輔導(dǎo)講義二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、 個(gè)性化輔導(dǎo)講義 二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，

2、隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移

3、方法如下： 2. 平移規(guī)律 方法一： 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：

4、開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互

5、化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) 在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對(duì)稱軸在軸的

6、左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1

7、. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180） 關(guān)于頂

8、點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方

9、程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐

10、標(biāo).拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根. 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：二次函數(shù)圖像參考： 十一、函數(shù)的應(yīng)用【例題精講】 二次函數(shù)圖像和性質(zhì)?？伎键c(diǎn)：考點(diǎn)1、考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)， 則的值是 考點(diǎn) 2、綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的

11、圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考點(diǎn)3、考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求這條拋物線的解析式?？键c(diǎn)4、確定a、b、c的值二次函數(shù)：y=ax2+bx+c （a,b,c是常數(shù)，且a0） a0開口向上，a0開口向下拋物線的對(duì)稱軸為x=，由圖像確定的正負(fù)，由a的符號(hào)確定出b的符號(hào)由x=

12、0時(shí),y=c，知c的符號(hào)取決于圖像與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí)，c0，與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí)，c0確定了a、b、c的符號(hào)，易確定abc的符號(hào)考點(diǎn)5、確定a+b+c的符號(hào)x=1時(shí)，y=a+b+c，由圖像y的值確定a+b+c的符號(hào)與之類似的還經(jīng)常出現(xiàn)判斷4a+2b+c的符號(hào)（易知x=2時(shí)，y=4a+2b+c），由圖像y的值確定4a+2b+c的符號(hào)還有判斷ab+c的符號(hào)（x=1時(shí)，y=ab+c）等等考點(diǎn)6、與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)的一些值的符號(hào)拋物線的對(duì)稱軸為x=，根據(jù)對(duì)稱性知：取到對(duì)稱軸距離相等的兩個(gè)不同的x值時(shí)，y值相等，即當(dāng)x=+m或x=m時(shí)，y值相等中考考查時(shí)，通常知道x=

13、+m時(shí)y值的符號(hào)，讓確定出x=m時(shí)y值的符號(hào)考點(diǎn)7、由對(duì)稱軸x=的確定值判斷a與b的關(guān)系如：=1能判斷出a =0.5 b考點(diǎn)8、頂點(diǎn)與最值若x可以取全體實(shí)數(shù)，開口向下時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最大值，開口向上時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最小值 例1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論： ； ； ； ； ，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（ ）A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)考點(diǎn)9、圖象與x軸交點(diǎn)b2-4ac0，ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；b2-4ac0，ax2+bx+c=0無實(shí)根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根b2-4ac0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac0，

14、拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；b2-4ac=0，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn) 例2、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3考點(diǎn)10、判斷在同一坐標(biāo)系中兩種不同的圖形的正誤如：在同一種坐標(biāo)系中正確畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)，關(guān)鍵是兩個(gè)式子中的a、b值應(yīng)相同 例3、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（ ）OxyOxyOxyOxyABCD考點(diǎn)11、能分別判斷出在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的變化而變化情況拋物線當(dāng)開口向上時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大拋物線開口向下時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大，在對(duì)稱軸

15、的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小 例4、已知二次函數(shù)(a0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，2)，(1，0) . 下列結(jié)論正確的是( )A. 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大B. 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小C. 存在一個(gè)負(fù)數(shù)x0，使得當(dāng)x x0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大D. 存在一個(gè)正數(shù)x0，使得當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大考點(diǎn)12、二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1)一般式：yax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a0). (2)頂點(diǎn)式：ya(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a0). 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h0時(shí)，拋物線yax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k0時(shí)，拋物線ya(x-

16、h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h0且k0時(shí)，拋物線yax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn). (3)兩根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的兩個(gè)根. 求解析式時(shí)若已知拋物線過三點(diǎn)坐標(biāo)一般設(shè)成一般式，已知拋物線過的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)設(shè)成頂點(diǎn)式，已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)設(shè)成兩根式例5、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)求該二次函數(shù)的解析式為 考點(diǎn)13、x1、x2兩交點(diǎn)間的距離。若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 考點(diǎn)14、韋達(dá)定理和跟的判別式在二次函數(shù)中的應(yīng)用：一元二次方程是二次函數(shù)的函數(shù)值等于零時(shí)的特殊情況。有

17、些二次函數(shù)問題，可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）來解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函數(shù)圖象直觀判定；二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)、圖象的位置，也可以用判別式判斷。對(duì)于一元二次方程和二次函數(shù)，（1）當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不重合的交點(diǎn)（）、（），并且、具有如下關(guān)系：、.這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，簡稱韋達(dá)定理。（2）當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象與x軸有唯一交點(diǎn)，即圖象與x軸相切。（3）當(dāng)0，則圖象在x軸上方，若a0，則圖象在x軸下方。例1. 已知拋物線軸交于點(diǎn)A（，0）和B（，0），且，求k的值。例2. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交

18、點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）兩旁，試判斷關(guān)于x的方程的根的情況。例3. 設(shè)，求證：方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，并且有一根在a與b之間，另一根在b與c之間。例4：已知二次函數(shù)y=x2(2m+4)x+m24（x為自變量）的圖象與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO、OB滿足3（OBAO）=2AOOB,求m的值.例5：如圖，直線y =x1與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線在第一象限交于B(x1,y1)、C(x2,y2)兩點(diǎn)，則y1+y2=_.考點(diǎn)15、考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。例6：如圖甲，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，E（0，b）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線與拋物線交于點(diǎn)B、C.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2)當(dāng)b=0時(shí)，如圖乙，與的面積大小關(guān)系如何？當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3