第三章力系的簡化

1、定義：定義： 設有一力設有一力F ，在力，在力F的作用線所在平面內任選一的作用線所在平面內任選一x軸，從力軸，從力F的始端和末端分別向的始端和末端分別向x軸的作垂線，可得垂軸的作垂線，可得垂足足a、b，將，將a、b間的直線段間的直線段ab冠以適當?shù)恼撎枺谝赃m當?shù)恼撎?，稱為力稱為力F在在x軸上的軸上的，用用Fx表示。表示。Bx baAxabAxxB(a)(b)FFFF(+)(-) 若力若力F 和和x和和Y軸正向之間的夾角分別為軸正向之間的夾角分別為和和，稱為力的稱為力的方向角方向角，則有，則有ycoscosxFFFF 即即力在坐標軸上的投影等于力在坐標軸上的投影等于力的大小乘以該力與坐標軸

2、正向力的大小乘以該力與坐標軸正向之間夾角的余弦。之間夾角的余弦。 力在軸上的投影是代數(shù)量。力在軸上的投影是代數(shù)量。 當由力當由力F F的始點垂足到終點垂足的指向與坐標軸的方的始點垂足到終點垂足的指向與坐標軸的方向一致時，投影取正號，反之取負號。向一致時，投影取正號，反之取負號。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y （3-1） 力力F F在直角坐標軸上投影的大小與其沿相應軸方在直角坐標軸上投影的大小與其沿相應軸方向分力的模相等，且投影的正負號與分力的指向對應向分力的模相等，且投影的正負號與分力的指向對應一致。一致。 力力F 可沿直角坐可沿直角坐標軸

3、分解為兩個正交標軸分解為兩個正交分力：分力：=+xyF FFF FF Fy yF Fx xx xy yj ji io o（3-2） 若以若以i，j分別表示沿分別表示沿 x，y軸方向的單位矢量，軸方向的單位矢量，則力則力 F 的兩個正交分力可用力在對應軸上投影與相的兩個正交分力可用力在對應軸上投影與相應的單位矢量的乘積表示為：應的單位矢量的乘積表示為：xxyyFFFiFj可得可得解析表達式解析表達式為：為：=+xyFFFij（3-4）（3-3）22cos(, )cos(, )xyxyFFFFFFFF iFj 若已知力若已知力F在兩個直角坐標軸上的投影在兩個直角坐標軸上的投影Fx、Fy，則，則力力

4、F的大小和方向余弦可用下列各式計算的大小和方向余弦可用下列各式計算： 力沿坐標軸的分力與力在對應軸上的投影是兩力沿坐標軸的分力與力在對應軸上的投影是兩個不同的概念。個不同的概念。（3-5） 力力F沿坐標軸沿坐標軸x、y、z的分力的分力Fx、Fy是是，它，它有大小、方向、作用線；而力在坐標軸上的投影有大小、方向、作用線；而力在坐標軸上的投影Fx、Fy是是，它無所謂方向和作用線。，它無所謂方向和作用線。 力沿力沿x、y軸方軸方向的分力大小與力向的分力大小與力在該坐標軸上投影在該坐標軸上投影的絕對值的大小不的絕對值的大小不相等。相等。yxo圖3-6ab,a,bABFyFxFyxFFR12niFF +

5、 F + FF=LyF2oFnFxio,jF1i圖3-7 設有一匯交于設有一匯交于O點的平面匯交力系，點的平面匯交力系，F(xiàn)1、F2、Fn，由力的平行四邊形法則可知，該匯交力系可以合，由力的平行四邊形法則可知，該匯交力系可以合成為一個合力，合力等于各個成為一個合力，合力等于各個分力的矢量和，即：分力的矢量和，即： （3-6）=( =1,2, )LFijiixiyF +Fin=RRxRyF+ FFij 建立直角坐標系并取單位矢量，則（建立直角坐標系并取單位矢量，則（3-6）式）式右右端端分力的解析表達式為：分力的解析表達式為： （3-9）（3-7）（3-8）將（將（3-7）和（）和（3-8）代入（

6、）代入（3-6）中得）中得RxRyixiyixiyF+FF+FF+Fij =ijij而（而（3-6）式）式左端合左端合力的解析表達式為：力的解析表達式為： RxixRyiyFFFF= 比較（比較（3-9）式等式兩端單位矢量）式等式兩端單位矢量i、j前面的系數(shù)，前面的系數(shù)，可得可得（3-10）上式表明：上式表明： RxRyixiyixiyF+FF+FF+Fij =ijijA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)證明：證明： 以三個力組成的共點力系為例。設有三個共點力以三個力組成的共點力系為例。設有三

7、個共點力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如圖。如圖。合力合力 R 在在x 軸上投影：軸上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推廣到任意多個力推廣到任意多個力F1、F2、 Fn 組成的平面組成的平面共共點力系，可得：點力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 軸上投影：軸上投影：abFx1bcFx2dcFx3RFxadabbcdcR123FxxxxFFFR123FxxxxnxxFFFFF 匯交力系的合成可以采用匯交力系的合成可以采用幾何法幾何法和和解析法解析法，本書，本書主要介紹使用較多的解析法。主要介紹使用較多的解析法

8、。12LxxnxF ,F ,F12LyynyF ,F ,FRxixRyiyFFFF如圖所示的平面匯交力系如圖所示的平面匯交力系F1、F2、Fn，各力在直角坐標系的各力在直角坐標系的x、y軸上投影是：軸上投影是：和和利用合力投影定理，可得合力利用合力投影定理，可得合力在在x、y軸的投影為軸的投影為yF2oFnFxio,jF1i圖3-7 2222cos(, )cos(, )RRxRyRxRRRyRRFFFFFxyFFFFiFjF合力合力FR的大小和方向余弦分別為的大小和方向余弦分別為確定。確定。通常合力通常合力FR的方向也可由合力的方向也可由合力FR與與x軸所夾銳角軸所夾銳角tanRyRxFF再由

9、再由FRx和和FRy的正負號來判定的正負號來判定FR的指向的指向。的值由下式確定：的值由下式確定： 用力多邊形求匯交力系合力的方法稱為幾何法用力多邊形求匯交力系合力的方法稱為幾何法 力的平行四邊形法則；力的平行四邊形法則； 力多邊形法則：力多邊形法則： A443A2AO3211A4321O(a)(b)FFFFFFFFF4F3F1FRFa1bFRFe24Fd3cFcFdb1F(c)RFaR2FFFe4R12F3F2(d)(e)力的平行力的平行四邊形法則四邊形法則中間過程可以省掉中間過程可以省掉力多邊形法則力多邊形法則作力多邊形與力作力多邊形與力的次序無關的次序無關 從任一點出發(fā)，依次從任一點出發(fā)

10、，依次將力系中各分力首尾相連將力系中各分力首尾相連（次序可變），再連接第（次序可變），再連接第一力矢的始點和最后一力一力矢的始點和最后一力矢的終點所得力多邊形的矢的終點所得力多邊形的封閉邊，即為原力系的合封閉邊，即為原力系的合力矢。力矢。121.nRniiFFFFF4aR132dcbeFFFFF力多邊形的封閉邊的長度；力多邊形的封閉邊的長度；力多邊形的封閉邊起點到終點的指向；力多邊形的封閉邊起點到終點的指向；通過原力系的匯交點。通過原力系的匯交點。FFac1bF2F3ReF4dOA4F42AA1F2F1F3RFA3 若匯交力系由若匯交力系由 n n個力組成的，匯交力系可以個力組成的，匯交力系可

11、以合成為一個作用線通過匯交點的合力，合力的大合成為一個作用線通過匯交點的合力，合力的大小和方向由力多邊形的封閉邊確定。小和方向由力多邊形的封閉邊確定。 即：即：。簡寫為：簡寫為： 121.nRniiFFFFF1nRiiFF452ooo6069.5oxy1kN圖3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F4FRFFR1FF4F3F2如圖所示一平面匯交力系，已知如圖所示一平面匯交力系，已知:F13kN，F(xiàn)21kN，F(xiàn)31.5kN，F(xiàn)42kN。各力方向如圖。各力方向如圖所示。求此力系的合力所示。求此力系的合力FR。452ooo6069.5oxy1kN圖3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F

12、4FRFFR1FF4F3F200R23400cos60cos451kN1.5kN cos602kN cos451.164kN= -+= -+=xxiFFFFF00R13400sin60sin453kN1.5kN sin602kN sin453.115kN= -+-= -+-= -yyiFFFFF22221.164kN3.115kN3.325kNRRxRyFFF合力合力FR的大小的大小合力合力FR的與的與x軸所夾銳角軸所夾銳角RR3.115tan2.6761.164q=yxFF=69.5o452ooo6069.5oxy1kN圖3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F4FRFFR1FF4F3

13、F2OAhB 在力的作用下，物體將可能發(fā)生移動和轉動，在力的作用下，物體將可能發(fā)生移動和轉動，力的轉動效應用力對點之矩來衡量。力的轉動效應用力對點之矩來衡量。：力力F F 的小大與的小大與O O點到力點到力 F F 作用線的垂直距離作用線的垂直距離h h 的乘積，的乘積， 再再冠以適當?shù)恼撎?，表冠以適當?shù)恼撎?，表示力示力F F對對O O 點的矩，用點的矩，用符號符號M MO O( (F F) )表示。表示。 MO(F)Fh 其其中中O點稱為點稱為，簡稱簡稱；h 稱為稱為； 力力F 與矩心所決定的平面稱為與矩心所決定的平面稱為； 正負號表示在力矩平面內力使物體繞矩心的轉向，正負號表示在力矩平

14、面內力使物體繞矩心的轉向，即：繞過矩心且垂直于力矩平面的軸的轉向。即：繞過矩心且垂直于力矩平面的軸的轉向。OAhB：度量力：度量力F 使物體繞使物體繞 O 點的轉動效應。點的轉動效應。(-)(+)OAOAFF 平面力系中的力對點之矩僅僅取決于力矩的平面力系中的力對點之矩僅僅取決于力矩的大小和轉向，因而力對點之矩是代數(shù)量；大小和轉向，因而力對點之矩是代數(shù)量； 約定：約定：；：MO(F)Fh2OAB的面積的面積：Nm，kNm（a）當力）當力F 的大小等于零，或者力的作用線通過矩的大小等于零，或者力的作用線通過矩 心，即力臂心，即力臂h0 時，對矩心的力矩等于零。時，對矩心的力矩等于零。（b b）力

15、）力F 沿其作用線移動時，并不改變力對指定點沿其作用線移動時，并不改變力對指定點 之矩。之矩。（c c）一個力對不同點的矩一般不同，因此必須指明）一個力對不同點的矩一般不同，因此必須指明 矩心，力對點之矩才有意義。矩心，力對點之矩才有意義。BA,d 大小相等，方向相反，作大小相等，方向相反，作用線不共線但相互平行的一對用線不共線但相互平行的一對力所構成的力系稱為力偶。力所構成的力系稱為力偶。 記作（記作（F,F） 力偶中兩力作用線所決定的平面稱為力偶作用力偶中兩力作用線所決定的平面稱為力偶作用平面；平面； 兩力作用線間的垂直距離兩力作用線間的垂直距離d稱為力偶臂。稱為力偶臂。 力偶的大??；力偶

16、的大?。?在力偶作用面內力偶的轉向。在力偶作用面內力偶的轉向。 因此，平面力系中可用一個代數(shù)量表示力偶的因此，平面力系中可用一個代數(shù)量表示力偶的轉動效應。轉動效應。后所得后所得的的，來表示力偶的轉動效應，稱為，來表示力偶的轉動效應，稱為。用符號用符號 表示。表示。 ()mFd F,F(,)mF F為當力偶使得物體逆時為當力偶使得物體逆時針轉動時取針轉動時取，逆時針轉，逆時針轉動時取動時取。N.mN.m或或kN.mkN.m(+)(-) 組成組成的兩個平行力滿足等值、反向、不共的兩個平行力滿足等值、反向、不共線的條件，與單獨一個力一樣，都線的條件，與單獨一個力一樣，都。 力偶不能與一個力等效，即力

17、偶不能合成力偶不能與一個力等效，即力偶不能合成為一為一個合力，因此力偶也就不能與一個力相平衡個合力，因此力偶也就不能與一個力相平衡，力，力偶偶只能與力偶平衡；只能與力偶平衡； 力偶中的兩力在任一軸上投影的代數(shù)和都力偶中的兩力在任一軸上投影的代數(shù)和都等于等于零零，但力偶不是平衡力系。，但力偶不是平衡力系。 力偶是最簡單的力系。力偶是最簡單的力系。力和力偶是兩個獨立的力學元素力和力偶是兩個獨立的力學元素 這一性質是這一性質是力偶力偶與與力對點之矩力對點之矩的主要區(qū)別。的主要區(qū)別。 稱為稱為性質。性質。F1F2F2F1F1F1F2F2由力偶的這一性質，可得出如下由力偶的這一性質，可得出如下： 常用一

18、段帶箭頭的弧線表示力偶，其中弧線所在常用一段帶箭頭的弧線表示力偶，其中弧線所在平面代表力偶作用面，平面代表力偶作用面，箭頭表示力偶在其作箭頭表示力偶在其作用面內的轉向，用面內的轉向，M M表表示力偶矩大小。示力偶矩大小。dm=Fd圖3-13m=Fd 同時作用在剛體上的一群力偶稱為力偶系。同時作用在剛體上的一群力偶稱為力偶系。力偶系力偶系空間力偶系空間力偶系平面力偶系平面力偶系 力偶不能與一個力等效，因此力偶系合成的結力偶不能與一個力等效，因此力偶系合成的結果不可能是一個力，而只能是一個力偶，此力偶果不可能是一個力，而只能是一個力偶，此力偶稱為力偶系的稱為力偶系的合力偶合力偶。（3 3）平面力偶

19、系的合成）平面力偶系的合成 M=m1+ m2mnmi(a)(b)(c)FFFFFAAABdBdMB 作用于剛體上某點的力可以平行移動到該剛體作用于剛體上某點的力可以平行移動到該剛體上的任一點去，但須附加一力偶且此附加力偶的矩上的任一點去，但須附加一力偶且此附加力偶的矩等于原力對平移點的力矩。等于原力對平移點的力矩。 這稱為這稱為。( )B=m MFdF 一個力可與同一個平面內的一個力和一個一個力可與同一個平面內的一個力和一個力偶等效，亦即可以把一個力分解為作用在同力偶等效，亦即可以把一個力分解為作用在同一平面內的一個力和一個力偶。反之，作用在一平面內的一個力和一個力偶。反之，作用在同一平面內的

20、一個力和一個力偶必定可以合成同一平面內的一個力和一個力偶必定可以合成為一個合力。為一個合力。注注：（：（1 1）力的平移定理只適用于剛體；力的平移定理只適用于剛體； （2 2）力只能在同一剛體上進行平移。）力只能在同一剛體上進行平移。AOOAFFM=Fe 偏心受壓柱比中心受壓柱相當于多受到一個力偶偏心受壓柱比中心受壓柱相當于多受到一個力偶的作用，此力偶之矩為的作用，此力偶之矩為M=Fe （e 為為偏心距偏心距）。）。 用絲錐攻絲時，用絲錐攻絲時，為什么單手操作比雙為什么單手操作比雙手操作容易使絲錐折手操作容易使絲錐折斷？請思考。斷？請思考。ABLFPFPM 力的平移定理不適用于變形體，例如圖示

21、力的平移定理不適用于變形體，例如圖示的懸臂梁的懸臂梁AB，若將作用于粱端，若將作用于粱端B的力平移至固的力平移至固定端定端A，兩者的變形效應顯然不同。，兩者的變形效應顯然不同。 平面一般力系是作用線位于同一平面的力系，平面一般力系是作用線位于同一平面的力系，利用力的利用力的平移定理平移定理、平面匯交力系的合成平面匯交力系的合成以及以及平面平面力偶系的合力偶矩的合成方法力偶系的合力偶矩的合成方法，可對平面一般力系，可對平面一般力系進行簡化。進行簡化。(a)(b)(c)nAAA12OOOxyyxyx圖3-16n12FFFn21FFF12MMMnOMRF 設一平面一般力系由分別作用于同一平面內設一平

22、面一般力系由分別作用于同一平面內A1、A2、An的力的力F1、F2、Fn組成，如組成，如圖圖3-16（a）所示。）所示。1122nn， ，F(xiàn)FFFFF1O12O2nOn,mMmMmM，F(xiàn)FF(a)(b)(c)nAAA12OOOxyyxyx圖3-16n12FFFn21FFF12MMMnOMRFRiiF =FFOiMmyyxxFFFFRR22RRRRRcos(, )/cos(, )/xyxyFFFFFFFRRFiFjOiOiMMMF 原力系向簡化中心簡化所得匯交力系原力系向簡化中心簡化所得匯交力系的合力，等于力系中各力的矢量和，作用線通過簡的合力，等于力系中各力的矢量和，作用線通過簡化中心；化中心

23、； 原力系向簡化中心簡化所得的附加力偶原力系向簡化中心簡化所得的附加力偶系的合力偶矩，等于力系中各力對簡化中心之矩的系的合力偶矩，等于力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和，作用面即力系所在的平面。代數(shù)和，作用面即力系所在的平面。1).1). 若若 則力系可簡化為一作用在力系平面內的力偶，則力系可簡化為一作用在力系平面內的力偶，其力偶矩等于主矩：其力偶矩等于主矩： FMMMOOR0,0O FM此時主矩與簡化中心位置無關。此時主矩與簡化中心位置無關。FFFRR2).2).若若 則力系可簡化為一作用線過簡化中心的合力則力系可簡化為一作用線過簡化中心的合力FR。R0,0O FM0,0ROMFRRFFF3)

24、. 3). 若若則力系可進一步簡化為一合力則力系可進一步簡化為一合力FR，且，且 合力合力FR的作用線位置可由簡化中心的作用線位置可由簡化中心O 到合力到合力作用線的垂直距離作用線的垂直距離d 表示；亦可由合力作用線與表示；亦可由合力作用線與x 軸的交點坐標軸的交點坐標x表示。表示。其中其中d 為：為：RO/ FdM(x,0)OyOx(c)FFF(a)OFM(b)OFOx由下式計算：由下式計算：yFMxRO/0, 0RoMF4).4).若若 ，則，則。最后簡化結果：最后簡化結果： 1）若）若FR=0，MO0，則簡化為，則簡化為； 2）若）若FR0， MO=0，或者，或者FR0，MO0，則可簡化

25、為則可簡化為； 3）若）若FR=0，MO=0，則，則。 FMFMFMMFFMOROOORROd 即即 平面一般力系的合力對力系所在平平面一般力系的合力對力系所在平面內任意點之矩面內任意點之矩等于力系中所有等于力系中所有的各力對同一點的各力對同一點之矩的代數(shù)和。之矩的代數(shù)和。(a)(b)(c)OyxxyOFMROxyOFRRFRFOddOFR(x,0)圖3-18abABC圖3-19yxFFF 當求力對某點之矩時，可以利用合力之矩定理當求力對某點之矩時，可以利用合力之矩定理簡化計算簡化計算。例：例： 如當如當a、b、F、均為已知，力均為已知，力F對對A點之矩。點之矩。2222( )( )( )0s

26、insinAAxAyMMMFabF ab FFF 圖示為平面一般力系各力作用線位置，且圖示為平面一般力系各力作用線位置，且F1=130N，F(xiàn)2=100N，F(xiàn)3=50N，M=500Nm圖中尺寸單位為圖中尺寸單位為m，試求，試求該力系合成的結果。該力系合成的結果。(3.87,0)O45(-3,2)20(0,-4)(2,1)yx125FF3F1012301212/13cos4570N5/13sin45150NRxxRyyFFFFFFFFF ：(1)(1)以以O點為簡化點為簡化中心，建立圖示直角中心，建立圖示直角坐標系坐標系Oxy。(2) (2) 計算主矢量計算主矢量FRF(3.87,0)O45(-3

27、,2)20(0,-4)F3(2,1)yx12F51FRO220165.3Ncos( , ) /0.423( , )65RRxRyRRxRRFFFFiFFFi70N150NRxRyFF 000011223( )12512cos45 2sin45 341313580NmMMFFFFFM F(3) (3) 計算主矩計算主矩MOF(3.87,0)O45(-3,2)20(0,-4)F3(2,1)yx12F51FRO(3.87,0)O45(-3,2)0(0,-4)x125(2,1)yFROFRF2F3F1 由于主矢量、主矩都不為零，所由于主矢量、主矩都不為零，所以這個力系簡化的最后結果為一合力以這個力系簡

28、化的最后結果為一合力FR。FR的大小和方向與主矢量的大小和方向與主矢量FR相相同，而合力同，而合力FR 與與x軸的軸的交點坐標為：交點坐標為： x=MO/F Ry =3.87m 合力合力FR的作用線如的作用線如圖所示。圖所示。oM580N.m150NRyF ( ) xxxAyqcxdBxFdF 在狹長面積或體積上平行分布的荷載，都可在狹長面積或體積上平行分布的荷載，都可抽象簡化為線荷載。抽象簡化為線荷載。 平面結構所受的平面結構所受的線荷載，常見的是沿線荷載，常見的是沿某一直線連續(xù)分布的某一直線連續(xù)分布的同向平行力系。同向平行力系。 選取圖示選取圖示Axy坐標系，沿橫坐標為坐標系，沿橫坐標為x處的處的線荷載線荷載集集度為度為 q(x)，在微段，在微段dx 上的線荷載集度上的線荷載集度可視可視為常量，為常量，則：作用在微段則：作用在微段dx 上分布力系上分布力系合力的合力的大小為：大小為： ( )dFq xdxd