第2章點、直線、平面投影

1、第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.1 投影的基本知識投影的基本知識 2.2 點的投影點的投影 2.3 直線的投影直線的投影 2.4 平面的投影平面的投影第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 一、投影的概念 投影空間物體在光線的照射下，在地上或墻上產(chǎn)生的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。 投影法在投影面上作出物投影面上作出物體投影體投影的方法稱為投影法。2-1 2-1 投影的基本知識投影的基本知識第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H1.中心投影法：全部投影線都 從一點投射出。S特性：投影大小與物體和投影面之間距離有關(guān)。二、投影法的種類第第2章章

2、點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.平行投影法平行投影法:所有投影線都相互平行。特性：投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 P2 2.平行投影法1）正投影法：（主要學(xué)習(xí)此種投影方法）投射線互相平行且垂直于投影面特性：投影大小與物體和投 影面之間距離無關(guān)。所有投影線都相互平行。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H2）斜投影法：投影線傾斜于投影面。三、正投影法的主要特性 1.點的投影：Aa 點的投影 仍是一點。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H2.直線的投影 直線的投影一般情況下仍為直線，在特殊

3、情況下積聚為一點。 1）直線平行于投影面abAB 在該面上的投影ab反映空間直線AB的真實長度。即：ab=AB第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H2）直線垂直于投影面CDc（d）在該面上的投影有積聚性，其投影為一點。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H 3）直線傾斜于投影面EFef在該面上的投影長度變短，即：ef=Efcos。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H3.平面的投影 平面的投影一般仍是相類似的平面圖形，在特殊情況下積聚為直線。 1）平面平行于投影面ABCabc投影abc反映空間平面ABC的真實形狀。第第2章章 點、直線、平面

4、的投影點、直線、平面的投影 H2）平面垂直于投影面DEFdef在投影面上的投影積聚為直線。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 H3）平面傾斜于投影面KLMKlm投影klm面積變小。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 四、物體的三面投影圖1.三面投影圖的形成 三投影面體系由三個相互垂直的投影面所組成。正立投影面簡稱正面。水平投影面 簡稱水平面。側(cè)立投影面簡稱側(cè)面。兩投影面的交線稱為投影軸。VHXYZWO第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.物體在三投影面體系中的投影 正面投影由前向后投影； 水平面投影由上向下投影； 側(cè)面投影由左向右投影。3

5、.三投影面的展開VHWOXYHZYW側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90。水平面H繞OX軸向下旋90。規(guī)定：正面V保持不動。VHXYZWO第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2-2 點的投影一、點在兩投影面體系中的投影 過A作垂直于V、H面的投射線Aa、Aa，分別與H面交于a，與V面交于a，a、a即為點A的兩面投影。HOXAaaV第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 VHOXAaa實際作圖時不畫投影面邊框。VHOXaaaxaaOX第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 （1）點的兩投影連線垂直于投影軸，即 aaox；（2）點的投影到投影軸的距離，等于該 點

6、到相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即： aax=Aa aax=Aa第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 二、點在三投影面體系中的投影XYHYWZOaaa規(guī)定：空間點A用大寫字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。aVHWXYHYW ZaaO第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 （1）點的投影連線垂直于投影軸。 即：aaox，aaoz （2）點的投影到投影軸的距離，等于該點的坐標(biāo)，也就 是該點到相應(yīng)投影面的距離。 三、點的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系： 將投影面體系當(dāng)作空間直角坐標(biāo)系，把V、H、W當(dāng)作坐標(biāo)面，投影軸ox、oy、oz當(dāng)作坐標(biāo)軸，o作為原點。

7、點A的空間位置可以用直角坐標(biāo)（x，y，z）來表示。 點的三面投影規(guī)律：第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 點A的x坐標(biāo)值=oax =aay=aaz=Aa 反映點A到W面的距離。點A的Y坐標(biāo)值=oay=aax=aaz=Aa 反映點A 到V面的距離。點A的Z坐標(biāo)值=oaz=aax=aay=Aa 反映點A到H面的距離。OaaywXYHYWZaaaxazayhxyz a由點A的x、y值確定，a由點A 的x、z確定，a由點A的y、z值確定。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 例1：已知點的坐標(biāo)值為：A（20，10，15）和 B（0，15，20）求它們的三面投影圖。解

8、（1）量取坐標(biāo)值；XOYHYWZaaabbb（2）作點的投影。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 bbc cxyHywoaaz例2：已知各點的兩面投影，求作其第三投影，并判斷點 對投影面的相對位置。點A的三個坐標(biāo)值均不為0，A為一般位置。點B的Z坐標(biāo)為0，故點B為H面上的點。點C的x、y坐標(biāo)為0，故點C為z軸上的點。abc第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 四、兩點的相對位置和重影點： 1.兩點的相對位置 要在投影圖上判斷空間兩點的相對位置，應(yīng)根據(jù)兩點的各個同面投影關(guān)系和坐標(biāo)差來確定。例：由投影圖判斷A、B兩點的空間位置。aabbXOYHYWZab（1）由A

9、、B兩點V、H面投影可確定點A在點B左方。（2）由A、B的H、W面投影可確定點A在點B前方。（3）由A、B的V、W面投影可確定點A在點B下方。因此點A位于點B左、前、下方。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.重影點重影點空間兩點的同面投影重合于一點叫做重影點。 如圖：C、D兩點的水平投影重影為一點。OXc（d）cd又因點C在點D的正方，C點可見，D點被遮蓋。作圖時不可見點加括號。結(jié)論：如果兩個點的某面投影重合時，則對該投影面的投影坐標(biāo)值大者為可見，小者為不可見。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 例：已知點D 的三面投影，點C在點D的正前方15mm， 求

10、作點C的三面投影，并判別其投影的可見性。解：由已知條件知：XC=XDZC=ZD YC-YD=15mm因為點C、D在V面上的投影重影。c cc又因為YC YD所以C的V面投影為可見點，則D的V面投影為不可見點。 dYWYHOXZdd( )第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 一、直線的投影： 直線的投影一般為直線，可由直線上兩點的同面投影連線確定。2-3 2-3 直線的投影直線的投影例：已知直線AB端點坐標(biāo)為A（20，15，5）, B（5，5，15）作AB的三面投影。OXYHYWZaaabbb第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 二、各種位置直線的投影特性1.一般

11、位置直線YWOXYHZaaabbb如圖示：直線的三面投影長度均小于實長，三面投影均傾斜于投影軸，但不反映空間直線對投影面傾角的大小。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.投影面平行線投影圖OXYHYWZaaabbb1）水平線：平行于H面，對V、W面傾斜。水平投影ab=AB正面投影abOX，側(cè)面投影abOYwab與OX、OYH的夾角、等于AB對V、W面的傾角。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 cdcdcd2）正平線：平行于V，對H、W傾斜O(jiān)XYHYWZ正面投影cd=CD水平投影cdOX側(cè)面投影cdOZcd與OX、OZ的夾角、等于CD對H、W面的傾角。第第2

12、章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 3）側(cè)平線：平行于W面，對V、H面傾斜。側(cè)面投影ef=EF水平投影efOYH，正面投影efOZ。ef與OYW、OZ的夾角、等于EF對V、H面的傾角。OXYHYWZefef ef第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 3.投影面垂直線1）鉛垂線：直線垂直H面，平行V、W面。OXYHYWZa（b）abab水平投影積聚為一點。ab=ab=ABab OX，ab OYW第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2）正垂線：直線垂直V面，平行H、W面。OXYHYWZcdc (d)cd正面投影積聚為一點。cd=cd=CD cdOX，

13、cdOZ第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 3）側(cè)垂線：直線垂直W面，平行H、V面。OXYHYWZefef e （f ）側(cè)面投影積聚為一點。ef=ef =EFefOYH，ef OZ。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 三、直線上的點三、直線上的點 1.直線上的點： 點在直線上，點的各面投影必定在該直線的同面投影上；反之，點的各面投影均在直線的同面投影上，則該 點必在此直線上。OXYHYWZaaabbbkkk第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.點分割線段成定比直線上的點分割直線之比，在投影后保持不變。YHaOXYWZaabbbkkk即：A

14、K: KB=ak: kb=ak: kb=ak: kb第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 例1：試在直線AB上取一點C，使AC:CB=1:2，求作C點。解：分點C的投影必在AB 的同面投影上。且 ac:cb=ac: cb =1:2OXabab123cc第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 例2：已知直線CD及點M的兩面投影，判斷M是否在CD上。OXcdcdmm解1:作側(cè)平線CD和點M的側(cè)面投影。 由作圖知點M的側(cè)面投影不在cd上，所以M不在CD上。cdmzYHYW第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 解2: 在H面作任一直線cE， 使cE=cd。

15、 并截取cM1=cmEM1連dE，過M1作dE的平行線與cd交于m1mOXcdcdmm1因為m1與m不重合，所以M不在CD上。例2：已知直線CD及點M的兩面投影，判斷M是否在CD上。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 ABCD四、兩直線相對位置 空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉 1.平行兩直線：投影特性：空間兩直線相互平行，它們的各組同面投影必定相互平行。abcd 反之，若兩直線的各同面投影相互平行，則兩直線在空間一定平行。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 ABCDK2.相交兩直線ab cdkK是兩直線的共有點，K在平面上的投影k必在

16、ab上，又必在cd上。交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 OXZYHYWabcdkabcdkabcdk交點K的三面投影符合點的投影規(guī)律。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 3.交叉兩直線 在空間即不平行也不相交的兩直線為交叉兩直線。 交叉兩直線的同面投影可能相交，但不符合空間點的投影規(guī)律。aabbccdd 直線AB和直線CD兩面投影的交點連線不OX軸，為交叉兩直線。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 aabbccdd 交叉兩直線投影的交點并不是空間兩直線真正的交點，而是兩直線上相應(yīng)點投影的重影點。 對重影點

17、應(yīng)區(qū)分其可見性，即根據(jù)重影點對同一投影面的坐標(biāo)值大小來判斷。坐標(biāo)值大者為可見點，小者為不可見點。11223344( )( )第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 例1：判斷兩直線的相對位置。交點的連線垂直于OX，且兩直線為一般位置直線，由兩面投影可判斷為相交兩線。ab與cd在一直線上，而abcd ，兩直線平行。CD為側(cè)平線，利用點分割線段成比例進(jìn)行判斷。為交叉兩直線。OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccddEmk第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 ddkkaabbcc例2：過C點作水平線CD與AB相交。先作CD的正面投影第第2章章 點、直線

18、、平面的投影點、直線、平面的投影 例3：已知：兩直線AB、CD的投影及點M的水平投影m，試作一直線MNCD并與直線AB相交于N點。nnm作圖：過m作mncd，并與ab交于n；由n求出n；過n作作nmcd，求得m。aabbccddmOX第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 掌握點與直線的投影特性，尤其是特尤其是特殊位置直線的投影特性。殊位置直線的投影特性。 點與直線及兩直線相對位置的判斷方法及投影特性。 點分割直線成定比定比定理。 小結(jié)：小結(jié)：第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2-4 2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法 用幾何元素表示

19、平面不在同一直線上的三點。aabbccaabbcc一直線和線外一點。ccaabb相交兩直線。bbaaccdd平行兩直線。bbaacc任意平面形。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 二、各種位置平面的投影鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫠矫嬲矫?側(cè)平面平行于某一投影面垂直于某一投影面特殊位置平面對三個投影面都傾斜 投影面垂直面投影面平行面一般位置平面第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 1.投影面垂直面 垂直于某一個投影面，而傾斜于其余兩個投影面的平面為投影面垂直面。 垂直的投影面上投影有積聚性其余兩投影面的投影為類似形OXZYHYWaaabbbccc第第2章章 點、直線

20、、平面的投影點、直線、平面的投影 投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影積聚為直線； 其余兩投影面的投影為原形的類似形，但比實 形小； 平面具有積聚性的投影與投影軸的夾角，分別 反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 2.投影面平行面 平行于某一個投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直于其余兩個投影面。在所平行的投影面上的投影反映實形。其余兩投影積聚為直線，并平行于相應(yīng)的投影軸。OXZYHYWaaabbbccc第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 投影面平形面的投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映 實形； 其余兩投影積聚為直線，并分別平 行于相應(yīng)的投影軸。第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 3.一般位置平面 對三個投影面都傾斜的平面。它的各面投影均不反映實形，也不具有積聚性。不直接反映該平面與投影面的傾角。OXYWYHZaaabbbccc第第2章章 點、直線、平面的投影點、直線、平面的投影 三、平面上的點和直線三、平面上的點和直線定理一：若直線過平面上的兩點，則此直線必在 該平面內(nèi)。定理二：若一直線過平面內(nèi)的一點，且平行于該 平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。定理三：若點在平面內(nèi)，它必在平面內(nèi)的一條直 線上。1.平面上的點和直線第第2章章 點、直