七年級下冊數學整式的乘除與因式分解知識點+習題

1、整式的乘除與因式分解1、單項式的概念： 由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。單項 式的數字因數叫做單項式的系數，字母指數和叫單項式的次數。2a2bc的 系數為,次數為,單獨的一個非零數的次數是 。2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數最高項的次數叫多項式的 次數。2a 2ab x 1 ,項有,二次項為 , 一次項為，常數項為 次數分別為 ,系數分別為 ,叫_次_項式。3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意：凡分母含有字母代數式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、多項式按字母的升（降）哥排列：3223x 2x y xy

2、2y 1按x的升哥排列： 按y的升哥排列：按x的降哥排列： 按y的降哥排列：5、同底數哥的乘法法則：amgan am n （m,n都是正整數）同底數哥相乘，底數不變，指數相加。注意底數可以是多項式或單項式。例 1.若 2a 264 ,貝U a=;若 27 3n （ 3）8,貝U n=.例 2.若 52x1 125,則（x 2）2009 x 的值為。例 3 .設 4x=8y-1,且 9y=27x-1，則 x-y 等于。6、哥的乘方法則：（am）n amn （m,n都是正整數）哥的乘方，底數不變，指數相乘。如： （35）2 310哥的乘方法則可以逆用：即 amn （am）n （an）m如：46（4

3、2）3（43）27、積的乘方法則：（ab）n anbn （n是正整數）積的乘方，等于各因數乘方的積。3 2 、5（2x y z）=8、同底數哥的除法法則：am an am n（ a 0,m,n都是正整數，且 m n）同底數塞相除，底數不變，指數相減。如： （ab）4 （ab） （ab）3 a3b39、零指數和負指數;a01 ,即任何不等于零的數的零次方等于1。p次方等于這個數的 p次方的倒數。n 1a p 一1（a 0, p是正整數），即一個不等于零的數的 pa如：21 3（2）10、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它

4、的指數作為積的一個因式。注意：積的系數等于各因式系數的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數塞的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。如：2x2y3z?3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(a b c) ma mb mc( m,a, b,c都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。如

5、：2x(2x 3y) 3y(x y)=12、多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。如：(3a 2b)(a 3b)13、單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數哥分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。如：7a2b4m 49a 2b =14、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即：(am bm cm) m am m bm m cm m a b c例 1.( a1b)(2a+ -b)(3a2+工 b2)；例 2.(ab)

6、(a+b)2+(a2 2ab+b2) 2ab.6312例 3.已知 x2+x1=0,求 x3+2x2+3 的值.2. 215、平萬差公式：(a b)(a b) a b注意平方差公式展開只有兩項如：(x y z)(x y z)=、一 .、22_216、完全平方公式：(a b) a 2ab b222_2_22a b (a b) 2ab (a b) 2ab (a b) (a b) 4ab222222a b) (a b) (a b)( a b) (a b) (a b)完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2倍。派17、三項式的完全平方公式： (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2a

7、c 2bc例1.利用平方差公式計算:200720072 2008 2006例2.廣場內有一塊邊長為 2a米的正方形草坪，經統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要加長 3米,則改造后的長方形草坪的面積是多少？一1-21 例3. (1)x 2,求x 的值。xx(2) (x y)2 16, (x y)2 = 4,求 xy 的值。18、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法A.提公因式法：式子中有公因式時，先提公因式。例1.把2ax 10ay 5by bx分解因式.分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按 x的降哥排列，然后從兩組分別提出公因式2a與b ,這

8、時另一個因式正好都是x 5y ,這樣可以繼續(xù)提取公因式.解：2ax 10ay 5by bx說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法.本題也可以將 一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試.例 2.把 ab(c2 d2) (a2 b2)cd 分解因式.分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式.解：ab(c2 d2) (a2 b2)cd =說明：由例2、例1可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后， 為了提公因式，又運用了分配律.由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用。B.公式法

9、：根據平方差和完全平方公式分解因式9x2 25y22 一 一C.配方法：分解因式x 6x 16說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差 公式分解.當然，本題還有其它方法，請大家試驗.D.十字相乘法:(1). x2 (p q)x pq型的因式分解這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：(1)二次項系數是1; (2)常數項是兩個數之積；(3) 一次項系數是常數項的兩個因數之和.22X (p q)x pq x px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)因此，x2 (p q)x pq (x p)(x q)運用這個公式，可以把

10、某些二次項系數為1的二次三項式分解因式.例1.把下列各式因式分解：22 .一 一一(1) x 7x 6(2) x 13x 36說明：此例可以看出，常數項為正數時，應分解為兩個同號因數，它們的符號與一次項系數的符號相同.例2.把下列各式因式分解：22(1) x 5x 24(2) x 2x 15說明：此例可以看出，常數項為負數時，應分解為兩個異號的因數，其中絕對值較大的因數與一次項系數的符號 相同.例3.把下列各式因式分解：22, 2、22(2) x xy 6y(2) (x x) 8(x x) 122.222 _分析：(1)把x2 xy 6y2看成x的二次三項式，這時常數項是6y , 一次項系數是

11、y,把6y分解成3y與2y的積，而3y ( 2y) y,正好是一次項系數. 22_ _ (2)由換兀思想，只要把x x整體看作一個字母 a,可不必寫出，只當作分解二次三項式 a 8a 12 .(3) 一般二次三項式 ax2 bx c型的因式分解大家知道， (axc1)(a2xC2)aa2x2(a£2a2C1 )x C1C2 .2反過來，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1x c1)(a2xc2)我們發(fā)現，二次項系數 a分解成a1a2 ,常數項c分解成C1C2,把a1, a2,c1 ,c2寫成a1 c1 ,這里按斜線交叉相a? C2乘，再相加，就得到 ac2 a2Ci

12、,如果它正好等于 ax2 bx c的一次項系數 b ,那么ax2 bx c就可以分解成(ax G)(azx cz),其中ai ,。位于上一行， a2,c2位于下一行.十字相乘法這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做例4.把下列各式因式分解:一 2-(1) 12x 5x 2-22(2) 5x 6xy 8 y說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要.當二次項系數不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關常數分解，交叉相乘后，若原常數為負數，用減法 “湊"，看是否符合一次項系數，否則用加法“湊”，先湊”絕對值，然后調整，添加正、負號.提高練習1. (2x24x 10xy) +() = x 1 y.222,若 x + y=8, x2y2=4,貝U x2+y2=.3 .代數式4x2+3mx+9是完全平方式，則m=.2013220144 .-1,5 3.2.一 一 .2. 25. 右a 2b2b 10 ,貝Ua bab =。6. (a+1) (a+1) (a2+1) = 。7. 一個正方形的邊長增加 4cm ,面積就增加56cm2 ,原來正方形的邊長為 。340168. (3+1) ( 32+1 ) (34+1 )(3200,1) = 。2xx9. (1) ( - + 3y) 2- ( - - 3