2002 a題材車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)師參考答案

1、膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈裊莀薄蚄襖蒃莇羂袃

2、膂薃袈袃芅莆螄羂莇薁蝕羈肇莄薆羀腿蕿羅罿莁莂袁羈蒄蚈螇羇膃蒀蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袇肅肇蚄螃肄膀蕆蠆肅節(jié)螞薅肂蒄蒅羄肁膄莈袀肁芆薄螆肀荿莆螞聿肈薂薈膈膁蒞袇膇芃薀螃膆蒞莃蝿膅膅薈蚄膅芇蒁羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅膂膂蚅蟻衿芄蒈薇袈莆蚃袆袇肆蒆袂袆羋螂螈 螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)

3、薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁膆薈蠆肇膅蝕襖羃膄莀蚇衿芃蒂袃膈節(jié)薄蚅肄芁蚇袁肀芁蒆蚄羆芀蕿罿袂艿蟻螂膁羋莁羇肇芇蒃螀羃莆薅羆衿莆蚈蝿膇蒞莇薁膃莄薀螇聿莃螞蝕羅莂莂裊袁莁蒄蚈膀莀薆袃肆蒀蚈蚆羂葿莈袂袈蒈蒀蚄芆蕆蚃羀膂蒆螅螃肈蒅蒅羈羄肂薇螁袀肁蠆羇腿膀荿蝿肅腿蒁羅羈膈薄螈袇膇螆薀芅膇蒆袆膁 2002高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題 車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì) 參考答案注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評(píng)閱

4、組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。一. 假設(shè)和簡化 (略)二. 模型的建立 建立坐標(biāo)系如下圖，記線光源長度為l ，功率為W，B,C點(diǎn)的光強(qiáng)度分別為W和W，先求和的表達(dá)式，再建立整個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型.以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車燈反射面方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0,15）。1) 位于點(diǎn)P(0,w,15)的單位能量的點(diǎn)光源反射到點(diǎn)C(0, 2600, 25015)的能量PQbACB0cazyx設(shè)反射點(diǎn)的坐標(biāo)為Q.記入射向量為,該點(diǎn)反射面外法線方向?yàn)?不難得到反射向量滿足 記,由從而得的表達(dá)式 注意到反射光通過C點(diǎn),應(yīng)有 其中為常數(shù). 從上述第一式可解得或.由此得反射點(diǎn)坐標(biāo)滿

5、足以下兩組方程: 通過計(jì)算可知,存在,當(dāng)時(shí)第一組方程不存在滿足的實(shí)根,即無反射點(diǎn). 而當(dāng)時(shí),有兩個(gè)反射點(diǎn). 而第二組方程僅當(dāng)時(shí)存在滿足的一對(duì)實(shí)根,即有兩個(gè)反射點(diǎn)記為. 若反射點(diǎn)的坐標(biāo)為,則位于點(diǎn)的單位能量點(diǎn)光源經(jīng)點(diǎn)反射到C點(diǎn)的能量密度(單位面積的能量, 正比于光強(qiáng)度)為 其中而為反射向量與z軸的夾角, 2)的表達(dá)式 長的具有單位能量的線光源位于點(diǎn)的長的微小線光源段反射到C點(diǎn)的能量密度為 其中 長的具有單位能量的線光源反射到C點(diǎn)的能量密度為 類似可得的表達(dá)式.相應(yīng)的反射點(diǎn)方程為相應(yīng)的而第二組方程的有兩個(gè)反射點(diǎn)的范圍為3） 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)線光源的功率為W, 則它反射到B點(diǎn)和C點(diǎn)的能量密度分

6、別為和.問題的數(shù)學(xué)模型為: 三. 模型的求解可以用數(shù)值積分求得. 應(yīng)具備下列性質(zhì)：其中為起亮值，為最大值點(diǎn)，為考察的最大范圍，例如取為20mm。也有類似的性質(zhì)，且起亮值和最大值點(diǎn)均相應(yīng)地右移.數(shù)值求解,記其解為,再求出,不難看出且落在之中。 令現(xiàn)證為問題之最優(yōu)值。事實(shí)上，對(duì)可行域中任一，當(dāng)有（用到時(shí)）。當(dāng)，有，（用到時(shí)）。這就證明了的確是最小值。 事實(shí)上數(shù)值結(jié)果為. 四. 反射光亮區(qū)的計(jì)算 分別將線光源和車燈反射面離散化為點(diǎn)光源和面元的集合，計(jì)算每一點(diǎn)光源關(guān)于每一車燈反射面元的反射光線，判斷其是否與車燈反射面相交，若相交，一次反射光不能到達(dá)測試屏，否則求出該反射光線與反射屏平面的交點(diǎn)，即為反射

7、亮點(diǎn)。所有這些亮點(diǎn)的集合即為反射光亮區(qū)。亮區(qū)的上半部分由下圖所示(橫坐標(biāo)為x軸，縱坐標(biāo)為y軸，單位為mm),下半部分與上半部分是關(guān)于x軸對(duì)稱的. 五. 注記(1) 計(jì)算的另一方法是建立問題的數(shù)值模型用數(shù)值模擬的方法加以解決.具體的做法是: 在得到反射光線和反射到測試屏上能量的數(shù)學(xué)模型后, 分別將線光源和車燈反射面離散化為點(diǎn)光源和面元的集合，在測試屏B(或C)點(diǎn)附近取一微小面元.計(jì)算每一點(diǎn)光源關(guān)于每一車燈反射面元的反射光線，將所有能到達(dá)該面元的反射光線的反射能量迭加起來,除以面元的面積即為B(或C)點(diǎn)的反射能量密度.但用這樣的方法必須十分注意結(jié)果的檢驗(yàn),注意計(jì)算精度(必須考察線光源和反射面的剖分

8、密度和測試屏B(或C)點(diǎn)附近小面元的取法等).(2) 以上參考答案中沒有考慮線光源本身對(duì)反射光線的遮擋問題，即假設(shè)線光源是透明的。如果假設(shè)線光源是不透明的，似乎更符合現(xiàn)實(shí)。此時(shí)需要考慮線光源本身對(duì)反射光線的遮擋，計(jì)算會(huì)更復(fù)雜些，計(jì)算結(jié)果也會(huì)有所不同。 薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅薃蟻螃莀葿蝕袆膃蒞蝿羈莈芁螈肀膁薀螇螀羄薆螆羂艿蒂螆肅肂莈螅螄羋芄螄袇肁薂袃罿芆蒈袂肁聿莄袁螁芄芀袀羃肇蠆袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂荿薂薃螂膂蒈薂襖莇莄薁肆膀荿薀腿肅蚈蕿袈艿薄薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅薃蟻螃莀葿蝕袆膃蒞蝿羈

9、莈芁螈肀膁薀螇螀羄薆螆羂艿蒂螆肅肂莈螅螄羋芄螄袇肁薂袃罿芆蒈袂肁聿莄袁螁芄芀袀羃肇蠆袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂荿薂薃螂膂蒈薂襖莇莄薁肆膀荿薀腿肅蚈蕿袈艿薄薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅薃蟻螃莀葿蝕袆膃蒞蝿羈莈芁螈肀膁薀螇螀羄薆螆羂艿蒂螆肅肂莈螅螄羋芄螄袇肁薂袃罿芆蒈袂肁聿莄袁螁芄芀袀羃肇蠆袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇蒄羀膄芃蒄肂荿薂薃螂膂蒈薂襖莇莄薁肆膀荿薀腿肅蚈蕿袈艿薄薈羈肁蒀薈肅芇莆薇螂肀節(jié)蚆裊芅薁蚅羇肈蕆蚄腿芃蒃蚃衿膆荿螞羈莂芅螞肄膅 羋螃羇肆芇裊螀蒞芆薅羅芁芅蚇螈膇莄螀羄肅莄葿螇罿莃螞羂莇莂螄裊芃莁袆肀腿莀薆袃肅荿蚈聿羈莈螀袁芀蒈蒀肇膆蕆薂袀肂蒆螅肅肈蒅袇羈莇蒄薇螁芃蒃蠆羆腿蒂螁蝿肅蒂蒁羅羈薁薃螇艿薀蚆羃膅蕿袈螆膁薈薈肁肇薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆裊袂膈蚅薄肈肄芁蚆袁羀芀蝿肆羋艿蒈衿芄艿蟻膄膀羋螃羇肆芇裊螀蒞芆薅羅芁芅蚇螈膇莄螀羄肅莄葿螇罿莃螞羂莇莂螄裊芃莁袆肀腿莀薆袃肅荿蚈聿羈莈螀袁芀蒈蒀肇膆蕆薂袀肂蒆螅肅肈蒅袇羈莇蒄薇螁芃蒃蠆羆腿蒂螁蝿肅蒂蒁羅羈薁薃螇艿薀蚆羃膅蕿袈螆膁薈薈肁肇薇蝕襖莆薆螂聿節(jié)薆裊袂膈蚅薄肈肄芁蚆袁羀芀蝿肆羋艿蒈衿芄艿蟻膄膀羋螃羇肆芇裊螀蒞芆薅羅芁芅蚇螈膇莄