第02講-軸對稱

1、讓我們?yōu)槿Υ蛟旄拭C名校甘肅省華亭縣皇甫學校而共同努力吧！第2講 軸對稱幾何，當它與藝術結合起來時，其力量是不可抗拒的。歐里庇得斯知識方法掃描1、軸對稱圖形 如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱， 線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸；角也是軸對稱圖形，角的平分線是它的對稱軸。2、軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做關于這條直線的對稱點，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對

2、稱。3、線段和角都是軸對稱圖形，線段的垂直平分線和角的平分線是它們的對稱軸；等腰三角形也是軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊上的高。經(jīng)典例題解析例1在直角坐標系中，A點的坐標是(2,3), 則A點關于x軸的對稱點的坐標是 ,A點關于y軸的對稱點的坐標是 ,A點關于直線y=x的對稱點的坐標是 ,A點關于直線y=-x的對稱點的坐標是 .解 A點關于x軸的對稱點的坐標是（2，-3），A點關于y軸的對稱點的坐標是（-2，3），A點關于直線y=x的對稱點的坐標是（3，2），A點關于直線y=-x的對稱點的坐標是(-3,-2).評注 一般地，點(a,b) 關于x軸的對稱點的坐標是(a,-b), 關于y軸的對稱點的

3、坐標是(-a,b), 關于直線y=x的對稱點的坐標是(b,a), 關于直線y=-x的對稱點的坐標是(-b,-a).例2如圖, 已知AOB與線段CD, 求作一點P, 使點P到CD的兩端點距離相等且AOB兩邊的距離也相等.解 (1)作線段CD的垂直平分線MN；(2)作AOB的平分線OE交MN于點P, 由作法知點P既在CD的垂直平分線上, 又在AOB的角平分線上, 點P為所求.例3有一張矩形紙片ABCD，上面畫有一個角的兩邊m，n，但是這個角的頂點P在紙片的外部，試在紙片上作出P的平分線來。作法：(1)在紙片上作直線hm；作n關于h的對稱直線n, n與m交于P；(2)作P的平分線p; (3)作p關于

4、h的對稱直線p.則p所在的直線也是P的平分線所在的直線。評注 我們將這種類型的題稱為不可及點作圖問題 這個利用軸對稱變換來解答的作法是解決不可及點作圖問題的一般方法。例4設D為等腰ABC底邊BC的中點，E為ABD內任一點，求證：證明 如圖，以AD為對稱軸，作AEC對稱于AEB.設EC交AD于F，EC=EF + FC= EF+ FBBE于是E必落在AFC的內部.延長AE交EC于G，則例5（2001年廣西“創(chuàng)新杯”初中數(shù)學競賽試題）在直角坐標系xOy中，x軸上的動點M（x，0）到定點P（5，5），Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，當點M的橫坐標的值是多少時，MPMQ的值最??？解 作點Q關于x軸的

5、對稱點（2，1）。設直線PR為ykxb，則有 解得所以直線PR的解析式為y2x5。令y0，解出x即為所求。下面證明點M0（，0）使MPMQ取最小值。設PR與x軸的交點為M0（，0），在x軸上任取一點M，因為點Q關于x軸的對稱點為R，易知x軸垂直平分QR，于是M0QM0R，MQMR，由三角形三邊關系，知MPMRPR，而PRPM0M0RM0PM0Q，所以MPMQM0PM0Q。即M0（，0）使MPMQ取最小值。例6（2003年重慶市初中數(shù)學競賽試題）某臺球桌為如圖所示的長方形ABCD，小球從A沿45。角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞到B處，則AB:BC=( )。(A) 1:2 (B) 2:3 (C) 2:5

6、 (D) 3:5解 作A點關于BC的對稱點A，B點關于AD的對稱點B，設CD的中點為M，作M點關于AD的對稱點M，關于BC的對稱點M”。 連AM交AD、BC于H、G，連BM”交AD、BC于E、F。 小球路線為AHGMFEB.不難看出，AE=EG=2GD=CD，故AB:BC=2:5.例7在ABC中， P是ABC形內一點，且 AP=AC，PB=PC。求證： 證明 作PMBC于M，作A關于PM的對稱點A，連結AB、AP、AAA、A關于PM對稱，PMBC，AABC.AB = AA = AC= AP = AP.AAP為等邊三角形，即 例8（第十二屆“希望杯”數(shù)學競賽試題）如圖，將矩形ABCD的四個角向內

7、折起，恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，若EH=3，EF=4，求線段AD與AB的比。分析 將矩形ABCD四個角向內翻折，利用軸對稱，知AEH與MEH重合，BEF與MEF重合解 將AEH折起與MEH重合，得AE=EM同理，將BEF折起與MEF重合，得BE=EM，故AE=BE.E是AB的中點同理，可得G是CD的中點，連EG. EGAD，EG=AD.又EG是矩形EFGH的一條對角線， EG=HFAD=HF在矩形EFGH中，EH=3，EF=4， HF=5AD=5又在RtEFH中， 又E是AB的中點，評注 圖形經(jīng)過翻折，實際是做軸對稱變換，可以帶來很多的邊、角相等條件，合理的利用這些條件，可

8、快速、簡捷的解決題目，同步訓練一 選擇題1下列圖案是我國幾家銀行的標志，其中軸對稱圖形有( )(A)1個； (B)2個； (C)3個； (D)4個2點P（2，1）關于軸的對稱點的坐標為（ ）（A）（2，1） （B）（2，1） （C）（2，1） （D）（1，2）3如圖所示, 把一個正方形三次對折后沿虛線剪下, 則得到的圖形是( )4已知平面上的兩點A，B，下列說法不正確的是( )(A)點A、點B關于AB的垂直平分線對稱(B)點A、點B可以看作以直線AB為軸的軸對稱圖形(C)點A、點B是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸(D)點A、點B是軸對稱圖形，有兩條對稱軸5如圖，把矩形ABCD紙片對折，得折痕MN

9、，再把B點疊在折痕上，得到RtABE，沿著EB線折疊，所得到的EAF是( ) (A) 等腰三角形 (B) 等邊三角形 (C)等腰直角三角形 (D)直角三角形二 填空題6線段有 條對稱軸，正方形有 條對稱軸，圓有 條對稱軸。7如圖, 在ABC中, ABC=45, AD是BAC的平分線, EF垂直平分AD, 交BC的延長線于F, 則CAF= 8如圖, 已知三點A、B、C不在同一直線上, 作出(1)直線l1, 使A, B兩點關于直線l1對稱；(2)直線l2, 使A, C兩點關于直線 l2對稱；(3)直線l3, 使B, C兩點關于直線 l3對稱.觀察l1, l2, l3，你從中可以發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是 9如圖，E為正方形ABCD的邊AB上一點，AE=3，BE=1，P為AC上的動點，則PB+PE的最小值為 10在ABC中， AD是ABC的高，BD=3，AB=5，則CD= 。三 解答題11如圖, 已知直線MN與MN異側兩點A、B, 在MN上求作一點P, 使線段|PAPB|最大.12如圖，ABC中，ABAC，ADBC，垂足為D，P為AD上任一點，求證：PB-PCAB-AC13小華用火柴棒在桌上擺了一個不正確的等式(如圖),你有沒有什么辦法，在不移動火柴棒的情況下，使桌面上出現(xiàn)一個正確的等式？14如圖所示，在直角坐標系中，點A（-6，3），點B（-