復(fù)數(shù)概念課件

1、書(shū) 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無(wú) 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來(lái) 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話(huà)天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！ 引言：在人和社會(huì)的發(fā)展過(guò)引言：在人和社會(huì)的發(fā)展過(guò)程中，常常需要立足今天，回顧程中，常常需要立足今天，回顧昨天，展望明天。符合客觀發(fā)展昨天，展望明天。符合客觀發(fā)展規(guī)律的要發(fā)揚(yáng)和完善，不符合的規(guī)律的要發(fā)揚(yáng)和完善，不符合的要否定和拋棄。那么，在實(shí)數(shù)集要否定和拋棄。那么，在實(shí)數(shù)集向復(fù)數(shù)集發(fā)展的過(guò)程中，我們應(yīng)向復(fù)數(shù)集發(fā)展的過(guò)程中，我們應(yīng)該如何發(fā)揚(yáng)和完善，否定和拋棄該如何發(fā)揚(yáng)和完善，

2、否定和拋棄呢？呢？自然數(shù)自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)？NZQR對(duì)于一元二次方程對(duì)于一元二次方程 沒(méi)有實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根012 x12 x引入一個(gè)新數(shù)引入一個(gè)新數(shù) ， 叫做叫做虛數(shù)單位虛數(shù)單位，并規(guī)定：，并規(guī)定： ii（1 1）它的平方等于它的平方等于1 1，即，即12 i虛數(shù)單位虛數(shù)單位（2 2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算四則運(yùn)算，進(jìn)行四則，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立 為了解決負(fù)數(shù)開(kāi)方問(wèn)題為了解決負(fù)數(shù)開(kāi)方問(wèn)題，即：將實(shí)數(shù)即：將實(shí)數(shù)a和數(shù)和數(shù)i相加記為相加記為: a+i； 把實(shí)數(shù)把實(shí)數(shù)b與數(shù)與數(shù)i相乘記作相乘記作: bi； 將

3、它們的和記作將它們的和記作: a+bi (a,bR),全體復(fù)數(shù)所組成的集合叫復(fù)數(shù)集,用字母C表示1.復(fù)數(shù)：把形如 a+bi (a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)i 叫做 虛數(shù)單位(imaginary unit)R,|babiazzC其中一一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念虛部b實(shí)部a用z表示復(fù)數(shù), 即z = a + bi (a,bR) 叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：規(guī)定: 0i=0,0+bi=bi3.復(fù)數(shù)的分類(lèi)：復(fù)數(shù)z=a+bi (a,bR)條件數(shù)的類(lèi)型R C實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，虛數(shù)b0純虛數(shù)a=0且b0實(shí)數(shù)0a=b=0實(shí)數(shù)b=0復(fù)數(shù)z=a+bi (a,bR)實(shí)數(shù) (b=0)虛數(shù)(b0)純虛數(shù)

4、(a=0)非純虛數(shù)(a0)1.說(shuō)明下列復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)，還是純虛數(shù)？并說(shuō)明各數(shù)的實(shí)部與虛部。31i 31i71i 2i )1 (01iii )32(i2課堂練習(xí)課堂練習(xí)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)虛數(shù)虛數(shù)虛數(shù)2.有下列命題：（1）若a、b為實(shí)數(shù)，則 z=a+bi 為虛數(shù)（2）若b為實(shí)數(shù)，則 z=bi 必為純虛數(shù)（3）若a為實(shí)數(shù)，則 z= a 一定不是虛數(shù)其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3BN Z Q R CNZQR思考思考C C1.數(shù)集數(shù)集N，Z，Q，R，C的關(guān)系是怎樣的？的關(guān)系是怎樣的？復(fù)數(shù)集實(shí)數(shù)集虛數(shù)集純虛數(shù)集2.復(fù)

5、數(shù)集，實(shí)數(shù)集，虛數(shù)集，純虛數(shù)集之間關(guān)系4.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等有兩個(gè)復(fù)數(shù)Z1=a+bi (a,b R)和Z2=c+di(c,d R) a+bi =c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均為實(shí)數(shù),則Z1,Z2具有大小關(guān)系2、若Z1,Z2中不都為實(shí)數(shù)，Z1與Z2只有相等或不相等兩關(guān)系，而不能比較大小5、 一般地，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的一般地，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等實(shí)部相等,虛部互虛部互為相反數(shù)為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).,( ,)za bi a bR 設(shè)則z=a-bi,(a,b R)例如：例如：5+3i和和5-3i互為共軛復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù) 例例1 1：實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)m m

6、取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) 是是（1 1）實(shí)數(shù)？）實(shí)數(shù)？ （2 2）虛數(shù)？）虛數(shù)？ （3 3）純虛數(shù)？）純虛數(shù)？immz)1(1 解解：（：（1 1）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z z是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)01 m1m （2 2）當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，復(fù)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z z是虛數(shù)是虛數(shù)01 m1 m（3 3）當(dāng)當(dāng) ，且，且 ，即，即 時(shí)，時(shí)，復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z 是是純虛數(shù)純虛數(shù)01 m01 m1m 例題分析例題分析 分析在本題是復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式下，即zabi(a，bR)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，只要對(duì)實(shí)部和虛部分別計(jì)算，總體整合即可 點(diǎn)評(píng)判斷一個(gè)含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值有意

7、義，如果忽略了實(shí)部是含參數(shù)的分式中的分母m30，就會(huì)釀成根本性的錯(cuò)誤，其次對(duì)參數(shù)值的取舍，是取“并”還是“交”，非常關(guān)鍵，多與少都是不對(duì)的，解答后進(jìn)行驗(yàn)算是很有必要的 對(duì)于復(fù)數(shù)zabi(a，bR)，既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù)z看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部與虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí)它這是解復(fù)數(shù)問(wèn)題的重要思路之一 (1)下列命題中假命題是() A自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集 B實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集交集為實(shí)數(shù)集 C實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集交集是0 D純虛數(shù)集與實(shí)數(shù)集交集為空集 答案C 解析復(fù)數(shù)可分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)兩大部分，虛數(shù)中含有純虛數(shù)，因此，實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集沒(méi)有公共元素，C是假命題故選C.變式練習(xí)：變式練習(xí)： (2)已

8、知a、bR，則ab是(ab)(ab)i為純虛數(shù)的 () A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件 答案C 解析當(dāng)ab0時(shí)，此復(fù)數(shù)為0是實(shí)數(shù)，故A、B不正確；*Znni424ni34ni14ni1-1iiB新授課新授課例例2 2 已知已知 ，其中，其中 ，求求iyyix)3()12( Ryx ,. yx與與解：由復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組解：由復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組 )3(112yyx解得解得4,25 yx 點(diǎn)評(píng)(1)復(fù)數(shù)相等的條件，是求復(fù)數(shù)值及在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程的重要依據(jù) (2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可知，在ac，bd中，只要有一個(gè)不成立，那么abicdi.所以，一般地

9、，兩個(gè)復(fù)數(shù)只有說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小，例如，1i和35i不能比較大小 (1)已知x2y22xyi2i，求實(shí)數(shù)x、y的值 (2)已知復(fù)數(shù)zk23k(k25k6)i(kR)，且z0，求k的值變式練習(xí)：變式練習(xí)： 自然數(shù)概念可溯源于原始人類(lèi)用匹配方法計(jì)數(shù)。自然數(shù)概念可溯源于原始人類(lèi)用匹配方法計(jì)數(shù)。古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù)古希臘人用小石卵記畜群的頭數(shù)或部落的人數(shù) 。 英文英文calculatecalculate（計(jì)算）一詞是從希臘文計(jì)算）一詞是從希臘文calculus calculus （石卵）演變來(lái)的。中國(guó)古藉易系辭中說(shuō)：石卵）演變來(lái)的。中國(guó)古藉易系辭中說(shuō)：上古結(jié)繩而治，后世

10、圣人易之以書(shū)契。上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書(shū)契。 直至直至18891889年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。年，皮亞諾才建立自然數(shù)序數(shù)理論。 自然數(shù)自然數(shù) 零不僅表示無(wú)，更是表示空位的符號(hào)。中國(guó)古代用算零不僅表示無(wú)，更是表示空位的符號(hào)。中國(guó)古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無(wú)空籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無(wú)空 位記號(hào)，但位記號(hào)，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯命仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度阿拉伯命數(shù)法中的零（數(shù)法中的零（zero）來(lái)自印度的（來(lái)自印度的（sunya ）字，其原意也是字，其原意也是空或空白。空或空白。 中國(guó)最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)。

11、九章算術(shù)方程中論述的正中國(guó)最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)。九章算術(shù)方程中論述的正負(fù)數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn)負(fù)數(shù)，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn) 了負(fù)整數(shù)的了負(fù)整數(shù)的引入。減法運(yùn)算可看作求解方程引入。減法運(yùn)算可看作求解方程a+x=b，如果如果a，b是自然數(shù)，是自然數(shù)，則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。 整數(shù)整數(shù)分分 數(shù)數(shù) 原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如說(shuō)原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如說(shuō)文文八部對(duì)八部對(duì)“分分”的解釋?zhuān)旱慕忉專(zhuān)骸胺?，別也。從八從分，別也。從八從刀，刀以分別物也

12、。刀，刀以分別物也?！钡?，九章算術(shù)中的分但是，九章算術(shù)中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其數(shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)合分術(shù)”有云：有云：“實(shí)實(shí)如法而一。不滿(mǎn)法者，以法命之。如法而一。不滿(mǎn)法者，以法命之。”這句話(huà)的今譯這句話(huà)的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。個(gè)分?jǐn)?shù)。 古埃及人約于公元前古埃及人約于公元前1717世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)。世紀(jì)已使用分?jǐn)?shù)。 為表示各種幾何量（例如長(zhǎng)度、面積、體積）與物為表示各種幾何量（例如長(zhǎng)度、面積、體積）與物理量（例如速率、力的大?。祟?lèi)很早已發(fā)現(xiàn)有必要理量（例如速率、力的大?。?，人類(lèi)很早已發(fā)現(xiàn)有必要

13、引進(jìn)無(wú)理數(shù)。約在公元前引進(jìn)無(wú)理數(shù)。約在公元前530530，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已知道邊，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已知道邊長(zhǎng)為長(zhǎng)為1 1的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度（即的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度（即 ）不能是有理數(shù)。）不能是有理數(shù)。 15 15世紀(jì)達(dá)芬奇（世紀(jì)達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱(chēng)為是把它們稱(chēng)為是“無(wú)理的數(shù)無(wú)理的數(shù)”（irrational numberirrational number），），開(kāi)開(kāi)普勒（普勒（J. Kepler, 1571- 1630J. Kepler, 1571- 1630）稱(chēng)它們是稱(chēng)它們是

14、“不可名狀不可名狀”的數(shù)。的數(shù)。 法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789- 1875A.Cauchy,1789- 1875）給出了回給出了回答：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。答：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。 由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，人由于有理數(shù)可表示成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，人們想到用們想到用“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，這也是直來(lái)定義無(wú)理數(shù)，這也是直至至1919世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。世紀(jì)中葉以前的實(shí)際做法。 2無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù) 實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)直到實(shí)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)直到1919世紀(jì)世紀(jì)7070年代才得以奠年代才得以奠定。從定。從1919世紀(jì)世紀(jì)20

15、20年代肇始的數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化潮流，年代肇始的數(shù)學(xué)分析嚴(yán)密化潮流，使得數(shù)學(xué)使得數(shù)學(xué) 家們認(rèn)識(shí)到必須建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，尤家們認(rèn)識(shí)到必須建立嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，尤其是關(guān)于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾其是關(guān)于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性的理論。在這方面，外爾斯特拉斯（斯特拉斯（18591859年年 開(kāi)始）、梅雷（開(kāi)始）、梅雷（18691869）、戴德金）、戴德金（18721872）與康托爾（）與康托爾（1872 1872 ）作出了杰出的貢獻(xiàn)。）作出了杰出的貢獻(xiàn)。 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 從從1616世紀(jì)開(kāi)始，解高于一次的方程的需要導(dǎo)致復(fù)世紀(jì)開(kāi)始，解高于一次的方程的需要導(dǎo)致復(fù)數(shù)概念的形式。用配方法解一元二次方程就會(huì)遇

16、到負(fù)數(shù)概念的形式。用配方法解一元二次方程就會(huì)遇到負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題?？栠_(dá)諾在大法（數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題?？栠_(dá)諾在大法（15451545）中闡）中闡述一元三次方程解法時(shí)，發(fā)現(xiàn)難以避免復(fù)數(shù)。關(guān)于復(fù)述一元三次方程解法時(shí)，發(fā)現(xiàn)難以避免復(fù)數(shù)。關(guān)于復(fù)數(shù)及其代數(shù)及其代 數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是數(shù)運(yùn)算的幾何表示，是1818世紀(jì)末到世紀(jì)末到1919世紀(jì)世紀(jì)3030年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。年代由韋塞爾、阿爾根和高斯等人建立的。 哈密頓認(rèn)真地研究了從實(shí)數(shù)擴(kuò)張到復(fù)數(shù)的過(guò)程。哈密頓認(rèn)真地研究了從實(shí)數(shù)擴(kuò)張到復(fù)數(shù)的過(guò)程。他于他于18431843年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱年提出了四元數(shù)的概念，其后不久，凱萊又萊又 用四元數(shù)的有序?qū)Χx了八元數(shù)。它們都被稱(chēng)用四元數(shù)的有序?qū)Χx了八元數(shù)。它們都被稱(chēng)為超復(fù)數(shù)，如果舍棄更多的運(yùn)算性質(zhì)，超復(fù)數(shù)還為超復(fù)數(shù)，如果舍棄更多的運(yùn)算性質(zhì)，超復(fù)數(shù)還可擴(kuò)張到十六元數(shù)、三十二元數(shù)等等?？蓴U(kuò)張到十六元數(shù)、三十二元數(shù)等等。 1. 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)系的擴(kuò)充: 自然數(shù)集自然數(shù)集(N)整數(shù)集整數(shù)集(Z)有理數(shù)集有理數(shù)集(Q)復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集(C)實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集(R)2. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 形如形如 a+bi (a,