正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)

1、正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)正比例的性質(zhì)和反比例的性質(zhì)，是相反的兩個(gè)性質(zhì)，在學(xué)習(xí)和運(yùn)用時(shí)，由于表述形式近 似，只是個(gè)別關(guān)鍵詞語的不同，極容易相互混淆，必須正確地加以區(qū)分。正比例的性質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比，等于另一種量對(duì) 應(yīng)的兩個(gè)數(shù)值的比。例如：一列火車的速度每小時(shí)60千米，如果所行時(shí)間與所行路程成正比例關(guān)系，那么所 行時(shí)間的任意兩個(gè)數(shù)值的比，必須與對(duì)應(yīng)所行路程的兩個(gè)數(shù)值的比相等。如下表：時(shí)間小時(shí)12345-路程千米60120180240300從順向看：時(shí)間上2小時(shí)與4小時(shí)的比為2 : 4=0.5 ;路程上2小時(shí)所行的千米數(shù)與4小 時(shí)所行的千米數(shù)的比120： 240=0

2、.5。這兩個(gè)比的比值相等，具備了正比例的性質(zhì)。從逆向看，時(shí)間上A卜時(shí)與了小吋的比為5 : 3=1|;路程上女卜時(shí)所行的千米數(shù)與3小時(shí)所行千米數(shù)的比為如 180 = 1|,這兩個(gè)比的比值相等，具備了正比例的性質(zhì)。反比例的性質(zhì)是：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量的任意兩個(gè)數(shù)值的比等于另一種量對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)數(shù)值比的反比。例如：完成1200臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)任務(wù)，每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)和完成的天數(shù)成反比例關(guān)系，每 天產(chǎn)量中任意兩個(gè)數(shù)值的比，等于所對(duì)應(yīng)完成天數(shù)的兩個(gè)數(shù)值比的反比。如下表：每天生產(chǎn)臺(tái)數(shù)1100200300400完成任務(wù)天數(shù)12643 ,從順向看，臺(tái)數(shù)上血臺(tái)與劉0合的比*100： 300 = 1;其所對(duì)應(yīng)天數(shù)比

3、的反比為4；=兩個(gè)比的比值相等.具備了反比例的性質(zhì)。從逆向看：臺(tái)數(shù)上400臺(tái)與200臺(tái)的比為400： 200=2;其對(duì)應(yīng)天數(shù)比的反比為6 : 3=2。兩個(gè) 比的比值相等，具備了反比例的性質(zhì)。在比和比例這局部知識(shí)中，反比、反比例和反比例關(guān)系也是容易混淆的。 _ 不正確區(qū)分三者確實(shí)切含義，就會(huì)在憑借概念進(jìn)展判斷和依據(jù)性質(zhì)進(jìn)展計(jì)算上，產(chǎn)生“后遺癥，最后還得溯本求源，從根本概念上進(jìn)展澄清。因此，從 防微杜漸的角度上，一開始就結(jié)合教材進(jìn)展正確區(qū)分，是非常必要的。“反比是與正比相對(duì)而言的，它們都不屬于比例的疇。在兩個(gè)比中，如 果一個(gè)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)，分別是另一個(gè)比的后項(xiàng)和前項(xiàng)，這兩個(gè)比就叫做互為 反比。例如

4、：3 : 4的反比是4： 3;反過來，4： 3的反比是3 : 4。“反比例是對(duì)兩種相關(guān)聯(lián)的量對(duì)應(yīng)數(shù)值組成比的順序而言的。兩種相關(guān) 聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù) 的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，據(jù)此寫出的比例式稱為反比例。例如：有一堆煤，每天燒煤2噸，可燒12天，如果每天燒煤4噸，可以燒 6天，每天燒6噸，可以燒4天。從條件中的規(guī)律可見，煤的總重量一定，每 天燒煤量與燒得天數(shù)成反比例?！胺幢壤P(guān)系是成反比例的兩種量之間的數(shù)量關(guān)系。如果用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示積一定，其關(guān)系式為：x X y=k一定，在 這個(gè)式子中，x與y的關(guān)系，就是反比

5、例關(guān)系。在八年級(jí)數(shù)學(xué)中，學(xué)生第一次遇到了函數(shù)一一正、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)， 在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生碰到了與以前截然不同的困難。女口：函數(shù)圖像和性 質(zhì)不能很好匹配，即學(xué)生對(duì)于函數(shù)解析式和圖像性質(zhì)不能熟練轉(zhuǎn)化； 不知何時(shí)要 分類討論，導(dǎo)致漏解；不會(huì)用反比例函數(shù)的“面積不變性；不能完全解讀題目 中蘊(yùn)含的信息，找不到或不理解圖像語言；對(duì)于綜合題不知如何入手解題。 解決 這些困難，教師就要在教學(xué)中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合， 使學(xué)生能夠逐一突破函數(shù)學(xué)習(xí) 中的難關(guān)。一、弓I導(dǎo)學(xué)生熟練掌握正、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)，突破“數(shù)形結(jié)合認(rèn)識(shí)關(guān)。傳統(tǒng)的教學(xué)過畫一畫特殊的正比例函數(shù)圖像，如y 2x，得到一般情況下正比例函數(shù)圖

6、像，這里的畫一畫是特殊情況，是必要的，但是由于學(xué)生動(dòng)手 能力不同，往往整節(jié)課的重點(diǎn)偏移到畫圖的操作細(xì)節(jié)上。如：如何找點(diǎn)，如何 用平滑曲線連線等，而忽略了解析式與圖像性質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系的探知。如何來解決 呢？教學(xué)中首先可以通過“猜一猜，看正比例函數(shù)解析式y(tǒng) kx( k工0能不能用圖像表示，它的圖像是怎樣的，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)中每一對(duì)x、y的值與坐標(biāo)系中的點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系。然后通過“想一想，思考y 2x當(dāng)x的值大于、等于或小于0時(shí)y值的情況，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)解析式對(duì)圖像分布與增減性的影響。再通過“畫一畫，利用畫圖驗(yàn)證猜想，從圖像上形象地認(rèn)識(shí)性 質(zhì)。通過這三步的探究，得出一般情況下正比例函數(shù)圖像是過點(diǎn)0, 0和

7、1，k丨的一條直線。然后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖像的形態(tài)發(fā)現(xiàn)圖像的性 質(zhì)，進(jìn)而歸納函數(shù)的性質(zhì)，建立起數(shù)學(xué)符號(hào)與圖像性質(zhì)之間的聯(lián)系。同樣地反 比例函數(shù)圖像也可以通過“猜一猜，得出一般情況下的圖像。再通過“想一 想和“畫一畫，逐步認(rèn)識(shí)函數(shù)圖像和性質(zhì)。以此類推，在后面的函數(shù)學(xué)習(xí) 中，都可以用這樣的方法和步驟來進(jìn)展函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)。在教學(xué)中，得到函數(shù)性質(zhì)后，要把函數(shù)解析式、圖像和性質(zhì)用各種不同的 方法加以比照、聯(lián)系，如可以列出下面的表格，讓學(xué)生來填寫容。當(dāng)學(xué)生充分 熟悉和掌握了以后，他們就能意識(shí)到研究函數(shù)可以從解析式、圖像和性質(zhì)入 手，而性質(zhì)通常是研究系數(shù)的符號(hào)、函數(shù)的增減性等等。這樣學(xué)生可以掌握一

8、 點(diǎn)研究函數(shù)的一般方法。函數(shù)解析式數(shù)圖像形性質(zhì)y kx ( k 工0k /y -(k 工x0xy k過0，0和1,k丨的一條直線雙曲線圖像的兩支都無限 接近于x軸和y軸，但 不會(huì)與x軸和y軸相k 0過一、三象限，y隨x增 大而增大。過一、三象限，在每個(gè) 象限，y隨x增大而減小,k v 0過二、四象限，y隨x 增大而減小。過二、象限,大?！肯笙?，在每個(gè) X隨X增大而增上述表格應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握，這是學(xué)生進(jìn)展綜合運(yùn)用的根底。在此根底上, 用數(shù)形結(jié)合的思想方法，看到圖像過什么象限，馬上想到 k的符號(hào)，強(qiáng)化從圖象 性質(zhì)到解析式的逆向思維，使解析式數(shù)學(xué)符號(hào)語言和圖象性質(zhì)圖像語言 能熟練地互相轉(zhuǎn)化。2、要使

9、學(xué)生熟知哪些條件可以求解析式解析式往往是函數(shù)類題目的“入口或“出口，所以要熟練掌握解析式的求法。在正、反比例函數(shù)中，由于只有一個(gè)待定系數(shù)，所以一對(duì)x、y的值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以完全確定正比例函數(shù)或反比例函數(shù)，反之亦 然。解題中看到圖像過某點(diǎn)，那么常常要把這點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式。二、引導(dǎo)學(xué)生解讀題目中蘊(yùn)含的信息，熟練掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語言和圖像的互 化，根據(jù)題目中的信息畫出圖像一一突破“形數(shù)畫圖關(guān)。1、函數(shù)題中往往伴有圖像，題中假設(shè)沒有圖像，那么先要從條件出發(fā)，根據(jù) 函數(shù)性質(zhì)畫出圖像或草圖，再求出系數(shù) k。通常當(dāng)學(xué)生面對(duì) K確定的函數(shù)題時(shí)， 圖像根本都會(huì)畫，但當(dāng)面對(duì) K不確定的函數(shù)題時(shí)，往往

10、會(huì)漏畫、少畫，從而造成 漏解。這時(shí)教師可設(shè)計(jì)合理問題，用課堂提問的方法引導(dǎo)學(xué)生正確畫出圖形。 假 設(shè)題目中k的符號(hào)不能確定，或條件給出的長度、距離、面積等是非負(fù)的，轉(zhuǎn)化 為點(diǎn)坐標(biāo)卻可正、可負(fù)，所以要考慮進(jìn)展分類討論，這時(shí)題目往往可能有多解， 而畫出的滿足條件的圖像也應(yīng)該有多個(gè)。例1:正比例函數(shù)y kx中，圖像上一點(diǎn)A a,3與丫軸的距離為2，求此函數(shù)的解析式。分析提問：點(diǎn)A可以在直角坐標(biāo)系中的什么位置？學(xué)生答復(fù)出來后再問：與丫軸距離為2的點(diǎn)A有幾個(gè)？ k符號(hào)不能確定，由“圖像上一點(diǎn) A : a ,3丨與y軸 的距離為2，得到點(diǎn)A可以在第一象限和第二象限，因此函數(shù)的大致圖像有兩 個(gè)，如圖1。圖1

11、解：過點(diǎn)A作AB丄x軸，AC丄y軸 因?yàn)閳D像上一點(diǎn)A a ,3丨與y軸的距離為2 所以AO 2,把條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言所以B0=AC=2隱含條件BO=AC所以a=-2或a =2。線段長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，這里學(xué)生常常會(huì)漏解得 A一 2, 3或2, 3。解得 k=-,或 k=-2 2此函數(shù)解析式有兩個(gè)：y 3x或y 3x。2 22、反比例函數(shù)具有“面積的不變性。從條件出發(fā)，先根據(jù)反比例函數(shù)畫 出圖像，再根據(jù)矩形面積公式求出系數(shù) k。經(jīng)過計(jì)算可知，反比例函數(shù)y k上x任意一點(diǎn)P a , b，都有k ab。從圖像上來看，反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)對(duì) x軸、y軸做垂線所構(gòu)成的矩形，其面積都與 k的絕對(duì)值相等，

12、即k S矩形根據(jù)這一性質(zhì)解題往往可以簡潔。三、引導(dǎo)學(xué)生把問題轉(zhuǎn)換化歸一一突破“數(shù)形綜合運(yùn)用關(guān)正反比例函數(shù)綜合運(yùn)用對(duì)于學(xué)生來說比較困難， 可以按以下方法解決。假設(shè)題目 本身有圖像的。1先通過觀察函數(shù)圖像，留心圖形的特點(diǎn)，同時(shí)在圖形中標(biāo)注 條件。再仔細(xì)讀題，從圖形和題目兩方面找出蘊(yùn)含的信息， 開掘圖形和題目中的 隱含條件。2、根據(jù)條件與隱含條件，得出函數(shù)性質(zhì)。3、一般正反比例函數(shù)解析 式，可以先求出交點(diǎn)。4、要熟練地把點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長度、面積互相轉(zhuǎn)化。5、將題中用到的直線或雙曲線用正比例函數(shù)或反比例函數(shù)表達(dá)出來。6根據(jù)圖形找出條件和所求目標(biāo)之間的聯(lián)系，常常要用到幾何方法和一些公式，從而列出方 程。

13、假設(shè)題目本身沒有圖像的，那么首先根據(jù)條件畫出圖像，再按照上述步驟來 做?？傊?，要使學(xué)生善于選擇信息，善于運(yùn)用直覺思維，善于把問題轉(zhuǎn)換化歸。例2、如圖2,P是反比例函數(shù)y -圖像上一點(diǎn)，矩形APBO圖2x的面積是8，PB=2PA.(1)求反比例函數(shù)的解析式。(2丨假設(shè)正比例函數(shù)圖像經(jīng)過 P點(diǎn)，求正比例函數(shù)解析 式。例題設(shè)計(jì)的目的是要使學(xué)生明確掌握反比例函數(shù)的面積 不變性，掌握由條件轉(zhuǎn)化為線段長再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)再用 待定系數(shù)法求解的一般步驟。分析：1先觀察函數(shù)圖像在那么k0直接由函數(shù)圖像得出函數(shù)性質(zhì)因?yàn)榫匦蜛PBO勺面積是8，所以得k二8,運(yùn)用反比例函數(shù)面積不變性所以反比例函數(shù)的解析式為y2設(shè)正比例

14、函數(shù)解析式為y mx因?yàn)榫匦蜛PBO勺面積是8,所以PAX P吐8,由條件PB=2PA得PA=2 PB=4運(yùn)用矩形面積公式求得 線段長根據(jù)圖像，點(diǎn)P在第二象限，那么P的坐標(biāo)為一2, 4線段的長度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)把 x = 2, y=4 代入 y mx ,得m= 2。一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以確定正比例函數(shù)解析式所以正比例函數(shù)解析式為y 2x例3、如圖，正方形OAPBADFE的頂點(diǎn)A D B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在AP上，點(diǎn)P、F在函數(shù)y k的圖像上，正方形 OAPBx的面積為9. 求k的值和直線0P的解析式；2求正方形ADFE勺邊 長.例題的設(shè)計(jì)目的在于如何在復(fù)雜背景條件下，從條件適當(dāng)?shù)卦O(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而列出方

15、程得解。分析：11因?yàn)檎叫蜲APB勺面積為9,點(diǎn)P在函數(shù)y k的圖像上且根據(jù)圖形點(diǎn)P在第一象限,x所以k=9。反比例函數(shù)面積不變性因?yàn)镺AP是正方形，所以O(shè)A=PA得到P3, 3，代入y kx，可得k=1所以直線0P的解析式為y x.其實(shí)根據(jù)圖形不求點(diǎn)P坐標(biāo)，也可直接得出直線 OP函數(shù)解析式 因?yàn)辄c(diǎn)F在函數(shù)y 9的圖像上，可設(shè)F(x, 9)，利用點(diǎn)F特征設(shè)元xx所以O(shè)S x , FD= 9點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長x因?yàn)檎叫蜲APB勺面積為9,所以O(shè)A= 3,所以EF=x 3x3因?yàn)锳DFE是正方形，所以EF=FD所以-x 3，利用正方形邊長相等列x出方程解得人 鼻乎，X2 33(不合題意，舍去)所以EF= x 3 衛(wèi)，即正方形AD