橢圓的定義與性質(zhì)

1、第五節(jié)橢圓【知識梳理【知識梳理】1.1.必會知識必會知識 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)橢圓的定義橢圓的定義: :條件條件結(jié)論結(jié)論1 1結(jié)論結(jié)論2 2平面內(nèi)的動點平面內(nèi)的動點M M與平面內(nèi)與平面內(nèi)的兩個定點的兩個定點F F1 1,F,F2 2M M點的軌跡點的軌跡為橢圓為橢圓_為橢圓的焦點為橢圓的焦點_為橢圓的焦距為橢圓的焦距|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a2a|F2a|F1 1F F2 2| |F F1 1,F,F2 2|F|F1 1F F2 2| |(2)(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì): :圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程_(ab0)_

2、(ab0)_(ab0)_(ab0)性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍_x_x_y_y_x_x_y_y_對稱性對稱性對稱軸對稱軸:_:_對稱中心對稱中心:_:_2222xy1ab2222yx1ab-b-bb b-a-aa a坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點原點-a-aa a-b-bb b性性質(zhì)質(zhì)頂點頂點A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_,B_,B2 2_A A1 1_,A_,A2 2_B B1 1_,B_,B2 2_軸軸長軸長軸A A1 1A A2 2的長為的長為2a2a短軸短軸B B1 1B B2 2的長為的長為2b2b焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c離心率離心率e= _e= _a,b,ca,b,

3、c的關(guān)系的關(guān)系a a2 2=_=_(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b)(0,-a)(0,-a)(0,a)(0,a)(-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0)(0,1)(0,1)b b2 2+c+c2 2ca2.2.必備結(jié)論必備結(jié)論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0)=1(ab0)上任意一點上任意一點P(x,yP(x,y),),則當(dāng)則當(dāng)x=0 x=0時時,|OP|,|OP|有有最小值最小值b,b,這時這時,P,P在短軸端點處在短軸端點處; ;當(dāng)當(dāng)x=x=a a時時,|OP|,|OP|有最大值有最大值a,a,這

4、時這時,P,P在在長軸端點處長軸端點處. .(2)(2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形, ,其中其中a a是斜邊長是斜邊長,a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .(3)(3)已知過焦點已知過焦點F F1 1的弦的弦AB,AB,則則ABFABF2 2的周長為的周長為4a.4a.(4)(4)若若P P為橢圓上任一點為橢圓上任一點,F,F為其焦點為其焦點, ,則則a-c|PF|a+ca-c|PF|a+c. .2222xyab3.3.必用技法必用技法 核心總結(jié)看一看核心總結(jié)看一看(1)(1)常用方法常用方法: :待定系數(shù)法求

5、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程, ,定義法解決焦點三角形定義法解決焦點三角形相關(guān)問題相關(guān)問題, ,點差法解決中點弦問題點差法解決中點弦問題. .(2)(2)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想: :數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想. .【小題快練【小題快練】1.1.思考辨析思考辨析 靜心思考判一判靜心思考判一判(1)(1)平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點F F1 1,F,F2 2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓. .( () )(2)(2)橢圓上一點橢圓上一點P P與兩焦點與兩焦點F F1 1,F,F2 2構(gòu)成構(gòu)成PFPF1 1F

6、F2 2的周長為的周長為2a+2c(2a+2c(其中其中a a為為橢圓的長半軸長橢圓的長半軸長,c,c為橢圓的半焦距為橢圓的半焦距).).( () )(3)(3)橢圓的離心率橢圓的離心率e e越大越大, ,橢圓就越圓橢圓就越圓. .( () )(4)(4)橢圓既是軸對稱圖形橢圓既是軸對稱圖形, ,又是中心對稱圖形又是中心對稱圖形. .( () )【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .由橢圓的定義知由橢圓的定義知, ,當(dāng)該常數(shù)大于當(dāng)該常數(shù)大于|F|F1 1F F2 2| |時時, ,其軌跡才其軌跡才是橢圓是橢圓, ,而常數(shù)等于而常數(shù)等于|F|F1 1F F2 2| |時時, ,其軌跡為線段其軌

7、跡為線段F F1 1F F2 2, ,常數(shù)小于常數(shù)小于|F|F1 1F F2 2| |時時, ,不不存在圖形存在圖形. .(2)(2)正確正確. .由橢圓的定義得由橢圓的定義得,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以所以|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2|=2a+2c.|=2a+2c.(3)(3)錯誤錯誤. .因為因為 所以所以e e越大越大, ,則則 越小，橢圓越小，橢圓就越扁就越扁. .(4)(4)正確正確. .由橢圓的對稱性知由橢圓的對稱性知, ,其關(guān)于原點中心對

8、稱其關(guān)于原點中心對稱, ,也關(guān)于兩坐標(biāo)軸也關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱對稱. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4)222cabbe1 ( ) ,aaaba2.2.教材改編教材改編 鏈接教材鏈接教材 練一練練一練(1)(1)(選修選修1-1P291-1P29練習(xí)練習(xí)2T32T3改編改編) )過點過點P(0, )P(0, )與橢圓與橢圓有相同焦點的橢圓方程為有相同焦點的橢圓方程為_._.【解析【解析】依題意知橢圓焦點為依題意知橢圓焦點為( (4,0),4,0),所以所以所以所以a=6,a=6,所以所以b b2 2=36-16=20,=36-16=20,所求橢圓方程為所求橢

9、圓方程為答案：答案：2 522xy125922222a4(2 5)( 4)(2 5)12,22xy1.362022xy13620(2)(2)(選修選修1-1P331-1P33習(xí)題習(xí)題2-1A2-1A組組T6T6改編改編) )方程方程x x2 2+4y+4y2 2=4=4表示的橢圓的長表示的橢圓的長軸、短軸、離心率分別是軸、短軸、離心率分別是_._.【解析【解析】化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式則則a a2 2=4,a=2,b=1,c= ,=4,a=2,b=1,c= ,所以長軸所以長軸=4,=4,短軸短軸=2,=2,離心率離心率e= .e= .答案：答案：4,2, 4,2, 22xy1,4332

10、323.3.真題小試真題小試 感悟考題感悟考題 試一試試一試(1)(2014(1)(2014大綱版全國卷大綱版全國卷) )已知橢圓已知橢圓C C： (a(ab b0)0)的左、右的左、右焦點為焦點為F F1 1,F,F2 2，離心率為，離心率為 過過F F2 2的直線的直線l交交C C于于A,BA,B兩點，若兩點，若AFAF1 1B B的的周長為周長為 則則C C的方程為的方程為( )( )2222xy1ab33，4 3，22222222xyxA.1B.y1323xyxyC.1D.1128124 【解析【解析】選選A.A.由橢圓的定義可知，由橢圓的定義可知，|AF|AF1 1|+|AF|+|A

11、F2 2|=2a|=2a，|BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2a,|=2a,又因為又因為|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|+|BF|+|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=|=即即4a= 4a= 解得解得又又 則則c=1c=1，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=2=2，所以橢圓的方程為所以橢圓的方程為4 3,4 3，a3.c3a3，22xy1.32(2)(2015(2)(2015西安模擬西安模擬) )如果方程如果方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦點在表示焦點在y y軸上的橢圓，軸上的橢圓，那么實數(shù)那么實數(shù)k k的取值范圍是的取值范圍是. .【

12、解析【解析】將橢圓方程化為將橢圓方程化為 =1=1，因為焦點在因為焦點在y y軸上，所以軸上，所以 22，即，即k1k0k0，所以，所以0k1.0kb0)C: (ab0)的兩個焦點的兩個焦點,P,P為橢圓為橢圓C C上的上的一點一點, ,且且 若若PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9,9,則則b=b=. .22xy125162222xy1ab12PFPF . 【解題提示【解題提示】(1)(1)由橢圓的定義可知由橢圓的定義可知, ,ABFABF2 2的周長為的周長為4a=20,4a=20,然后利用然后利用面積相等即面積相等即 (a+b+c)r(a+b+c)r= |F= |F1 1F F2

13、 2|y|y1 1-y-y2 2|,(|,(其中其中r r為內(nèi)切圓半徑為內(nèi)切圓半徑) )解決解決. .(2)(2)注意到點注意到點P P為橢圓上的一點為橢圓上的一點, ,則有則有|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,再利用再利用 求出求出|PF|PF1 1|PF|PF2 2|,|,進(jìn)而可求得進(jìn)而可求得b b值值. .121212PFPF 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)ABFABF2 2的內(nèi)切圓周長為的內(nèi)切圓周長為,所以所以ABFABF2 2的內(nèi)切圓的半的內(nèi)切圓的半徑為徑為 , ,又又ABFABF2 2的周長為的周長為4a=20,4a=20,所以所以ABFABF2

14、2的面積為的面積為 20=5,20=5,另另一方面一方面ABFABF2 2的面積為的面積為 |F|F1 1F F2 2| |y|y1 1-y-y2 2|,|,則則|y|y1 1-y-y2 2|= |= 答案答案: : 121212122 55.2 3353(2)(2)由題意知由題意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a, |=2a, 所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2, ,所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2

15、 2|=4c|=4c2 2, ,所以所以2|PF2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2. .所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, ,所以所以 = |PF= |PF1 1|PF|PF2 2|= |= 2b2b2 2=b=b2 2=9.=9.所以所以b=3.b=3.答案答案: :3 312PFPF , 1 2PFFS1212【互動探究【互動探究】將本例將本例(2)(2)中條件中條件“ ”“ ”“PFPF1 1F F2 2的面積為的面積為9”9”分別改為分別改為“F F1 1PFPF2 2=60=60”“ ”,”“

16、”,則結(jié)果如何則結(jié)果如何? ?12PFPF 1 2PFFS3 3【解析【解析】由題意得由題意得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,又又F F1 1PFPF2 2=60=60, ,所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=|F=|F1 1F F2 2| |2 2, ,所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, ,所以所以3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a

17、2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, ,所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|= b|= b2 2, ,所以所以 所以所以b=3.b=3.431 222PFF1211433SPF PF sin 60bb3 3,22323 【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.橢圓定義的應(yīng)用范圍橢圓定義的應(yīng)用范圍(1)(1)確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓. .(2)(2)解決與焦點有關(guān)的距離問題解決與焦點有關(guān)的距離問題. .2.2.焦點三角形的應(yīng)用焦點三角形的應(yīng)用橢圓上一點橢圓上一點P P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“

18、焦點三角形焦點三角形”, ,利用定義可求其周長利用定義可求其周長; ;利用定義和余弦定理可求利用定義和余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2|;|;通過整體通過整體代入可求其面積等代入可求其面積等. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015南昌模擬南昌模擬) )已知已知P P是橢圓是橢圓 =1=1上一點上一點, ,F F1 1,F,F2 2分別是橢圓的左、右焦點分別是橢圓的左、右焦點, ,若若F F1 1PFPF2 2=60=60, ,則則PFPF1 1F F2 2的面積的面積為為_._.22xy10036【解析【解析】根據(jù)橢圓的定義根據(jù)橢圓的定義, ,得得|PF|PF1 1|+

19、|PF|+|PF2 2|=20,|=20,在在PFPF1 1F F2 2中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1| |PF|PF2 2|cos60|cos60=256.=256.2 2- -得得|PF|PF1 1| |PF|PF2 2|=48,|=48,所以所以答案答案: :12 12 1 2PFF121S|PF | |PF |sin 6012 3.2 3【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.1.已知橢圓已知橢圓 +y+y2 2=1,F=1,F1 1,F,F2 2為其兩焦點為其兩焦點,P,P為橢圓上任一為橢圓上任一點

20、點, ,則則|PF|PF1 1| |PF|PF2 2| |的最大值為的最大值為( () )A.6 B.4 C.2 D.8A.6 B.4 C.2 D.8【解析【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n,|=n,則則m+nm+n=2a=4,|PF=2a=4,|PF1 1| |PF|PF2 2|=mn|=mn =4( =4(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2m=n=2時時, ,等號成立等號成立).).2x42mn()22.2.橢圓橢圓 +y+y2 2=1=1的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為F F1 1,F,F2 2, ,過過F F1 1作垂直于作垂直于x x軸的直

21、線軸的直線與橢圓相交與橢圓相交, ,一個交點為一個交點為P,P,則則|PF|PF2 2|=(|=() )2x473A. B. C. 3 D.422【解析【解析】選選A.aA.a2 2=4=4，b b2 2=1=1，所以，所以a=2a=2，b=1b=1， 不妨設(shè)不妨設(shè)P P在在x x軸上軸上方，則方，則F F1 1(- (- ，0)0)，設(shè)，設(shè)P(- P(- ，m)(mm)(m0)0)，則，則解得解得m= m= ，所以，所以|PF|PF1 1|= |= ，根據(jù)橢圓定義：，根據(jù)橢圓定義：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a，所以，所以|PF|PF2 2|=2a-|PF|=2

22、a-|PF1 1|=|=c3，3322(3)m14 ，1212172 2.22考點考點2 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【典例【典例2 2】(1)(1)已知點已知點P P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上, ,點點P P到兩焦點的到兩焦點的距離分別為距離分別為 過點過點P P作長軸的垂線恰好經(jīng)過橢圓的一個焦作長軸的垂線恰好經(jīng)過橢圓的一個焦點點, ,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. .4 52 533和，(2)(2014(2)(2014安徽高考安徽高考) )設(shè)設(shè)F F1 1,F,F2 2分別是橢圓分別是橢圓E: (ab0)E: (ab0)的的左、右焦

23、點左、右焦點, ,過點過點F F1 1的直線交橢圓的直線交橢圓E E于于A,BA,B兩點兩點,|AF,|AF1 1|=3|F|=3|F1 1B|.B|.若若|AB|=4,|AB|=4,ABFABF2 2的周長為的周長為16,16,求求|AF|AF2 2|.|.若若cosAFcosAF2 2B= ,B= ,求橢圓求橢圓E E的離心率的離心率. .2222xy1ab35【解題提示【解題提示】(1)(1)考慮設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考慮設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, ,然后求參數(shù)然后求參數(shù), ,注意由已知注意由已知條件不能確定焦點所在坐標(biāo)軸條件不能確定焦點所在坐標(biāo)軸, ,因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

24、程有兩種形式. .(2)(2)根據(jù)橢圓的定義及三角形的周長求解根據(jù)橢圓的定義及三角形的周長求解; ;由已知條件及橢圓定義由已知條件及橢圓定義結(jié)合余弦定理、離心率的定義求解結(jié)合余弦定理、離心率的定義求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (ab0)(ab0)或或 (ab0)(ab0)，兩個焦點分別為，兩個焦點分別為F F1 1，F(xiàn) F2 2，則由題意，知，則由題意，知2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,所以所以a= .a= .2222xy1ab2222yx1ab55答案：答案：2222222222222222xyb

25、1xc,y.abayxb1yc,x.abab2 510b,a33x3yy3x11.510510 在方程中，令得在方程中，令得依題意知，所以即橢圓的方程為或2222x3yy3x11510510或【一題多解【一題多解】解答本例解答本例(1)(1)還有如下方法還有如下方法: :設(shè)橢圓的兩個焦點分別為設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F F1 1,F,F2 2, ,不妨令不妨令|PF|PF1 1|= ,|PF|= ,|PF2 2|= .|= .由橢圓的定義由橢圓的定義, ,知知2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,即即a= .a= .由由|PF|PF1 1|PF|PF2 2|

26、 |知知,PF,PF2 2垂直于長軸垂直于長軸. .故在故在RtRtPFPF2 2F F1 1中中,4c,4c2 2=|PF=|PF1 1| |2 2-|PF-|PF2 2| |2 2= =4 532 535560,9所以所以c c2 2= ,= ,于是于是b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= .= .又所求橢圓的焦點可以在又所求橢圓的焦點可以在x x軸上軸上, ,也可以在也可以在y y軸上軸上, ,故所求橢圓的方程故所求橢圓的方程為為答案答案: :531032222x3y3xy11.510105或2222x3y3xy11510105或(2)(2)由由|AF|AF1 1|=3|BF|=3

27、|BF1 1|,|AB|=4,|,|AB|=4,得得|AF|AF1 1|=3,|BF|=3,|BF1 1|=1,|=1,因為因為ABFABF2 2的周長為的周長為16,16,所以由橢圓定義可得所以由橢圓定義可得4a=16,4a=16,|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a=8,|=2a=8,故故|AF|AF2 2|=2a-|AF|=2a-|AF1 1|=8-3=5.|=8-3=5.設(shè)設(shè)|BF|BF1 1|=k,|=k,則則k0,k0,且且|AF|AF1 1|=3k,|AB|=4k,|=3k,|AB|=4k,由橢圓定義可得由橢圓定義可得|AF|AF2 2|=2a-3k,|BF|=2

28、a-3k,|BF2 2|=2a-k,|=2a-k,在在ABFABF2 2中中, ,由余弦定理可得由余弦定理可得|AB|AB|2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|BF+|BF2 2| |2 2-2|AF-2|AF2 2| |BF|BF2 2|cosAF|cosAF2 2B,B,即即(4k)(4k)2 2=(2a-3k)=(2a-3k)2 2+(2a-k)+(2a-k)2 2- (2a-3k)(2a-k),- (2a-3k)(2a-k),化簡可得化簡可得(a+k)(a-3k)=0,(a+k)(a-3k)=0,而而a+ka+k0,0,故故a=3k,a=3k,于是有于是有|AF|AF2 2|=

29、3k=|AF|=3k=|AF1 1|,|BF|,|BF2 2|=5k,|=5k,因此因此|BF|BF2 2| |2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|AB|+|AB|2 2F F1 1AFAF2 2A,A,故故AFAF1 1F F2 2為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,從而從而 652c2cae.2a2【易錯警示【易錯警示】本例本例(1)(1)中易得出中易得出 的錯誤結(jié)論的錯誤結(jié)論. .其原因是沒有注意到題目中沒有指明橢圓焦點的位置其原因是沒有注意到題目中沒有指明橢圓焦點的位置, ,誤認(rèn)為焦點在誤認(rèn)為焦點在x x軸上軸上, ,在解決與橢圓方程有關(guān)問題時在解決與橢圓方程有關(guān)問題時, ,

30、如果題目中沒有明確焦點位置如果題目中沒有明確焦點位置, ,要注意分析題意或分類討論要注意分析題意或分類討論. .22x3y1510【規(guī)律方法【規(guī)律方法】1.1.用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個步驟用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的四個步驟(1)(1)作判斷作判斷: :根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x x軸上軸上, ,還是在還是在y y軸上軸上, ,還是兩個還是兩個坐標(biāo)軸都有可能坐標(biāo)軸都有可能. .(2)(2)設(shè)方程設(shè)方程: :根據(jù)上述判斷設(shè)出方程根據(jù)上述判斷設(shè)出方程. .(3)(3)找關(guān)系找關(guān)系: :根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件, ,建立關(guān)于建立關(guān)于a,b,ca,b,c的方程組的方程組

31、. .(4)(4)得方程得方程: :解方程組解方程組, ,將解代入所設(shè)方程將解代入所設(shè)方程, ,即為所求即為所求. .2.2.求橢圓離心率的方法求橢圓離心率的方法(1)(1)直接求出直接求出a,ca,c的值的值, ,利用離心率公式直接求解利用離心率公式直接求解. .(2)(2)列出含有列出含有a,b,ca,b,c的齊次方程的齊次方程( (或不等式或不等式),),借助于借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b,b,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為含有為含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解. .提醒提醒: :當(dāng)橢圓焦點位置不明確時當(dāng)橢圓焦點位置不明確時, ,可設(shè)為可設(shè)為 (m0,n

32、0,mn),(m0,n0,mn),也也可設(shè)為可設(shè)為AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,=1(A0,B0,且且AB).AB).22xy1mn【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】如圖如圖, ,橢圓橢圓C: (ab0)C: (ab0)的左焦點為的左焦點為F F1 1, ,上頂點上頂點為為B B2 2, ,右頂點為右頂點為A A2 2, ,過點過點A A2 2作作x x軸的垂線交直線軸的垂線交直線F F1 1B B2 2于點于點P,P,若若|PA|PA2 2|=3b,|=3b,則則橢圓橢圓C C的離心率為的離心率為. .2222xy1ab【解析【解析】由題意知由題意知答案答案: :21212B OFO

33、PAFA，12bc11,e.3bac32所以所以【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】已知橢圓已知橢圓 (ab0)(ab0)的左、右焦點分別為的左、右焦點分別為F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0),(c,0),若橢圓上存在點若橢圓上存在點P P使使 則則該橢圓的離心率的取值范圍為該橢圓的離心率的取值范圍為. .2222xy1ab1 22 1acsin PFFsin PF F，【解析【解析】依題意及正弦定理依題意及正弦定理, ,得得 ( (注意到注意到P P不與不與F F1 1F F2 2共線共線),),答案：答案：( -1,1)( -1,1)21|PF |a|PF |c22222PFa

34、,2aPFc2ac2ac2a1,1,PFaPFaac2e1,e12.0e121e1.1e 即所以所以即所以又，因此2考點考點3 3 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系知知考情考情直線與橢圓的綜合問題是高考命題的一個熱點問題直線與橢圓的綜合問題是高考命題的一個熱點問題, ,主要以解答主要以解答題的形式出現(xiàn)題的形式出現(xiàn), ,考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系考查橢圓的定義、幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系, ,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力. .明明角度角度命題角度命題角度1:1:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的性質(zhì)由直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的

35、性質(zhì)【典例【典例3 3】(2014(2014新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷)設(shè)設(shè)F F1 1,F,F2 2分別是橢圓分別是橢圓C: C: (ab0(ab0）的左）的左, ,右焦點右焦點,M,M是是C C上一點且上一點且MFMF2 2與與x x軸垂直軸垂直, ,直線直線MFMF1 1與與C C的另的另一個交點為一個交點為N.N.(1)(1)若直線若直線MNMN的斜率為的斜率為 , ,求求C C的離心率的離心率. .(2)(2)若直線若直線MNMN在在y y軸上的截距為軸上的截距為2,2,且且|MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|,N|,求求a,ba,b. .2222xy1ab34【解題提示【解題提

36、示】(1)(1)將將M,FM,F1 1的坐標(biāo)都用橢圓的基本量的坐標(biāo)都用橢圓的基本量a,b,ca,b,c表示表示, ,由斜率由斜率條件可得到條件可得到a,b,ca,b,c的關(guān)系式的關(guān)系式, ,然后由然后由b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b b2 2, ,再再“兩邊同除以兩邊同除以a a2 2”,”,即得到離心率即得到離心率e e的二次方程的二次方程, ,由此解出離心率由此解出離心率. .(2)(2)利用利用“MFMF2 2yy軸軸”及及“截距為截距為2”,2”,可得可得y yM M= =4,= =4,然后利用然后利用|MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|N|及焦半徑公式即可求

37、出及焦半徑公式即可求出a,ba,b的值的值. .2ba【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)因為由題知，因為由題知，又又a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .聯(lián)立整理得：聯(lián)立整理得：2e2e2 2+3e-2=0+3e-2=0，解得解得e= .e= .所以所以C C的離心率為的離心率為 . .221 2|MF |3b13,|FF |4a 2c4，所以1212(2)(2)由三角形中位線知識可知，由三角形中位線知識可知，|MF|MF2 2|=2|=22 2，即，即 =4.=4.設(shè)設(shè)|F|F1 1N|=m,N|=m,由題可知由題可知|MF|MF1 1|=4m.|=4m.由兩直角三角形相似，可得由兩

38、直角三角形相似，可得M,NM,N兩點兩點橫坐標(biāo)分別為橫坐標(biāo)分別為c,- c.c,- c.由焦半徑公式可得由焦半徑公式可得: :|MF|MF1 1|=a+ec,|NF|=a+ec,|NF1 1|=a+e|=a+e(- c)(- c)，且，且|MF|MF1 1|NF|NF1 1|=41,|=41,2ba32322222cbe,abc ,4.a7,b2 7.aa聯(lián)立解得命題角度命題角度2:2:由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)由直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線的性質(zhì)【典例【典例4 4】(2014(2014天津高考天津高考) )設(shè)橢圓設(shè)橢圓 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦點的左、右焦點為為F F

39、1 1,F,F2 2, ,右頂點為右頂點為A,A,上頂點為上頂點為B.B.已知已知|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2|.|.(1)(1)求橢圓的離心率求橢圓的離心率. .(2)(2)設(shè)設(shè)P P為橢圓上異于其頂點的一點為橢圓上異于其頂點的一點, ,以線段以線段PBPB為直徑的圓經(jīng)過點為直徑的圓經(jīng)過點F F1 1, ,經(jīng)過原點經(jīng)過原點O O的直線的直線l與該圓相切與該圓相切, ,求直線求直線l的斜率的斜率. .2222xyab32【解題提示【解題提示】(1)(1)根據(jù)根據(jù)|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |及及a a2 2=b=b2 2+c+c2 2求離心率求離

40、心率. .(2)(2)以以PBPB為直徑的圓經(jīng)過點為直徑的圓經(jīng)過點F F1 1等價于等價于【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)設(shè)橢圓的右焦點設(shè)橢圓的右焦點F F2 2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(c,0).(c,0).由由|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |，可得，可得a a2 2+b+b2 2=3c=3c2 2，又又b b2 2=a=a2 2c c2 2，則，則所以，橢圓的離心率所以，橢圓的離心率3211PFBF. 3222c1.a22e.2(2)(2)由由(1)(1)知知a a2 2=2c=2c2 2，b b2 2=c=c2 2. .故橢圓方程為故橢圓方程為設(shè)設(shè)P(xP(x0 0,y

41、,y0 0).).由由F F1 1( (c,0)c,0)，B(0,c)B(0,c)，有，有 =(x=(x0 0+c,y+c,y0 0) )， =(c,c=(c,c).).由已知，有由已知，有即即(x(x0 0+c)c+y+c)c+y0 0c=0.c=0.又又c0c0，故有，故有x x0 0+y+y0 0+c=0.+c=0. 又因為點又因為點P P在橢圓上，故在橢圓上，故 2222xy1.2cc1FP 1FB 11FP FB0 ，220022xy1.2cc由由和和可得可得3x3x0 02 2+4cx+4cx0 0=0.=0.而點而點P P不是橢圓的頂點，故不是橢圓的頂點，故代入代入得得y y0

42、0= = 即點即點P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為設(shè)圓的圓心為T(xT(x1 1,y,y1 1) )，則，則進(jìn)而圓的半徑進(jìn)而圓的半徑設(shè)直線設(shè)直線l的斜率為的斜率為k k，依題意，直線，依題意，直線l的方程為的方程為y=kxy=kx. .04cx3 ，c3，4c c, ).3 3(114cc0c2233xcyc2323，22115r(x0)(yc)c.3由由l與圓相切，可得與圓相切，可得即即整理得整理得k k2 28k+1=08k+1=0，解得，解得k=4k=4 . .所以，直線所以，直線l的斜率為的斜率為4+ 4+ 或或4 4 . .112|kxy |rk1，22c2c|k()|533c3k

43、1，151515悟悟技法技法1.1.直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟(1)(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程聯(lián)立直線方程與橢圓方程. .(2)(2)消元得出關(guān)于消元得出關(guān)于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程. .(3)(3)當(dāng)當(dāng)00時時, ,直線與橢圓相交直線與橢圓相交; ;當(dāng)當(dāng)=0=0時時, ,直線與橢圓相切直線與橢圓相切; ;當(dāng)當(dāng)0b0)(ab0)的離心率為的離心率為e= e= ，直線直線l:y:y=x+2=x+2和圓和圓O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切相切. .(1)(1)求橢圓求橢圓C C的方程的方程. .(2)(2)過橢圓過橢圓C

44、C的左頂點作直線的左頂點作直線m,m,與與O O相交于兩點相交于兩點R R，S S，已知，已知ORSORS的面積的面積為為 ，求直線，求直線m m的方程的方程. .2222xy1ab3332【解析【解析】(1)(1)由直線由直線l:y:y=x+2=x+2和圓和圓O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切得相切得解得解得b= .b= .又又 即即 得得a a2 2=3=3，故橢圓，故橢圓C C的方程為：的方程為：002b2 ，2c3ea3，22a21a3，22xy1.32(2)(2)方法一：由方法一：由(1)(1)知：左頂點知：左頂點A(- ,0)A(- ,0)，依題意知，直線，依題意

45、知，直線m m的斜率存的斜率存在且不為在且不為0 0，設(shè)直線，設(shè)直線m m的方程為：的方程為：y=k(xy=k(x+ )(k0)+ )(k0)，所以圓心，所以圓心O(0O(0，0)0)到直線到直線m m的距離的距離 因為直線因為直線m m與圓與圓O O相交，所以相交，所以ddr= r= ，即，即 解得解得k k2 222且且k0k0，直線，直線m m與圓與圓O O相交所得的弦長相交所得的弦長3322003k3kdk1k1，223k2k1，2222223k2 2kRS2 rd2 2k1k1，所以所以 解得解得k k2 2=1=1或或k k2 2= = ，均適合均適合k k2 220,y0,y0 00).0).則切線斜率為則切線斜率為- ,- ,切線方程為切線方程為y-yy-y0 0=- (x-x=-