第八章-多元函數微分自測題及答案

1、第八章 多元函數微分學自測題及解答 一、選擇題1若函數在點處不連續(xù)，則( C) （A）必不存在； （B）必不存在； （C）在點必不可微；（D）、必不存在。2考慮二元函數的下面4 條性質： 函數在點處連續(xù)； 函數在點處兩個偏導數連續(xù)； 函數在點處可微； 函數在點處兩個偏導數存在。 則下面結論正確的是（ A ） （A）；（B）；（C）； D）。3設函數，則在點處（ C ） （A）連續(xù)，偏導數存在； （B）連續(xù)，偏導數不存在； （C）不連續(xù)，偏導數存在； （D）不連續(xù)，偏導數不存在。解：取，, 在點處不連續(xù)，而。故應選（C）4設，則（ C ） （A）； （B）； （C）； （D）。5若函數在區(qū)域內具

2、有二階偏導數：， 則（ D ） （A）必有； （B）在內必連續(xù)； （C）在內必可微； （D）以上結論都不對。6設函數在點附近有定義，且，則（C） （A）； （B）曲面在點的法向量為； （C）曲線在點的切向量為； （D）曲線在點的切向量為。解：僅在點存在偏導數，因而在點不一定可微。故（A）不正確。 曲面在點的法向量為應為，即，故（B）不對。 曲線在點的切向量為 ，故（C）正確。或曲線可看作以x為參數的空間曲線，它在點的切向量為。7函數的極小值點是（B） （A）（0，0）； （B）（2，2）； （C）（0，2）； （D）（2，0）。解：，得駐點：（極大值點）；（非極值點）；（非極值點）；（極小值點

3、）。 8在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（B）（A）只有一條；（B）只有兩條；（C）至少有三條；（D）不存在。解：該曲線在任意一點的切向量，它與平面的法向量垂直，即，而每一個t對應于曲線上一點，應選（B）。二、填空題1，、具有二階偏導數，則。解：， 。2設，其中具有二階連續(xù)偏導數， 則。解： 。3設函數由方程確定，其中連續(xù)偏導數，則， .解法1：設，。解法2：方程兩邊對求偏導數得，。方程兩邊對求偏導數得，。解法3：，。4設，其中是由方程所確定的隱函數，則。解：設，則， ， 。5若函數可微，且，則當時，.6函數在點處方向導數的最大值為.7.曲面點處的切平面方程為。解：設， 切平面方程為，即。

4、8.函數在點處沿A點指向點的方向導數為，在點處方向導數的最大值為，最小值為。解：， 。，。9曲線在點處的切線方程為， 法平面方程為。解：兩曲面在點的切平面的法向量為 ，切線的方向向量，切線方程為,法平面方程為，即。三、解答題1.討論函數在點（1）是否連續(xù)？（2）偏導是否存在？（3）是否可微？證：(1)由于即 可見在點處連續(xù);(2).（3）該極限與k有關，可見，即故在點處不可微. 2設函數具有連續(xù)偏導數，且由方程所確定，求。解法1：設，則 ， 故；。 而；， 。解法2：在兩邊全微分，得 ，故。由，得， 故。3設變換，可把方程化簡為(其中z有二階連續(xù)偏導數)，求常數。解：視，則，從而， 變換將化簡

5、為，有。4設函數由方程組確定，其中可微，且，求。解法1：， 對微分，得， ， ， 故。解法2：后兩個方程對，得，由(2)得，代入(1)得， 故。5.過曲線在第一象限部分中哪一點作的切線與原曲線及坐標軸 之間所圍成的圖形面積最??？解：設切點為，這是長半軸為，短半軸為的橢圓。切線方程為，化為截距式：，設切線與原曲線及坐標軸所圍成的面積為S，則 ，即。求條件極值問題：，令，代入(3)，得 ，得唯一駐點，函數S必有最小值，且S在定義域內只有唯一駐點，在點處面積S有最小值。6求中心在原點的橢圓的長半軸與短半軸的長度。解：設為橢圓上的任一點，點M到原點的距離，d的最大值即為長半軸a，d的最小值即為短半軸b。設，令由(1)得，代入(2)化簡得，.把，即，.把，即，.由于最值必存在，故長半軸，短半軸。7.求曲面的一張切平面，使其在三個坐標軸上的截距之積為最大。解：曲面在第一卦限的點處的法向量為，切平面方程為，即， 切平面在三個坐標軸上的截距分別為求條件極值問題：，設函數：，代入(4)得。函數A必有最大值，且在定義域內只有唯一駐點，曲面在點處的切平面在三個坐標軸上的截距之積為最大，該切平面方程為。8當時,（1）求在球面上的最大值，（2）證明對任何正數，有.（1）解： 設，代入(4)得。根據實際問題