等比數(shù)列教案Word版

1、等比數(shù)列適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中一年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）90分鐘知識(shí)點(diǎn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的判斷方法等比中項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)等比數(shù)列的綜合運(yùn)用教學(xué)目標(biāo)掌握等比數(shù)列的概念，熟練運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)解題教學(xué)重點(diǎn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式教學(xué)難點(diǎn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)的靈活運(yùn)用教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基本概念及性質(zhì)，接下來請(qǐng)同學(xué)們回憶一下：1、等差數(shù)列的定義；2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列的性質(zhì)；4、判斷等差數(shù)列的方法；5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式。1 / 15二、知識(shí)講解1

2、. 等比數(shù)列的定義若數(shù)列對(duì)滿足（常數(shù)），則叫做等比數(shù)列。叫做公比，它可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，但不能為零。根據(jù)這個(gè)定義，立刻可以得到下面的四個(gè)結(jié)論：（1）對(duì)，；（2）或 遞增，或遞減；（3）為常數(shù)數(shù)列；（4）為擺動(dòng)數(shù)列。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是: (其中是首項(xiàng)，是公比)。 由于可以整理為，因此，等比數(shù)列，即中的各項(xiàng)所表示的點(diǎn)離散的分布在第一象限或第四象限，其中，并且這些點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上。正是由于這一點(diǎn)，借助于指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)實(shí)施對(duì)等比數(shù)列的研究，已經(jīng)成為一種趨勢(shì)或方向足見函數(shù)與數(shù)列有機(jī)結(jié)合的重要性和可行性。3.等比中項(xiàng) 若成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)，且，。只有同號(hào)的兩個(gè)

3、數(shù)才有等比中項(xiàng)，等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，這一點(diǎn)與等差中項(xiàng)不同。僅是成等比數(shù)列的必要條件，不是充分條件。如。為了計(jì)算方便，連續(xù)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)為；同號(hào)連續(xù)偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為。4.等比數(shù)列的判定方法（1）是等比數(shù)列。（2）是等比數(shù)列。（3）是等比數(shù)列。5.等比數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式等比數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式是:(其中是首項(xiàng)，是公比，)。6.等比數(shù)列的性質(zhì)若是公比為的等比數(shù)列，則有以下性質(zhì)：（1） 公比為的等比數(shù)列同乘以一個(gè)不為零的數(shù)，所得數(shù)列仍是等比數(shù)列，公比仍為。（2）（3） 公比為的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，仍是等比數(shù)列，其公比為，其中，為等距離的項(xiàng)數(shù)之差（

4、4） 個(gè)等比數(shù)列，它們的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積組成一個(gè)新數(shù)列，仍是等比數(shù)列，其公比為原各數(shù)列公比之積。（5） 在等比數(shù)列中，若有，則有三、典型例題精析【例題1】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.【答案】當(dāng)a13，q2時(shí)，an32n1，Sn3(2n1)；當(dāng)a12，q3時(shí)，an23n1，Sn3n1.【解析】設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得解得或當(dāng)a13，q2時(shí)，an32n1，Sn3(2n1)；當(dāng)a12，q3時(shí)，an23n1，Sn3n1.【例題2】已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列3an的前n項(xiàng)和【

5、答案】(1)an2n(nN*)；Sn(9n1)【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)因?yàn)閍2，a4，a8成等比數(shù)列，所以(23d)2(2d)(27d)，解得d2.所以an2n(nN*)(2)由(1)知3an32n，設(shè)數(shù)列3an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn323432n(9n1)【例題3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【答案】(1)略；（2）ancn11n.【解析】(1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首項(xiàng)c1a11，又a1a11，a1，c1.又

6、cnan1，故cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可知cnn1n，ancn11n.四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S33a3，則公比q為()A B1 C或1 D.【答案】C【解析】當(dāng)q1時(shí)，滿足S33a13a3.當(dāng)q1時(shí)，S3a1(1qq2)3a1q2，解得q，綜上q或q1.故選C2、設(shè)數(shù)列an滿足：2anan1(an0)(nN*)，且前n項(xiàng)和為Sn，則的值為()A. B. C4 D2【答案】A【解析】由題意知，數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，故.故選A.3、公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5 C6

7、D7【答案】B【解析】a3a1116，a16.又等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，a74.又a10a7q342325，log2a105.故選B4、已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an，滿足2a3a2a110，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b6b8_.【答案】16【解析】由題意可知，b6b8ba2(a3a11)4a7，a70，a74，b6b816.5、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，則對(duì)任意的nN*，都有an2an12an0，則S5_.【答案】11【解析】由題意知a3a22a10，設(shè)公比為q，則a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，則S511.6、已知an是公比為2的

8、等比數(shù)列，若a3a16，則a1_；_.【答案】2；【解析】an是公比為2的等比數(shù)列，且a3a16，4a1a16，即a12， 故ana12n12n，n，n， 即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， .【鞏固】1、已知函數(shù)f(x)logax，且所有項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列an滿足logaan1logaan2，則數(shù)列an()A一定是等比數(shù)列 B一定是等差數(shù)列C既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【答案】A【解析】由logaan1logaan2，得loga2logaa2，故a2.又a0且a1，所以數(shù)列an為等比數(shù)列故選A.2、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，

9、則S4n等于()A80 B30 C26 D16【答案】B【解析】選B設(shè)S2na，S4nb，由等比數(shù)列的性質(zhì)知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30.故選B.3、已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則()A. B.或 C. D以上都不對(duì)【答案】B【解析】選B設(shè)a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根，不妨設(shè)acd0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S23a22，S43a42，則q_.【答案】【解析】法一：S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，

10、3a22a2qa2q23a2q22，化簡(jiǎn)得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去)法二：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q0，q.2、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN*)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式【答案】(1)略；（2）bn3n11.【解析】(1)證明：依題意Sn4an3(nN*)，n1時(shí)，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以

11、當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)因?yàn)閍nn1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23n11(n2)，當(dāng)n1時(shí)也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3n11.3、已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.【答案】(1)an2n1，bn3n1；（2）32 013.【解析】(1)a21d，a514

12、d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)d0，故解得d2.an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，數(shù)列bn的公比為3，bn33n23n1.(2)由an1得:當(dāng)n2時(shí)，an.兩式相減得：n2時(shí)，2bn23n1(n2)又當(dāng)n1時(shí)，a2，c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.課程小結(jié) 1、等比數(shù)列的定義； 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式； 3、等比數(shù)列的性質(zhì)； 4、判斷等比數(shù)列的方法； 5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1、等比數(shù)列an中，a44，則a2a6等于()A4B8 C16 D32【答案】C【解析】a2a6a16.故選

13、C2、已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1，a1，a4，則an()A4n B4n C4n1 D4n1【答案】C【解析】(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4n1.故選C3、已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7()A64 B81 C128 D243【答案】A【解析】q2，故a1a1q3a11，a7127164.故選A4、在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；a1a2an_.【答案】22n1【解析】a4a1q3，得4q3，解得q2，a1a2an2n1.5、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S33S20，則公比q_.【答案】2【解析】S33S20，a1a2a33(a1

14、a2)0，a1(44qq2)0. a10，q2.【鞏固】1、已知an為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和若a2a32a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5()A35 B33 C31 D29【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列an的公比為q，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知：a2a3a1a42a1，即a42.由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知，a42a72，a72a4.q3，即q.a4a1q3a12，a116，S531.2、在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；|a1|a2|an|_.【答案】22n1【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a4a1q3，代入數(shù)據(jù)解得q38，所以q2；等比數(shù)列|an|的公比為|q|2，則|an

15、|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.3、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a2n1.【答案】(1)an（2）【解析】(1)S1a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列，Sn2n1，又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3，a5，a2n1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.【拔高】1、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，Sn2an1，則Sn()A2n1B.n1 C.n1 D.【答案】B【解析】選B，Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an，anSnSn12an12an，3an2an1，.又S12a2，a2，an從第二項(xiàng)起是以為公比的等比數(shù)列，Sna1a2a3an1n1.也可以先求出n2時(shí)，an，再利用Sn2an1，求得Snn12、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn5an85，nN*.(1)證明：an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式，并求出使得Sn1Sn成立的最小正整數(shù)n.【答案】(1)略；（2）最小正整數(shù)n為15.【解析】(1)由題意知，Snn5an85，