天津大學 高數(shù) 第十章 曲線積分及曲面積分 課件

1、曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分1. 第一類曲線積分第一類曲線積分2. 第二類曲線積分第二類曲線積分3. 第一類曲面積分第一類曲面積分4. 第二類曲面積分第二類曲面積分（曲面薄板質(zhì)量）（曲面薄板質(zhì)量）（物質(zhì)曲線質(zhì)量）（物質(zhì)曲線質(zhì)量）（變力作功）（變力作功）（通量）（通量）第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 知識總結(jié)知識總結(jié)1. 第一類曲線積分的計算第一類曲線積分的計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),(tttd)()(22)(),(ttf(1)利用參數(shù)方程化為定積分利用參數(shù)方程化為定積分 (2)要結(jié)合利用第一類曲線積分的性質(zhì)簡化計算要結(jié)合利用

2、第一類曲線積分的性質(zhì)簡化計算 ()Ldss周長 曲線曲線L方程可帶入被積函數(shù)方程可帶入被積函數(shù) 可使用對稱性與輪換對稱性可使用對稱性與輪換對稱性: :| 1, (|) LLxyxyx ds例 設(shè)則 2 2答案：例. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性例例. 計算,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對稱性 , 有szsysxddd222注：利用重心公式sysydd0343Iazoyx(重心在原點)1dddd03x sy sz s

3、xyz s22223112()dd333xyzsasa2第二類第二類曲線積分的計算曲線積分的計算(1)(1)利用參數(shù)方程化為定積分利用參數(shù)方程化為定積分 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :(3)(3)曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(2)(2)格林公式和格林公式和斯托克斯公式斯托克斯公式zoyx1例：計算例：計算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,

4、1222yx故故:原式原式 = tttdsincos2022221162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx從從 z 軸正向看沿逆時針方向軸正向看沿逆時針方向.,12所得 zLDyQxPyxyPxQdddd(2) (2) 格林公式格林公式推論推論: 正向閉L 所圍D 的面積LxyyxAdd21應用格林公式注意事項：應用格林公式注意事項：格林公式三個條件格林公式三個條件曲線封閉性曲線封閉性曲線正向曲線正向偏導連續(xù)性偏導連續(xù)性 否則加邊法加邊法考慮反方向考慮反方向挖洞法挖洞法當被積函數(shù)或積分曲線比較復雜時考慮用當被積函數(shù)或積分曲線比較復雜時考慮用格林公式格林公式Dya

5、Lxo計算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :BA2d dDxy02a沿逆時針方向.L ABABI例例.yx說明說明: 若在某單連通區(qū)域內(nèi)若在某單連通區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定點1) 計算曲線積分時計算曲線積分時, 可選擇方

6、便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件例例. 設(shè)質(zhì)點在力場作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動到, )0,2(B求力場所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見, 在不含原點的單連通區(qū)域不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什

7、么？注意, 本題只在不含原點的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !),(yxyxo例例. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因為yP236yyx ,xQ故這是全微分方程. , 0, 000yx取則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為Cyyxyxx332253123)0 ,(x 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, RQP,在包含 在內(nèi)的一例例. 為柱面與平面 y

8、= z 的交線,從 z 軸正向看為順時針, 計算.ddd2zxzyxyxyIoz2yx解解: 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 , 且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210則其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222(1)根據(jù)曲面方程化為二重積分根據(jù)曲面方程化為二重積分 3. 第一類曲面積分的計算第一類曲面積分的計算當:( , )zz x y時，( , , )df x y zS22( , , ( , ) 1d dx yxyDf x y z x yzzxy當:( , )xx y z時，( , , )df x y zS22( (

9、, ), , ) 1ddyzyzDf x y zy zxxyz當:( , )yy x z時，( , , )df x y zS22( , ( , ), ) 1d dxzxzDf x y x z zyyxz(2)要結(jié)合利用第一類曲面積分的性質(zhì)簡化計算要結(jié)合利用第一類曲面積分的性質(zhì)簡化計算 ()dSS面積 曲面方程可帶入被積函數(shù)曲面方程可帶入被積函數(shù) 可使用對稱性與輪換對稱性可使用對稱性與輪換對稱性注：注：要根據(jù)曲面方程的形式選擇恰當?shù)墓揭鶕?jù)曲面方程的形式選擇恰當?shù)墓嚼? 設(shè)設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分一卦限中的部分, 則有則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d

10、)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研考研 )xozy例例. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD則 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD4. 第二類曲面積分的計算第二類曲面積分的計

11、算(1)(1) 根據(jù)曲面方程化為二重積分根據(jù)曲面方程化為二重積分 (2)(2) 根據(jù)曲面積分的聯(lián)系化為第一類曲面積分根據(jù)曲面積分的聯(lián)系化為第一類曲面積分(3) (3) 高斯公式高斯公式其方向用其方向用法向量指向法向量指向表示表示 :方向余弦方向余弦coscoscos 0 為前側(cè)為前側(cè) 0 為右側(cè)為右側(cè) 0 為上側(cè)為上側(cè) 0 為下側(cè)為下側(cè)外側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定側(cè)的規(guī)定有向曲面有向曲面的側(cè)的側(cè)：注注: 1. 同一個曲面的同一個方向可以按同一個曲面的同一個方向可以按 上述有不同的描述方式上述有不同的描述方式2. 有向曲面要根據(jù)需要的公式選擇有向曲面要根據(jù)需要的公式選擇 應該看成哪一個側(cè)應該看成哪一

12、個側(cè)yxz111n例如例如: 球面在第一卦限的外側(cè)也可以球面在第一卦限的外側(cè)也可以 看成上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)看成上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)( , , )d dR x y zxy( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy； ( , ) zz x y當 取上側(cè)( , , ( , )x yDR x y z x ydxdy；當 取下側(cè) 當xoy面0(1)(1) 根據(jù)曲面根據(jù)曲面方程化為二重積分方程化為二重積分 :( , )0F x y（或）注：要根據(jù)所求為注：要根據(jù)所求為dxdy、dydz、dzdx選擇曲面選擇曲面方程的形式代入公式方程的形式代入公式解解:例例. 計算曲面積分dd ,xyzyz其中

13、 為球面2x在第一卦限部分的下側(cè). ozyx122:1xyz122zy :下側(cè),應看為后側(cè)5115R ddxyzyz ddyzDyzyz 222RyzyxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos(cos, cos, cos )是曲面在指定那一側(cè)的單位法向量是曲面在指定那一側(cè)的單位法向量(2)(2) 根據(jù)曲面積分的聯(lián)系化為第一類曲面積分根據(jù)曲面積分的聯(lián)系化為第一類曲面積分例例. 求求 ( , , )dd2 ( , , )d dIf x y zxyzf x y zyzx其中其中在第四卦限部分的上側(cè)在第四卦限部分的上側(cè). :1xyz( , , )f x y z為連續(xù)函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，

14、( , , )d d ,f x y zzxy解：解：(cos, cos, cos ) (1, 1,1)131 ( , , )2 ( , , )( , , )d3If x y zxf x y zyf x y zzS1d3xyzS1131d.2233S(3) (3) 高斯公式高斯公式公式公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd 由閉曲由閉曲面面 所圍成所圍成, 的方向取外側(cè)的方向取外側(cè), 高斯公式條件高斯公式條件曲面封閉性曲面封閉性曲面外側(cè)曲面外側(cè)偏導連續(xù)性偏導連續(xù)性 否則加面法加面法考慮反方向考慮反方向挖洞法挖洞法例例.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設(shè)

15、 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10d221d z202dcos130d12131zoxy211用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標例例. 計算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd31342121I例例. 設(shè) 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù), 作曲面取下側(cè) 使

16、其包在 內(nèi), 2為 xoy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21ozyx取上側(cè), 計算, )0( z則21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx232220 d d()xyxy2第二項添加輔助面, 再用高斯公式計算, 得定積分定積分可把方程代入被積函數(shù)化簡的為可把方程代入被積函數(shù)化簡的為二重積分、三重積分二重積分、三重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分注：注：可利用對稱性的為可利用對稱性的為第一第一曲線積分曲線積分第一曲面積分第一曲面積分多元函數(shù)積分學均可運用坐標輪換對稱性質(zhì)多元函數(shù)積分學均可運用坐標輪換對稱性質(zhì)例例. 設(shè)設(shè)222:1,xyz 的外側(cè)1為 在第一卦限中的部分中的部分, 則則1222( ) 8ddd d +d d ;Axyzyzx zxy1222( )4ddd d +d d;Bxyzyzx zxy1222( )2ddd d +d d;Cxyzyzx zxy()0.D222dddddd( )xyzyzx zxy解:222dddddd(222 )0 xyzyzx zxyxyz dvD例例. 設(shè)設(shè)同一組的兩個積分均為零的是同一組的兩個積分均為零的是( ).22( )d , d;AxSxydz( )d , d;Bx Sx ydz22( )d , d;Cx y Sx y zdx2