專題2.3-以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題(原卷版)

1、精品資料歡迎下載第三關(guān)以二次函數(shù)與直角三角形問題為背景的解答題【總體點評】 二次函數(shù)在全國中考數(shù)中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)競賽中也有二次函數(shù) 大題，很多生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大中很多數(shù)知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想 有關(guān)，生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)的習(xí)。直角三角形的有關(guān)知識和 二次函數(shù)都是初中代數(shù)中的重點內(nèi)容，這兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)最突出的綜合內(nèi)容，因此這類問題就成 為中考命題中比較受關(guān)注的熱點問題.【解題思路】近幾年的中考中，二次函數(shù)圖形中存在性問題始終是熱點和難點。考題內(nèi)容涉及到分類討論、數(shù)形結(jié)合、化 歸等數(shù)思想，對生思維能

2、力、模型思想等數(shù)素養(yǎng)要求很高，所以生的失分現(xiàn)象比較普遍和突出。解這類問題有什么規(guī)律可循？所應(yīng)用的知識點：1.拋物線與直線交點坐標；2.拋物線與直線的解析式；3.勾股定理；4.三角形的 相似的性質(zhì)和判定；5.兩直線垂直的條件；運用的數(shù)思想：1.函數(shù)與方程；2.數(shù)形Z合；3.分類討論；4.等價轉(zhuǎn)化； 解決二次函數(shù)中直角三角形存在性問題采用方法：1.找點：在已知兩定點，確定第三點構(gòu)成直角三角形時，要么以兩定點為直角頂點，要么以動點為直角頂點.以定點為直角頂點時，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直；以動點為直角頂點時，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點；2.以兩定點為直角頂點時，兩直線互相垂直，則ki*k2=-1,以

3、已知線段為斜邊時，利用 K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或者三條邊分別表示 之后，利用勾股定理求解.【典型例題】【例1】如圖，已知拋物線 y=ax2+bx + c (aw。的對稱軸為直線 x=- 1,且經(jīng)過A (1, 0) , C (0, 3)(1)若直線y = mx+n經(jīng)過B, C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸 x=- 1上找一點M,使點M到點A的距離與到點 C的距離之和最小，求點 M的坐標；(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸 x= 1上的一個動點，求使 4BPC為直角三角形的點 P的坐標.【答案】(1) y=x22x+3, y=x+3； (2)M(1,2);

4、( 3)滿足條件的點P共有四個分別為 P (1, -2) , B (1, 4) , R (1, 3'：17 ) ,P4 (1, 3-：17 ) 22【解析】兩點， 的坐標 最小的 M的坐試題分析：(1)已知拋物線y= ax2+bx+c的對稱軸為直線 x=1,且經(jīng)過A (1, 0) , C (0, 3 可得方程組，解方程組可求得a、b、c的值，即可得拋物線的解析式；根據(jù)拋物線的對稱性和點A(1,0)可求得B點的坐標(3, 0),用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；(2)使MA+MC點M應(yīng)為直線BC與對稱軸x=- 1的交點，把x=-1代入直線BC的解析式求得y的值，即可得點 標；(3)分B

5、為直角頂點，C為直角頂點，P為直角頂點三種情況分別求點 P的坐標.37a 試題解析：(1)依題意，得a+b + c = 0,解之，得b=2, Ic = 3.c= 3.，拋物線解析式為 y = x2 2x + 3 .:對稱軸為x=- 1,且拋物線經(jīng)過 A (1, 0),B ( 3, 0).把 B (-3, 0)、C (0, 3)分別直線 y=mx+n,得工 3m n = 0,n =3.解之，得m =1, n =3.直線BC的解析式為y = x +3 .(2) MA=MB , MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的點M應(yīng)為直線BC與對稱軸x = - 1的交點.設(shè)直線BC與對稱軸x= 1的交點為

6、M,把x= 1代入直線y =x +3,得y=2.M (1, 2)(3)設(shè) P ( 1, t),結(jié)合 B ( 3, 0) , C (0, 3),得 BC2=18,PB2= ( 1 + 3) 2+t2=4+t2,PC2= ( 1) 2+ (t3) 2=t26t+ 10.若 B 為直角頂點，則 BC2+PB2=PC2,即 18 + 4+t2 = t2-6t+ 10.解之，得t= 2.若C為直角頂點，則 bc2+pc2=pb2,即18+t2 6t+10=4+t2.解之，得 t=4.若P為直角頂點，則 PB2+PC2=BC2,即4 + t2 + t2-6t+ 10=18.解之，得 ti= 3 + x 1

7、7 , t2= 3 -2 1722綜上所述，滿足條件的點P共有四個，分別為P (1,-2) ,P2( 1, 4) ,P3(-1, 3"17 ),P4(21,3 - .172考點：二次函數(shù)綜合題.【名師點睛】 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查的知識點有平面直角坐標系上點的特征、直角三角形的知識，題目綜合性較強，有一定的難度；解題時要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想，會 綜合運用所的知識靈活的解題 .【例2】如圖甲，ABXBD, CDXBD, APXPC,垂足分別為 B、P、D,且三個垂足在同一直線上，我們把 這樣的圖形叫 土垂圖”.(1)證明：AB?CD = PBPD.(2)如

8、圖乙，也是一個 土垂圖”，上述結(jié)論成立嗎？請說明理由.(3)已知拋物線與x軸交于點A (-1, 0) , B (3, 0),與y軸交于點(0, -3),頂點為P,如圖丙所示, 若Q是拋物線上異于 A、B、P的點，使得/ QAP=90°,求Q點坐標.79【答案】（1） （2）見解析；（3）（，-）24【解析】試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出/ A= /CPD,然后求出 那BP和4PCD相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得證；（2）與（1）的證明思路相同；（3）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式， 根據(jù)拋物線解析式求出點 P的坐標，再過點P作PC，x軸于C, 設(shè)AQ與y軸

9、相交于D,然后求出PC、AC的長，再根據(jù)（2）的結(jié)論求出OD的長，從而得到點D的坐標， 利用待定系數(shù)法求出直線 AD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點 Q的坐標.試題解析：（1）證明： ABXBD, CDXBD,.B=/ D=90°,.A+Z APB=90° , . API PC, ./ APB+Z CPD=90° , ./ A=ZCPD,ABPAPCD,AB PB 二 ,PD CDAB?CD = PBPD ;(2) AB?CD=PB?PD 仍然成立.理由如下：: ABXBD, CDXBD,.B=/CDP=90° ,. A+Z APB=90

10、76; , . API PC,APB+/CPD=90° ,A=/CPD, . ABPsFCD,AB PB =PD CDAB?CD = PBPD ;(3)設(shè)拋物線解析式為 y=a(x+x K x -x2 ) (aw。,.拋物線與x軸交于點A （-1, 0） , B （3, 0）,與y軸交于點（0, -3）,y =a(x+1 X x3 ),把(0,-3)帶入得 y=x2-2x-3,y=x2-2x-3= （x-1） 2-4,，頂點P的坐標為（1, -4）,過點P作PCx軸于C,過點Q向x軸作垂線，垂足為 E.設(shè)QE=m ,由第（2）題結(jié)論得 AE=2m ,則Q點坐標為（2m -1, m）帶

11、入y=x2-2x-3, 解得m=9或m=0 （舍去），把y= 9帶入y=x2-2x-3,解得x=7或x=_3 （舍去）.點Q的坐標為（7 ,-）24【名師點睛】 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，綜合題，但難度不大，根據(jù)同角的余角相等求出兩個角相等得到兩三角形相似是解題的關(guān)鍵.【例3】如圖，已知點 A的坐標為（-2, 0）,直線丫=-3+3與*軸，y軸分別交于點B和點C,連接AC,4頂點為D的拋物線y=ax2+bx+c過A, B, C三點.（1）請直接寫出B, C兩點的坐標，拋物線的解析

12、式及頂點D的坐標;（2）設(shè)拋物線的對稱軸 DE交線段BC于點E, P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點 P作x軸的垂線，交線段BC于點F若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標；(3)設(shè)點M是線段BC上的一動點，過點 M作MN /AB,交AC于點N點.Q從點B出發(fā)，以每秒l個單 位長度的速度沿線段 BA向點A運動，運動時間為t (秒).當t (秒)為何值時，存在 ？QMN為等腰直角 三角形？【答案】(1)(1)B(4,O),C (0,3),拋物線的解析式為y =0x2+3X+3.頂點D的坐標為(1,27);848(2)當點P坐標為(3, 15)時，四邊形 DEFP為平行四邊形；(3)當t為8或1

13、4或Z時，存在AQMN8332為等腰直角三角形.試題分析：(1)由直線y=-3+3的解析式即可得 B, C兩點的坐標，再用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解 43 c 3析式，根據(jù)拋物線的解析式即可得拋物線的解析式；(2)設(shè)點P坐標為(m,-x2+±x + 3)，則點f的坐84標為(m, -3m+3),根據(jù)四邊形 DEFP為平行四邊形，則 PF=DE,由此列方程求得 m的值，即可得點 P 4的坐標；(3)分別以點 M、N、Q為直角頂點討論解決即可.試題解析：(1) B (4, O) , C (0, 3).3 23拋物線的解析式為 y = 3 x2 3x 3.8427頂點D的坐標為(1,-)

14、,、3 一 927 99(2)把 x=1 代入 y = 3x+3得，y =-. DE =279 = 9,448483 c 3因點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，所以可設(shè)點 P坐標為(m,-3x2 +-x + 3),84點F的坐標為(m, -3m+3).若四邊形 DEFP為平行四邊形，則 PF=DE4即-3m2+3m+3-(-3m+3)=9 8448解之，得m1二3,m2=1 (不合題意，舍去).，當點P坐標為(3, 15)時，四邊形 DEFP為平行四邊形.83 一(3)設(shè)點M的坐標為(n, m+3) , MN交y軸于點G.4丁 MN / AB,二四MNC s?bac，MN CGAB COMN 3-

15、MN MN=2 .當/ QiMN=90 , MN=MQ 2=OG 時，=，解之,63344448，二一n +3 = 2,解之，n = , M ( ,2)二二 Qi (.0)，即 t1 = 4 = 12Q2 (- ,0) 3433333當ZQ2NM =90：MN =NQ2 =OG時，容易求出t21當/ MQ3N=90 , Q3M=Q3N 時，NM=Q3K=OG13 MN，解之，得MN=3 .MN 23OG = 23 333二 一一x+3= ,解之，得 n=2,即 M (2,-), N(-1.-).4 22213._ 1 一 - 17MN 的中點 K 的坐標為(一) Q3 ( ,0).即 t3 =

16、 4 =.2 22228147當t為8或14或7時，存在 4MN為等腰直角三角形.332【名師點睛】 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平面圖形的面積的計算、二次函數(shù)與一元二次方程、直角三角形的知識等多個知識點，難度比較大.解題時要注意應(yīng)用數(shù) 形結(jié)合思想、分類討論思想及方程思想，會綜合運用所的知識靈活的解題【方法歸卻3 解決二次函數(shù)中直角三角形存在性 問題采用方法：1.找點：在已知兩定點，確定第三點構(gòu)成直角三角形時，要么以兩定點為直角頂點，要么以動點為直角頂點.以定點為直角頂點時，構(gòu)造兩條直線與已知直線垂直；以動點為直角頂點時，以已知線段為直徑構(gòu)造圓找點；2.以兩定

17、點為直角頂點時，兩直線互相垂直，則 k1*k2=-1 ,以已知線段為斜邊時，利用 K型圖，構(gòu)造雙垂直模型，最后利用相似求解，或 者三條邊分別表示之后，利用勾股定理求解.【針對練習(xí)】1 .如圖，拋物線 y =ax2 +bx +c與x軸交于兩點A (- 4, 0)和B (1, 0),與y軸交于點C (0, 2),動點D沿"BC的邊AB以每秒2個單位長度的速度由起點 A向終點B運動，過點D作x軸的垂線，交至BC 的另一邊于點 E,將9DE沿DE折疊，使點A落在點F處，設(shè)點D的運動時間為t秒.(1)求拋物線的解析式和對稱軸；(2)是否存在某一時刻t,使得4EFC為直角三角形？若存在，求出 t

18、的值；若不存在，請說明理由;22 .如圖，拋物線 y=x +bx+c與x軸交于A, B兩點，B點坐標為(3, 0).與y軸交于點C (0, 3).(1)求拋物線的解析式；(2)點P在x軸下方的拋物線上，過點 P的直線y=x+m與直線BC交于點E,與y軸交于點F,求PE+EF的最大值；(3)點D為拋物線對稱軸上一點.當ABCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點 D的坐標；若ABCD是銳角三角形，求點 D的縱坐標的取值范圍.23 .如圖，拋物線 y=x +bx+c經(jīng)過B (- 1, 0) , D ( - 2, 5)兩點，與x軸另一交點為 A,點H是線段AB上一動點，過點 H的直線PQx軸，分別交

19、直線 AD、拋物線于點 Q, P.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點P,使/ APB=90° ,若存在，求出點 P的橫坐標，若不存在，說明理由；(3)連接BQ, 一動點M從點B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個單位的速度運動到 Q,再沿線段QD以每秒J2個單位的速度運動到 D后停止，當點 Q的坐標是多少時，點 M在整個運動過程中用時 t最少？4 .如圖1,拋物線y =ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形 ABCD的頂點A(0,3)、B(1,0)、D(2,3),拋物線與x軸的另一交點為 E.經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形 ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一 點P .點P為直線l上方

20、拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為t.(1)求拋物線的解析式；(2)當t何值時，APFE的面積最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在點P使APAE為直角三角形 *存在，求出t的值；若不存在，說明理由./圖1'' 備用圖 '25 .拋物線 y=ax +bx + c(a#02x軸交于 a(4, 0), b(6, 0)兩點，與y軸交于點 0(0, 3).(1)求拋物線的解析式；(2)點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點 B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單 位長度的速度向點 C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒(0<t<3).過點E作x軸的平行線，與 BC

21、相交于點D (如圖所示)，當t為何值時，APDE的面積最大，并求出這 個最大值；當t=2時，拋物線的對稱軸上是否存在點F,使4EFP為直角三角形？若存在，請你求出點F的坐標；若不存在，請說明理由.6 .如圖所示，矩形 A' BC'底矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，邊 OC在y軸正半軸上)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的.點 。'在x軸的正半軸上，點 B的坐標為(1, 3).M(1)如果二次函數(shù) y= ax2+bx+c (aw0)圖象經(jīng)過 O, O兩點，且圖象頂點 M的縱坐標為1,求這個二次函 數(shù)的解析式；(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對稱軸的右側(cè)，是否存在點P,使得 HO

22、M為直角三角形？若存在，求出點 P的坐標和APOM的面積；若不存在，請說明理由；求邊C'新在直線的解析式.7 .如圖，直線y=x+2與拋物線y = ax2+bx + 6相交于A(-,勺)和B(4 , m),點P是線段AB上異于A、22B的動點，過點P作PCx軸，交拋物線于點 C.(1)求拋物線的表達式；(2)是否存在這樣的點 P,使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值，若不存在，請說明理由；當APAC為直角三角形時，求點 P的坐標.8 .如圖，已知拋物線 y=x2-4x+3與x軸交于A, B兩點，其頂點為 C.(1)對于任意實數(shù) m,點M (m, - 2)是否在該拋物線上？請說

23、明理由；(2)求證： 9BC是等腰直角三角形；(3)若點D在x軸上，則在拋物線上是否存在點P,使得PD / BC,且PD=BC?若存在，求點 P的坐標;若不存在，請說明理由.0XC9 .已知二次函數(shù) y=ax2+bx2的圖象與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C,點A的坐標為(4, 0),且 當x= 2和x= 5時二次函數(shù)的函數(shù)值 y相等.圖芾用圖(1)求實數(shù)a, b的值；(2)如圖，動點E, F同時從A點出發(fā)，其中點E以每秒2個單位長度的速度沿 AB邊向終點B運動，點F 以每秒J5個單位長度的速度沿射線 AC方向運動.當點 E停止運動時，點F隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒.連接EF,將那EF

24、沿EF翻折，使點A落在點D處，得到4DEF.是否存在某一時刻t,使得ADCF為直角三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由；設(shè)ADEF與祥BC重疊部分的面積為 S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.210 .如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax +bx+c與x軸父于B ( 3, 0)、C (1, 0)兩點，與y 軸交于點A (0, 2),拋物線的頂點為 D.連接AB,點E是第二象限內(nèi)的拋物線上的一動點，過點 E作EP LBC于點P,交線段AB于點F.(1)求此拋物線的解析式；(2)過點E作EGLAB于點G, Q為線段AC的中點，當4EGF周長最大時，在 x軸上找一點 R,使得|RERQ|

25、值最大，請求出 R點的坐標及|RE RQ|的最大值；(3)在(2)的條件下，將 APED繞E點旋轉(zhuǎn)得EDP',當 "PP是以AP為直角邊的直角三角形時，求點P的坐標.1 211 .如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y = x +bx + c的圖象與坐標軸交于 A, B, C二點，3其中點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(4,0),連接AC, BC .動點P從點A出發(fā)，在線段 AC上以每秒1個單位長度的速度向點 C作勻速運動；同時，動點 Q從點O出發(fā)，在線段 OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時， 另一點隨之停止運動， 設(shè)運動時間為t秒.連接

26、PQ.(1)填空： b=, c=.(2)在點P , Q運動過程中，LIAPQ可能是直角三角形嗎？請說明理由.(3)在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M ,使UpQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間 t;若不存在，請說明理由.(4)如圖，點 N的坐標為i-3,0 j,線段PQ的中點為H ,連接NH ,當點Q關(guān)于直線NH的對稱 ,212 .如圖，拋物線與y軸交于點A(0,4 ),與x軸交于B、C兩點，其中OB、OC是方程的x210x + 16 = 0 兩根，且OB<OC .(1)求拋物線的解析式；(2)直線AC上是否存在點D ,使LBCD為直角三角形.若存在，

27、求所有 D點坐標；反之說理；(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點( A點除外)，連PA、PC,若設(shè)L PAC的面積為S . P 點橫坐標為t,則S在何范圍內(nèi)時，相應(yīng)的點 P有且只有1個.13 .如圖，已知拋物線 y=-x2+2x+3與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,連 接BC. 0(1)求A, B, C三點的坐標;(2)若點P為線段BC上一點(不與 B, C重合)，PM /y軸，且PM交拋物線于點 M,交x軸于點N,當4BCM的面積最大時，求點 P的坐標；(3)在(2)的條件下，當 ABCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q,使得4CNQ為直角三角形，求點Q的坐標.14 .如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點 B, C,經(jīng)過B, C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的 另一交點為A ,頂點為P,且對稱軸是直線 x=2