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品所需個單位的甲種或乙種產(chǎn)品所需A、B、C三三種材料的數(shù)量、此廠每月所能提供的三種種材料的數(shù)量、此廠每月所能提供的三種材料的限制、每生產(chǎn)一個單位甲種或乙種材料的限制、每生產(chǎn)一個單位甲種或乙種產(chǎn)品所獲利潤額都是已知的，這個廠每月產(chǎn)品所獲利潤額都是已知的，這

16、個廠每月應(yīng)如何安排產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得應(yīng)如何安排產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使每月獲得的總利潤最大？的總利潤最大？下料問題下料問題例如要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的短鋼管，例如要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的短鋼管，怎樣下料能使損耗最小？怎樣下料能使損耗最?。?在利用線性規(guī)劃求解有關(guān)應(yīng)用問題時，在利用線性規(guī)劃求解有關(guān)應(yīng)用問題時，有時候需要根據(jù)實(shí)際情況，最優(yōu)解要求是有時候需要根據(jù)實(shí)際情況，最優(yōu)解要求是整數(shù)那么，怎樣才能正確地得出整數(shù)解？整數(shù)那么，怎樣才能正確地得出整數(shù)解？在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，而直接根據(jù)，

17、而直接根據(jù)約束條件得到的不一定是整數(shù)解，通常處約束條件得到的不一定是整數(shù)解，通常處理的方法有兩種：理的方法有兩種：(1)利用約束條件畫出圖形，如果得出的是非利用約束條件畫出圖形，如果得出的是非整數(shù)解，進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，可以找與所求整數(shù)解，進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，可以找與所求出的最優(yōu)解出的最優(yōu)解(非整數(shù)解非整數(shù)解)接近的整數(shù)解進(jìn)行接近的整數(shù)解進(jìn)行驗(yàn)證；驗(yàn)證；(2)在直線的附近找出與此直線距離最近的整在直線的附近找出與此直線距離最近的整點(diǎn)，根據(jù)求出的結(jié)果給出最優(yōu)解的整數(shù)解；點(diǎn)，根據(jù)求出的結(jié)果給出最優(yōu)解的整數(shù)解；(3)我們也可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，我們也可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，或者運(yùn)用平移直線

18、求最優(yōu)整數(shù)解最優(yōu)整或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解最優(yōu)整數(shù)解有時并非只有一個，很可能是許多個，數(shù)解有時并非只有一個，很可能是許多個，應(yīng)具體情況具體分析應(yīng)具體情況具體分析.合理的配餐、配料能做到物有所值、物有超合理的配餐、配料能做到物有所值、物有超值，經(jīng)濟(jì)而又實(shí)惠值，經(jīng)濟(jì)而又實(shí)惠例例1某校食堂以面食和米食為主，面食每某校食堂以面食和米食為主，面食每百克含蛋白質(zhì)百克含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉個單位，含淀粉4個單位，個單位，售價售價0.5元；米食每百克含蛋白質(zhì)元；米食每百克含蛋白質(zhì)3個單位，個單位，含淀粉含淀粉7個單位，售價個單位，售價0.4元學(xué)校要給學(xué)生元學(xué)校要給學(xué)生配制成盒飯，每盒至少有配制成盒飯，每

19、盒至少有8個單位的蛋白質(zhì)個單位的蛋白質(zhì)和和10個單位的淀粉，應(yīng)如何配制盒飯，才個單位的淀粉，應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又使費(fèi)用最少？既科學(xué)又使費(fèi)用最少？解析：解析：設(shè)每份盒飯中面食設(shè)每份盒飯中面食為為x百克，米食為百克，米食為y百克，百克，費(fèi)用費(fèi)用z元，則元，則z0.5x0.4y，作出不等式組所表示的平作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示面區(qū)域如下圖所示 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1某人需要補(bǔ)充維生素，現(xiàn)有某人需要補(bǔ)充維生素，現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含甲、乙兩種維生素膠囊，這兩種膠囊都含有維生素有維生素A，C，D，E和最新發(fā)現(xiàn)的和最新發(fā)現(xiàn)的Z，甲，甲種膠囊每粒含有維生素種膠囊每粒含有維生素

20、A，C，D，E，Z分分別是別是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙種膠囊；乙種膠囊每粒含有維生素每粒含有維生素A，C，D，E，Z分別是分別是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天攝入若此人每天攝入維生素維生素A至多至多19 mg，維生素，維生素C至多至多13 mg，維生素維生素D至多至多24 mg，維生素，維生素E至少至少12 mg，那么他每天應(yīng)服兩種膠囊各多少粒才能滿那么他每天應(yīng)服兩種膠囊各多少粒才能滿足維生素的需要量，并能獲得最大量的維足維生素的需要量，并能獲得最大量的維生素生素Z? 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖

21、所示，作出作出5x2y0.把直線向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)把直線向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，時，z5x2y取得最大值取得最大值 日常生產(chǎn)生活中，對所支配資源能做到科日常生產(chǎn)生活中，對所支配資源能做到科學(xué)合理的重組與配置，能夠提高勞動效率學(xué)合理的重組與配置，能夠提高勞動效率創(chuàng)造最大經(jīng)濟(jì)效益創(chuàng)造最大經(jīng)濟(jì)效益 例例2某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)產(chǎn)1 t產(chǎn)品需要的電力、煤、勞動力及產(chǎn)產(chǎn)品需要的電力、煤、勞動力及產(chǎn)值如下表所示：值如下表所示：品種品種電力電力(千度千度)煤煤(噸噸)勞動力勞動力(人人)產(chǎn)值產(chǎn)值(千元千元)甲甲4357乙乙6639 該廠

22、的勞動力滿員該廠的勞動力滿員150人，根據(jù)限額每天用人，根據(jù)限額每天用電不超過電不超過180千度，用煤每天不得超過千度，用煤每天不得超過150 t，問每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少時，才能創(chuàng)問每天生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少時，才能創(chuàng)造最大的經(jīng)濟(jì)效益？造最大的經(jīng)濟(jì)效益？ 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2(圖表信息題圖表信息題)北京華欣公司北京華欣公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時出售計(jì)劃在今年內(nèi)同時出售“夜鶯牌多功能夜鶯牌多功能”電子琴和電子琴和“OK智能型智能型”洗衣機(jī)，由于這洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況

23、(如資金、勞動力如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大已知對這兩種產(chǎn)以使得總利潤達(dá)到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)如過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：下表：資金資金單位產(chǎn)品所需資金單位產(chǎn)品所需資金(百元百元)月資金供月資金供應(yīng)量應(yīng)量(百百元元)電子琴電子琴洗衣機(jī)洗衣機(jī)成本成本3020300勞動力勞動力(工工資資)510110單位利潤單位利潤68 試問：試問：怎樣確定兩種產(chǎn)品的月供應(yīng)量，才怎樣確定兩種產(chǎn)品的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？能使

24、總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？ 分析：分析：先設(shè)出月供應(yīng)電子琴和洗衣機(jī)數(shù)量，先設(shè)出月供應(yīng)電子琴和洗衣機(jī)數(shù)量，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)后，再利用圖像建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)后，再利用圖像直觀解題直觀解題 充分利用線性規(guī)劃知識能夠解決生活中節(jié)約用充分利用線性規(guī)劃知識能夠解決生活中節(jié)約用材問題，在目前經(jīng)濟(jì)危機(jī)的狀況下，更應(yīng)大力材問題，在目前經(jīng)濟(jì)危機(jī)的狀況下，更應(yīng)大力提倡節(jié)約能源，提倡合理有效地配置，創(chuàng)造最提倡節(jié)約能源，提倡合理有效地配置，創(chuàng)造最佳效益佳效益 例例3某工廠制造某工廠制造A種儀器種儀器45臺，臺，B種儀器種儀器55臺，現(xiàn)需用薄鋼板給每臺儀器配一個外殼已臺，現(xiàn)需用薄鋼板給每臺儀器配一個外殼已

25、知鋼板有甲、乙兩種規(guī)格：甲種鋼板每張面積知鋼板有甲、乙兩種規(guī)格：甲種鋼板每張面積2 m2，每張可做，每張可做A種儀器外殼種儀器外殼3個和個和B種儀器外種儀器外殼殼5個，乙種鋼板每張面積個，乙種鋼板每張面積3 m2，每張可做，每張可做A種種儀器外殼儀器外殼6個和個和B種儀器外殼種儀器外殼6個問甲、乙兩個問甲、乙兩種鋼板各用多少張才能用料最省種鋼板各用多少張才能用料最省(“用料最省用料最省”是指所用鋼板的總面積最小是指所用鋼板的總面積最小) 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3某廠生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種產(chǎn)某廠生產(chǎn)圓桌和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種有品，現(xiàn)有兩種木料，第一種有72 m3，第，第二種有二種有56 m3

26、，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要，假設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌和一個衣柜所需兩種木料，生產(chǎn)一張圓桌和一個衣柜所需木料如下表所示每生產(chǎn)一張桌子可獲利木料如下表所示每生產(chǎn)一張桌子可獲利潤潤6元，生產(chǎn)一個衣柜可獲利潤元，生產(chǎn)一個衣柜可獲利潤10元，該元，該廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應(yīng)各生產(chǎn)多少，才能使獲得的利潤最多？產(chǎn)多少，才能使獲得的利潤最多？產(chǎn)品產(chǎn)品木料木料(單位：單位：m3)第一種第一種第二種第二種圓桌圓桌0.180.08衣柜衣柜0.090.28 在現(xiàn)有資源，條件不變的情況下，合理地在現(xiàn)有資源，條件不變的情況下，合理地調(diào)度，往往也能起到節(jié)約運(yùn)費(fèi)、

27、節(jié)約成本調(diào)度，往往也能起到節(jié)約運(yùn)費(fèi)、節(jié)約成本的功效的功效例例4已知已知A、B、C三城市分別有某種機(jī)器三城市分別有某種機(jī)器10臺、臺、10臺和臺和8臺，支持臺，支持D市市18臺，臺，E市市10臺從臺從A市調(diào)一臺機(jī)器到市調(diào)一臺機(jī)器到D、E兩市運(yùn)費(fèi)分別為兩市運(yùn)費(fèi)分別為200元元和和800元；從元；從B市調(diào)一臺機(jī)器到市調(diào)一臺機(jī)器到D、E兩市運(yùn)費(fèi)兩市運(yùn)費(fèi)分別為分別為300元和元和700元；從元；從C市調(diào)一臺機(jī)器到市調(diào)一臺機(jī)器到D、E兩市運(yùn)費(fèi)分別為兩市運(yùn)費(fèi)分別為400元和元和500元元(1)若從若從A、B兩市各調(diào)兩市各調(diào)x臺到臺到D市，當(dāng)三市市，當(dāng)三市28臺機(jī)臺機(jī)器全部調(diào)完畢后，求總運(yùn)費(fèi)器全部調(diào)完畢后，求

28、總運(yùn)費(fèi)P(x)關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，并求表達(dá)式，并求P(x)的最大值和最小值的最大值和最小值(2)若從若從A市調(diào)市調(diào)x臺到臺到D市，從市，從B市調(diào)市調(diào)y臺到臺到D市當(dāng)市當(dāng)28臺機(jī)器全部調(diào)完畢后，用臺機(jī)器全部調(diào)完畢后，用x、y表示總運(yùn)費(fèi)表示總運(yùn)費(fèi)P，并求并求P的最大值和最小值的最大值和最小值. 解析：第一步，列表、分析條件：第一步，列表、分析條件： 表表1供方供方運(yùn)費(fèi)運(yùn)費(fèi)需方需方ABC需量需量D20030040018E80070050010供量供量10108 第二步，第二步，確定目標(biāo)函數(shù)確定目標(biāo)函數(shù) (1)設(shè)從設(shè)從A市、市、B市中調(diào)市中調(diào)x臺到臺到D市，調(diào)運(yùn)預(yù)想市，調(diào)運(yùn)預(yù)想方案如表方案如

29、表2：供方供方運(yùn)費(fèi)運(yùn)費(fèi)需方需方ABC需量需量D200 x300 x400(182x)18E800(10 x)700(10 x)500(2x10)10供量供量10108于是，總運(yùn)費(fèi)為于是，總運(yùn)費(fèi)為P(x)200 x300 x400(182x)800(10 x)700(10 x)500(2x10)17200800 x，其中，其中，0 x10,0182x85x9，P(x)maxP(5)13200(元元)，P(x)minP(9)10000(元元) (2)設(shè)從設(shè)從A市、市、B市分別調(diào)市分別調(diào)x臺、臺、y臺到臺到D市，市，調(diào)運(yùn)預(yù)想方案如表調(diào)運(yùn)預(yù)想方案如表3：供方供方運(yùn)費(fèi)運(yùn)費(fèi)需方需方ABC需量需量D200

30、x300y400(18xy)18E800(10 x)700(10y)500(xy10)10供量供量10108于是，總運(yùn)費(fèi)為：于是，總運(yùn)費(fèi)為：P200 x300y400(18xy)800(10 x)700(10y)500(xy10)17200100(5x3y)，其中其中0 x10,0y10,018xy8. 第三步，求出最優(yōu)點(diǎn)第三步，求出最優(yōu)點(diǎn) 在在xOy平面上，作出上述不等式的可行域平面上，作出上述不等式的可行域如下圖中陰影部分如下圖中陰影部分 其中其中l(wèi)1：xy18， l2：xy10. 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x10，y8時，時，Pmin9800； 當(dāng)當(dāng)x0，y10時，時，Pmax14200.

31、 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可調(diào)出的數(shù)量分別為它們可調(diào)出的數(shù)量分別為300 t, 950 t，A、B、C三地需要該產(chǎn)品的數(shù)量分別為三地需要該產(chǎn)品的數(shù)量分別為200 t、450 t,400 t甲地運(yùn)往甲地運(yùn)往A、B、C三地的費(fèi)三地的費(fèi)用分別為用分別為6元元/t、3元元/t、5元元/t，乙地運(yùn)往，乙地運(yùn)往A、B、C三地的費(fèi)用分別為三地的費(fèi)用分別為5元元/t、9元元/t、6元元/t.怎樣調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最省？怎樣調(diào)運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最省？ 解析：設(shè)甲地生產(chǎn)的某種產(chǎn)品運(yùn)往A、B、C三地的數(shù)量分別為x t、y t、(300 xy) t，則乙地生產(chǎn)的產(chǎn)品運(yùn)往A、B、

32、C三地的數(shù)量分別為(200 x) t、(450y) t、400(300 xy) t， 總運(yùn)費(fèi)z6x3y5(300 xy)5(200 x)9(450y)6(100 xy)2x5y7150， 最優(yōu)整數(shù)解問題，就是在有些線性規(guī)劃問最優(yōu)整數(shù)解問題，就是在有些線性規(guī)劃問題中，變量題中，變量x，y要求取整數(shù)，因此其最優(yōu)要求取整數(shù)，因此其最優(yōu)解也必須為整點(diǎn)，解答這類問題可以先解解也必須為整點(diǎn)，解答這類問題可以先解決一般的線性規(guī)劃問題決一般的線性規(guī)劃問題(不考慮整數(shù)不考慮整數(shù))，再，再在可行域內(nèi)適當(dāng)調(diào)整，從而確定最優(yōu)整數(shù)在可行域內(nèi)適當(dāng)調(diào)整，從而確定最優(yōu)整數(shù)解即可解即可例例5某工廠現(xiàn)有兩種大小不同規(guī)格的鋼板可截

33、成某工廠現(xiàn)有兩種大小不同規(guī)格的鋼板可截成A、B、C三種規(guī)三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示 ：解：解：設(shè)需截第一種鋼板設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板張，第二種鋼板y張，張，鋼板鋼板總總張數(shù)為張數(shù)為Z則則,規(guī)格類型規(guī)格類型鋼板類型鋼板類型第一種鋼板第一種鋼板第二種鋼板第二種鋼板A規(guī)格規(guī)格B規(guī)格規(guī)格C規(guī)格規(guī)格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顧客需要某顧客需要A,B,C三種規(guī)格的成品分別為三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，塊，若你是若你是經(jīng)理經(jīng)理,問各截這兩種鋼板多少張既能滿足顧

34、客要求又使所用鋼板張問各截這兩種鋼板多少張既能滿足顧客要求又使所用鋼板張數(shù)最少。數(shù)最少。分分析析問問題題: :標(biāo)目函數(shù)標(biāo)目函數(shù): z=x+y( ,)x yNx0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, y0直線直線x+y=12經(jīng)過的整點(diǎn)是經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和和C(4,8)，它們是最優(yōu)解，它們是最優(yōu)解. 作出直線作出直線L:x+y=0，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù):z= x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)當(dāng)直線當(dāng)直線L經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A時時z=x+y=11.4,x+y=12解得點(diǎn)解得點(diǎn)B,C的坐標(biāo)的坐標(biāo)B(3,9)和和C(4,

35、8)2 4 6181282724681015但它不是最優(yōu)整數(shù)解但它不是最優(yōu)整數(shù)解.作直線作直線x+y=12約束條件約束條件:畫可行域畫可行域平移平移L找交點(diǎn)及交點(diǎn)坐標(biāo)找交點(diǎn)及交點(diǎn)坐標(biāo)( ,)x yN調(diào)整優(yōu)解法調(diào)整優(yōu)解法x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)B(3,9)和和C(4,8)且和原點(diǎn)距離最近的直線是且和原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12，它們是最優(yōu)解，它們是最優(yōu)解.作出一組平行直線作出一組平行直線t = x+y，目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)t = x+yB(3,9)C(4,8

36、)A(18/5,39/5)打網(wǎng)格線法打網(wǎng)格線法在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線在可行域內(nèi)打出網(wǎng)格線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時時t=x+y=11.4,但它不是最優(yōu)整數(shù)解但它不是最優(yōu)整數(shù)解，將直線將直線x+y=11.4繼續(xù)向上平移繼續(xù)向上平移，1212182715978 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練5某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6噸的A型卡車與4輛載重量為10噸的B型卡車，有9名駕駛員在建筑某高速公路中，該公司承包了每天至少搬運(yùn)360噸土的任務(wù)已知每輛卡車每天往返的次數(shù)：A型卡車為8次，B型卡車為6次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)用情況；A型卡車160元，B型卡車252元試問，A型卡車與B型卡車每天各出動多少輛時公司的成本費(fèi)

37、用最低？ 解析：設(shè)每天出動的設(shè)每天出動的A型卡車數(shù)為型卡車數(shù)為x，則，則0 x7；每天出動的；每天出動的B型卡車數(shù)為型卡車數(shù)為y，則，則0y4.因?yàn)槊刻斐鲕嚨鸟{駛員最多因?yàn)槊刻斐鲕嚨鸟{駛員最多9名，則名，則xy9，每天要完成的搬運(yùn)任務(wù)為，每天要完成的搬運(yùn)任務(wù)為48x60y360，每天公司所花成本費(fèi)用為，每天公司所花成本費(fèi)用為z160 x252y. 本題即求滿足不等式組本題即求滿足不等式組 結(jié)合圖形可知，在四邊形區(qū)域上，橫坐標(biāo)與結(jié)合圖形可知，在四邊形區(qū)域上，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是非負(fù)整數(shù)的點(diǎn)只有縱坐標(biāo)都是非負(fù)整數(shù)的點(diǎn)只有P1(3,4)，P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，

38、D(5,4)，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)C(7,2)10個點(diǎn)個點(diǎn)作直線作直線l：160 x252y0.把把l向上方作平行向上方作平行移動，可發(fā)現(xiàn)它與移動，可發(fā)現(xiàn)它與上述的上述的10個點(diǎn)中最個點(diǎn)中最先接觸到的點(diǎn)是先接觸到的點(diǎn)是P4(5,2)，所以在點(diǎn)，所以在點(diǎn)P4(5,2)上，得到的上，得到的z的值最小，的值最小，zmin160525221304. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練6要將兩種大小不同的鋼板截要將兩種大小不同的鋼板截成成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 今需今需A、B、C三種規(guī)

39、格的成品分別為三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？規(guī)格類型規(guī)格類型鋼板類型鋼板類型A規(guī)規(guī)格格B規(guī)規(guī)格格C規(guī)規(guī)格格第一種鋼板第一種鋼板211第二種鋼板第二種鋼板123 解法解法2：特值驗(yàn)證法：特值驗(yàn)證法： 由解法由解法1知，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整點(diǎn)應(yīng)分知，目標(biāo)函數(shù)取得最小值的整點(diǎn)應(yīng)分布在可行域的左下側(cè)靠近邊界的整點(diǎn)，依次取布在可行域的左下側(cè)靠近邊界的整點(diǎn)，依次取滿足條件的整點(diǎn)滿足條件的整點(diǎn)A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，

40、A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，A27(27,0) 將這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入將這些點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入zxy，求出各個，求出各個對應(yīng)值，經(jīng)驗(yàn)證可知，在整點(diǎn)對應(yīng)值，經(jīng)驗(yàn)證可知，在整點(diǎn)A3(3,9)和和A4(4,8)處處z取得最小值取得最小值 其解法的思路：找整點(diǎn)、驗(yàn)證后選最優(yōu)解其解法的思路：找整點(diǎn)、驗(yàn)證后選最優(yōu)解 故本例有兩種截法： 第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張，兩種方法最少要截兩種鋼板共12張.一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種

41、混合肥料，生產(chǎn)1 1車皮甲種車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽肥料的主要原料是磷酸鹽4t4t、硝酸鹽、硝酸鹽18t18t；生產(chǎn)；生產(chǎn)1 1車皮車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t1t、硝酸鹽、硝酸鹽15t15t?，F(xiàn)?，F(xiàn)庫存磷酸鹽庫存磷酸鹽10t10t、硝酸鹽、硝酸鹽66t66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少相應(yīng)的平面區(qū)域。并計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？解：設(shè)解：設(shè)x

42、、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo4y1 01 8 x1 5 y6 6,x0y0 xxyN解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)車皮，能夠產(chǎn)生利潤生利潤Z萬元。目標(biāo)函數(shù)為萬元。目標(biāo)函數(shù)為Zx0.5y，可行域如圖：，可行域如圖：把把Zx0.5y變形為變形為y2x2z，它表示斜率為，它表示斜率為2，在，在y軸上的截距為軸上的截距為2z的一組直線系。的一組直線系。 xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，時，截距截距2z

43、最大，即最大，即z最大。最大。 故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為最大利潤為3萬元。萬元。M 容易求得容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），則），則Zmin3某人準(zhǔn)備投資某人準(zhǔn)備投資12001200萬元興辦一所完全中學(xué)。對教育萬元興辦一所完全中學(xué)。對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）級為單位） 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件。若若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收學(xué)費(fèi)根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收學(xué)費(fèi)

44、16001600元，高中每人每年可收學(xué)費(fèi)元，高中每人每年可收學(xué)費(fèi)27002700元。那么開設(shè)初中元。那么開設(shè)初中班和高中班多少個？每年收費(fèi)的學(xué)費(fèi)總額最多？班和高中班多少個？每年收費(fèi)的學(xué)費(fèi)總額最多？ 學(xué)段學(xué)段班級學(xué)生數(shù)班級學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù)配備教師數(shù)初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人硬件建設(shè)萬元教師年薪萬元把上面四個不等式合在一起，把上面四個不等式合在一起，得到得到2 0 xy3 0 x2 y4 0 x0y0yx2030402030o 另外，開設(shè)的班級不能為負(fù)，則另外，開設(shè)的班級不能為負(fù)，則x0 x0，y0y0。而由于資金限制而由于資金限制，26x26x54y54y2 22

45、x2x2 23y12003y1200 解：設(shè)開設(shè)初中班解：設(shè)開設(shè)初中班x x個，高中班個，高中班y y個。因辦學(xué)規(guī)模以個。因辦學(xué)規(guī)模以20203030個班為宜，所以，個班為宜，所以， 20 x20 xy30y30yx2030402030o 由圖可以看出，當(dāng)直由圖可以看出，當(dāng)直線線Z7.2x10.8y經(jīng)過經(jīng)過可行域上的點(diǎn)可行域上的點(diǎn)M時，截時，截距最大，即距最大，即Z最大。最大。 設(shè)收取的學(xué)費(fèi)總額為設(shè)收取的學(xué)費(fèi)總額為Z萬元，則目標(biāo)函數(shù)萬元，則目標(biāo)函數(shù)Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y變形為變形為它表示斜率為它表示斜率為 的直線系，的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。與這條直線的截距有關(guān)。54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），則），則Zmax 7.2x10.8y 252 故開設(shè)故開設(shè)20個初中班和個初中班和10個高中班，收取的學(xué)費(fèi)最個高中班，收取的學(xué)費(fèi)最多，為多，為252萬元。萬元?？Х瑞^配制兩種飲料甲種飲料每杯含奶粉咖啡館配制兩種飲料甲種飲料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙種飲料每杯含奶粉乙種飲料每杯含奶粉4g 、咖啡