2016年新課標I卷高考理科數學試題及答案

1、2016年普通高等學校招生全國統一考試理科數學注意事項：1 .本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷1至3頁，第n卷3至5頁.2 .答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試題相應的位置3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效4 .考試結束后，將本試題和答題卡一并交回第I卷一.選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的2(1)設集合 A x | x 4x 3 0 , B x|2x 3 0,則 AI B(3, 3)( 3,3)(1,3)(3,3)(A) 2 (B)2 (C)2 (D)2設(1 i)x 1 yi，其中x

2、, y是實數，則|x yi =(B) 1 (B)拒(C)出(D) 2(3)已知等差數列an前9項的和為27, a10=8 ,貝U a100 =(C) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97(4)某公司的班車在 7:00, 8:00, 8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10分鐘的概率是(A) (B) (C) (D)(5)已知方程-=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是(A) (- 1,3)(B) (-1,乖)(C) (0,3)(D) (0,<3)(6)如圖，某幾何體的三視圖是三個半

3、徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是(A) 17兀(B) 18兀(C) 20 兀(D) 28兀(7)函數y=2x2 - e兇在-2,2的圖像大致為(8)若 a b 10 c 1 ,則(A) acbc (B) abc bac (C) a10gbeb1ogac (D) 1oga c10gbC(9)執(zhí)行右面的程序圖，如果輸入的x 0, y 1, n 1 ,則輸出x,y的值滿足(A) y 2x (B) y 3x (C) y 4x (D) y 5x(10)以拋物線C的頂點為圓心的圓交 C于A、B兩點，交C的標準線于D、E兩點.已知|AB|=4j2, |DE|= 2而

4、，則C的焦點到準線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8(W)/館北門/(11)平面a過正方體 ABCD-A1B1C1D1的頂點 A, a平面CB1D1, a 平面 ABCD=m, a平面 ABA1B1=n,則m、n所成角的正弦值為(A)(B)1(D)312.已知函數 f (x) sin( x+ )(0,1),x為f(x)的零點，x 為244f (x)圖像的對稱, ，一 ，5單調，則的最大值為軸，且 f(x)在一,18 36(A) 11(B) 9(C) 7(D) 5第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答.第(22)題第(24)題為選考題

5、，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共 3小題，每小題5分(13)設向量 a=(m, 1), b=(1, 2),且 |a+b|2=|a|，|b|2,貝U m=.(14) (2x JX)5的展開式中，x3的系數是.(用數字填寫答案)(15)設等比數列?，滿足ai+a3=10, a2+a4=5,則aia2an的最大值為。(16)某高科技企業(yè)生產產品 A和產品B需要甲、乙兩種新型材料。生產一件產品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產一件產品 B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時，生產一件產品 A的利潤為2100元，生產一件產品 B的利潤為900元。該企業(yè)現有甲材料

6、 150kg,乙材料90kg,則在不 超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為元。三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本題滿分為12分)VABC的內角A, B, C的對邊分別別為a, b, c,已知 2cosc(acosB+b cos A) c.(I)求 C；(II)若c 77,VABC的面積為3叵，求VABC的周長. 2(18)(本題滿分為12分)如圖，在已A, B, C, D, E, F為頂點的五面體中，面 ABEF為正方形，AF=2FD, AFD 900,且二面角D-AF-E與二面角 C-BE-F都是60°.(I)證明平面ABEF

7、 EFDC ;(II )求二面角 E-BC-A的余弦值.(19)(本小題滿分12分)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了 100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記 X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.(I)求X的分布列；(II)若要求P(X n)

8、 0.5,確定n的最小值；(III)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在 n 19與n 20之中選其一，應選用哪個？20.(本小題滿分12分)設圓x2 y2 2x 15 0的圓心為 A,直線l過點B (1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C, D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(I)證明EA EB為定值，并寫出點 E的軌跡方程；(II)設點E的軌跡為曲線 C1,直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓 A交于P,Q兩點， 求四邊形MPNQ面積的取值范圍.(21)(本小題滿分12分)已知函數？?？= (? 2)e?+ ?(? 1)2有兩個零點.(I)求a的取值范圍；(II)

9、設X1, X2是？(？物兩個零點，證明：？+X2<2.請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講1如圖，4OAB是等腰二角形，/ AOB=120 .以。為圓心，？OA為半徑作圓(I)證明：直線AB與O相切；(II)點C,D在0O上，且 A,B,C,D四點共圓，證明： AB/CD.(23)(本小題滿分10分)選修4 4:坐標系與參數方程 ?= ?cos? 在直線坐標系xoy中，曲線Cl的參數方程為(t為參數，a>0)。在以坐標原點為極點，x?= 1 + ?sin? ?軸正半軸為極軸的極

10、坐標系中，曲線C2：k4cos&(I)說明Cl是哪種曲線，并將 C1的方程化為極坐標方程；(II)直線C3的極坐標方程為 9=孫 其中0滿足tan OC0=2,若曲線Ci與C2的公共點都在 C3上，求a。(24)(本小題滿分10分)，選修45:不等式選講已知函數 f(x)= I x+1 I - I 2x-3 I .(I)在答題卡第(24)題圖中畫出y= f(x)的圖像；(II )求不等式I f(x) I > 1的解集。2016年普通高等學校招生全國統一考試理科數學參考答案一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(1) D (2

11、) B (3) C (4) B (5) A (6) A(7) D (8) C (9) C (10) B (11) A (12) B二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分(13) 2(14)10(15) 64(16) 216000三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分為12分)解：(I)由已知及正弦定理得，2cosc sin cos sin cos sinC ,即 2cosCsinsinC .故 2sinCcosC sinC .一,r1 i,可得cosC 一,所以C 一 （II）由已知,1-absin C 23、. 32由已知及余弦定理得,a2 b2 2abco

12、sC 7 .2故 a2 b2 13,從而 a b 25 .所以 C的周長為5 J7.（18）（本小題滿分為12分）解：（I）由已知可得F DF , F F ,所以 F 平面 FDC .又 F 平面 F,故平面 F 平面 FDC.（II）過D作DGF ,垂足為G ,由（I）知DG 平面 F .uurum以G為坐標原點，GF的方向為x軸正方向，GF為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系G xyz .由（I）知 DF為二面角DF的平面角，故 DF60°,則DF 2, DG 3,可得 1,4,0 ,3,4,0 ,3,0,0 ， D 0,0,73由已知， / F ,所以平面 FDC .又平面

13、CDI 平面 FDC DC ，故 CD ， CD/ F .由 F,可得 平面 FDC，所以 C F為二面角CC F 60°.從而可得C 2,0,百.4,0,0uuuuuuuur. uur所以 C1,0, V3 ,0,4,0 , C 3, 4,V3 ,一 r設n x, y, z是平面 C的法向重，則r uuu_n C 0x ,3z 0r uuu ，即，n 04y 0所以可取nr 3,0,石.r uuurrm C 0設m是平面 CD的法向重，則 r uuurm 02、1919_r r同理可取 m 0,73,4.則 c°s（n, m）r 7n m2 1919C的余弦值為故二面角（

14、19）（本小題滿分12分）解：（I）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損零件數為8, 9, 10,11的概率分別為0.2,0.4, 0.2, 0.2,從而P(X16)0.2 0.2 0.04 ;P(X17)0.20.40.16 ；P(X18)0.20.20.4 0.4 0.24 ；P(X19)0.20.22 0.4 0.2 0.24；P(X20)0.20.40.2 0.2 0.2 ;P(X21)0.20.20.08 ；P(X 22) 0.2 0.2 0.04 .所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(n)由(

15、I)知 P(X 18) 0.44, P(X 19) 0.68,故 n 的最小值為 19.(出)記丫表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元) 當 n 19 時，EY 19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08(19 200 3 500) 0.04 4040.當n 20時，EY 20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 200 2 500) 0.044080.可知當n 19時所需費用的期望值小于 n 20時所需費用的期望值，故應選 n 19.20.(本小題滿分12分)解：(I)因為 |AD|AC|, EBAC

16、,故 EBD ACD所以 | EB | | ED | ,故 | EA |EB| |EA| |ED | |AD |.又圓A的標準方程為(x 1)2 y216 ,從而 | AD | 4 ,所以 | EA| | EB | 4.由題設得 A( 1,0) , B(1,0),|AB | 2 ,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為:2 y_30) , M (x1 , y1) 5 N (x2, y2).(n)當i與x軸不垂直時，設l的方程為y k(x 1)(ky k(x 1)由 x2y2得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.一 0 143- 22_8k4k 12人 J x1 x22) x1x22.4k

17、34k 3所以 | MN | ,1 k2 | x1_212(k1)4k2 3過點B(1,0)且與l垂直的直線 m : y1請1),|PQ1 2.4241駕3 .故四邊形 k2 1,2A到m的距離為,所以, k2 1MPNQ的面積S 1|MN | PQ| 12,1212. 4k 3可得當l與x軸不垂直時，四邊形 MPNQ面積的取值范圍為12,8"可).當l與x軸垂直時，其方程為 x 1, | MN | 3, | PQ | 8,四邊形 MPNQ的面積為12.綜上，四邊形 MPNQ面積的取值范圍為12,873).(21)(本小題滿分12分)解：(I) f '(x) (x 1)ex

18、2a(x 1) (x 1)(ex 2a) .設a 0,則f (x) (x 2)ex , f(x)只有一個零點.(ii)設 a 0,則當 x (,1)時，f'(x) 0;當 x (1,)時，f'(x) 0 .所以 f(x)在(，1)上 單調遞減，在（1,）上單調遞增.a 一又 f(1) e, f(2) a,取 b滿足 b 0且 b ln,則 2f (b) a(b 2) a(b 1)2 a(b2 3b) 0, 22故f (x)存在兩個零點.(iii)設 a 0 ,由 f '(x) 0 得 x 1 或 x ln( 2a) .若a e,則ln(2a) 1,故當x (1,)時，f

19、'(x) 0,因此f(x)在(1,)上單調遞增.又當x 1 2時，f (x) 0,所以f (x)不存在兩個零點.若 a e,則 ln(2a) 1,故當 x (1,ln(2a)時，f'(x) 0；當 x (ln( 2a),)時，f'(x) 0.因 2此f (x)在(1,ln( 2a)單調遞減，在(ln( 2a),)單調遞增.又當 x 1時，f (x) 0,所以f (x)不存在兩個零點.綜上，a的取值范圍為(0,).(n)不妨設 x1x2,由(I)知x1 (,1),x2(1,), 2x2 (,1), f (x)在(，1)上單調遞減，所以 x1 x2 2 等價于 f(x1)f

20、 (2 x2),即 f(2 x2) 0 .由于 f(2 x2)x2e2 x2 a(x21)2 ,而f (x2)(x22)ex2a(x21)2 0,所以f (2 x2)x2e2 x2 (x2 2)ex2 .設 g(x)xe2 x (x 2)ex,則 g'(x) (x 1)(e2x ex).所以當 x1 時，g'(x) 0,而 g(1) 0 ,故當 x 1 時，g(x) 0 .從而 g(x2)f (2 x2) 0,故 x1 x2 2 .請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號（22）（本小題滿分10分）選修4-1:幾何證明選講解：（I）設E是AB的中點，連結OE ,因為 OA OB, AOB 120，所以