2012年遼寧高考試題（理數(shù)word解析版）

1、2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）數(shù)學(xué)（理科）【整理】佛山市三水區(qū)華僑中學(xué) 駱?lè)较椋╨bylfx）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知全集，集合，集合，則A B C D【命題意圖】本題主要考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是容易題.【解析】,故選B.2.復(fù)數(shù)A B C D【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，是容易題. 【解析】，故選A.3. 已知兩個(gè)非零向量滿足，則下面結(jié)論正確A B C D【命題意圖】本題主要考查平面向量運(yùn)算，是簡(jiǎn)單題.【解析1】，可以從幾何角度理解，以非零向量為鄰邊做平行四邊形，對(duì)角線長(zhǎng)分別為，若，

2、則說(shuō)明四邊形為矩形，所以，故選B.【解析2】已知得，即，故選B.4. 已知命題，則是A B C D【命題意圖】本題主要考查全稱命題的否定，是容易題.【解析】全稱命題的否定形式為將“”改為“”，后面的加以否定，即將“”改為“”，故選C.5. 一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為A B C D【命題意圖】本題主要考查相鄰的排列問(wèn)題，是簡(jiǎn)單題.【命題意圖】每家3口人坐在一起，捆綁在一起，共3個(gè)，又3家3個(gè)整體繼續(xù)排列有種方法，總共有，故選C.6. 在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和A58 B88 C143 D176【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式

3、，是簡(jiǎn)單題.【解析】，而，故選B.7. 已知，則A B C D【命題意圖】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、特殊角的的三角函數(shù)，是中檔題.【解析1】，兩邊平方得，故選A.【解析2】由于形勢(shì)比較特殊，可以兩邊取導(dǎo)數(shù)得8. 設(shè)變量滿足，則的最大值為A20 B35 C45 D55【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，是中檔題. 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，的最大值為55，故選D.9. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是A B C D4【命題意圖】本題主要考查程序框圖知識(shí)，是中檔題.【解析】當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算得；當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算得；當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算得；當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算得；當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算

4、得；故選D.從此開(kāi)始重復(fù)，每隔4一循環(huán)，所以當(dāng)時(shí)，經(jīng)運(yùn)算得；接著滿足輸出條件，輸出10. 在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32的概率為A B C D【命題意圖】本題主要考查幾何概型及應(yīng)用意識(shí).是中檔題.【解析】如圖所示，令，則，矩形面積設(shè)為，則，解得，該矩形面積小于32的概率為，故選C.11. 設(shè)函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.又函數(shù)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A5 B6 C7 D8【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性、函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，是難題.【解析】由知,所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，且

5、，而為偶函數(shù)，且，在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像，發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有6個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故選B.12. 若，則下列不等式恒成立的是A B CD【命題意圖】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，是難題.【解析】驗(yàn)證A，當(dāng)，故排除A；驗(yàn)證B，當(dāng)， ，而，故排除B；驗(yàn)證C，令，顯然恒成立所以當(dāng)，所以，為增函數(shù)，所以，恒成立，故選C；驗(yàn)證D，令，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，顯然不恒成立，故選C.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖及其體積計(jì)算，是簡(jiǎn)單題.【命題意圖】由三視圖知，此幾何體為一個(gè)長(zhǎng)為4

6、，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體中心，去除一個(gè)半徑為1的圓柱，所以表面積為14.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及方程思想，是簡(jiǎn)單題.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由得，解得，又由知，所以，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，15. 已知為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，過(guò)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 【命題意圖】本題主要考查拋物線的切線與兩直線的交點(diǎn)，是中檔題.【解析】，所以以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立兩方程的16. 已知正三棱錐，點(diǎn)都在半徑為的球面上，若兩兩相互垂直，則球心到截面的距離為 【命題意圖】本題主要考

7、查球與正三棱錐的切接問(wèn)題，是難題.【解析】如圖所示，為球心，為截面所在圓的圓心，設(shè)，兩兩相互垂直，所以，解得，所以，三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）在中，角的對(duì)邊分別為，角成等差數(shù)列。（1）求的值；（2）邊成等比數(shù)列，求的值（l bylfx）【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、正余弦定理應(yīng)用，是容易題.【解析】（1）由已知 6分（2）解法一：，由正弦定理得解法二：，由此得得所以， 12分18. （本小題滿分12分）如圖，直三棱柱，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若二面角為直二面角，求的值【命題意圖】本題主要考查線面平行的判定、二面角的計(jì)算

8、，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，是容易題.【解析】（1）連結(jié)，由已知三棱柱為直三棱柱，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以，又平面 平面，因此 6分（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)則，于是，所以，設(shè)是平面的法向量，由得，可取設(shè)是平面的法向量，由得，可取因?yàn)闉橹倍娼?，所以，解?2分19. （本小題滿分12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此

9、資料你是否認(rèn)為“體育迷“與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷“人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列，期望和方差附：，0.050.013.8416.635【命題意圖】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)、隨機(jī)變量的分布列、期望、方差計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力，是中檔題.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計(jì)男301545 女451055合計(jì)752

10、5100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得 3分因?yàn)?，所以沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān). 6分 （2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意，從而的分布列為0123 10分，. 12分20. （本小題滿分12分）如圖，橢圓，動(dòng)圓.點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn)，與相交于四點(diǎn)（1）求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn)，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值【命題意圖】本題主要考查圓的方程、橢圓方程、軌跡求法、解析幾何中的定值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力，是難題.【解析】設(shè)，又知，則直線的方程為 直線的

11、方程為 由得 由點(diǎn)在橢圓上，故可得，從而有，代入得 6分（2）證明：設(shè)，由矩形與矩形的面積相等，得，因?yàn)辄c(diǎn)均在橢圓上，所以由，知，所以。從而，因而為定值12分21. （本小題滿分12分）設(shè)，曲線與直線在點(diǎn)相切.（1）求的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，是難題.【解析】（1）由的圖像過(guò)點(diǎn)，代入得由在處的切線斜率為，又，得3分（2）（證法一）由均值不等式，當(dāng)時(shí)，故記，則，令，則當(dāng)時(shí)，（lby lfx）因此在內(nèi)是減函數(shù)，又由，得，所以因此在內(nèi)是減函數(shù)，又由，得，于是當(dāng)時(shí)， 12分（證法二）由（1）知，由均值不等式，當(dāng)時(shí)，故令，則，故，即，由此得

12、，當(dāng)時(shí)，記，則當(dāng)時(shí)，因此在內(nèi)是減函數(shù)，又由，得，即22. （本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，和相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于兩點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn).證明：（I）；（II）【命題意圖】本題主要考查幾何選講的基礎(chǔ)知識(shí)，是簡(jiǎn)單題.證明：（1）由與相切于，得，同理，所以。從而，即 4分（2）由與相切于，得，又，得從而，即，綜合（1）的結(jié)論， 10分23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓，圓（1）在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）（2）求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程【命題意圖】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程，是簡(jiǎn)單題.【解析】圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為，解得，故圓與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一（2）（解法一）由，得圓與圓交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為故