2013年中考數學總結復習沖刺練 中考數學圓的基本題型聚焦

1、2013年中考數學總結復習沖刺練：圓的基本題型聚焦縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分15分左右，圓的有關性質，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數函數，方程等相結合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外與圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，應引起讀者的注意.下面究近年來圓的有關熱點題型，舉例解析如下，以拋磚引玉.一、圓的性質的考查基礎知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關系.【例1】（江蘇鎮(zhèn)

2、江）如圖，為O直徑，為弦，且，垂足為（1）的平分線交O于，連結求證：為弧ADB的中點；ABDEOCH（2）如果O的半徑為，求到弦的距離；填空：此時圓周上存在 個點到直線的距離為【解析】（1），又，又，為弧ADB的中點（2），為O的直徑，又，作于，則3.【點評】 本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數求解問題的能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構造與定理相關的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段OD的長.在圓中解有關弦心距半徑有關問題時,常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂徑定理和勾股定理結合起來解題.如圖,O的半徑為,弦心距為,弦長之間的關系

3、為.根據此公式,在、三個量中,知道任何兩個量就可以求出第三個量.平時在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運用這個基本圖形.【例2】 （安徽蕪湖）如圖，已知點E是圓O上的點， B、C分別是劣弧的三等分點， ，則的度數為 【解析】由B、C分別是劣弧的三等分點知，圓心角AOB=BOC=COD,又，所以AOD=138º.根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有69º.點評本題根據同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關系。二、直線與圓的位置關系的考查基礎知識鏈接：1、直線與圓的位置關系有三種:如果一條直線與一個圓沒有公共點,那么就說這條直線與這個圓相離.如果一條直線與一個圓只有一個公共點,那么就說

4、這條直線與這個圓相切,此時這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做切點.如果一條直線與一個圓有兩個公共點,那么就說這條直線與這個圓相交,此時這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點.2、直線與圓的位置關系的判定；3、圓的切線的性質與判定?！纠?】（甘肅蘭州）如圖，四邊形內接于O，是O的直徑，垂足為，平分DECBOA（1）求證：是O的切線；（2）若，求的長【解析】（1）證明：連接，平分，DECBOA，是O的切線（2）是直徑，平分，在中，在中，的長是1cm，的長是4cm【點評】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線.即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【例4】（廣東茂名）如圖，O是

5、ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DEBC，DE交AB的延長線于點E，連結AD、BD（1）求證：ADB=E；（2）當點D運動到什么位置時，DE是O的切線？請說明理由（3）當AB=5，BC=6時，求O的半徑（4分）【解析】（1）在ABC中，AB=AC，ABC=CDEBC，ABC=E，E=C又ADB=C， ADB=E （2）當點D是弧BC的中點時，DE是O的切線理由是：當點D是弧BC的中點時，則有ADBC，且AD過圓心O又DEBC， ADED DE是O的切線 （3）連結BO、AO，并延長AO交BC于點F， 則AFBC，且BF=BC=3又AB=5，AF=4設O的半徑為，在Rt

6、OBF中，OF=4，OB=，BF=3， 3（4）解得，O的半徑是【點評】 本題綜合運用了等腰三角形的性質，圓的切線判定，解題最關鍵是抓住題中所給的已知條件，構造直角三角形，探索出不同的結論.三、圓與圓的位置關系的考查基礎知識鏈接：如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖(1)、(2)、(3)所示其中(1)又叫做外離,(2)、(3)又叫做內含(3)中兩圓的圓心相同,這兩個圓還可以叫做同心圓如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖(4)、(5)所示其中(4)又叫做外切,(5)又叫做內切如果兩個圓只有兩個公共點,那么就說這兩個圓相交,如圖(6)所示【例5】（甘肅蘭州）如圖是北京奧

7、運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的位置關系是（）A內含B相交C相切D外離【解析】圖中的兩圓沒有公共點，且一個圓上的所有點都在另一個圓的外部，故兩圓外離，選D.【點評】圓與圓的位置關系有五種:外離、外切、相交、內切、內含其關系可以用圓與圓的公共點的個數及點與圓的位置關系來判定, 也可以用數量關系來表示圓與圓的位置關系：如果設兩圓的半徑為 、,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關系與數量關系如下表【例6】（赤峰市）如圖（1），兩半徑為的等圓O1和O2相交于兩點，且O2過點過點作直線垂直于，分別交O1和O2于兩點，連結（1）猜想點與O1有什么位置關系，并給出證明；（2）猜想的形狀，并給出證明；

8、（3）如圖（2），若過的點所在的直線不垂直于，且點在點的兩側，那么（2）中的結論是否成立，若成立請給出證明O2O1NMBA圖（1）O2O1NMBA圖（2）O2O1NMBA圖（1）【解析】解：（1）在上證明：O2過點，又O1的半徑也是，點在O1上（2）是等邊三角形證明：，O2O1NMBA圖（2）是O2的直徑，是O1的直徑，即，在上，在上連結，則是的中位線，則是等邊三角形（3）仍然成立證明：由（2）得在O1中弧MN所對的圓周角為在O2中弧MN所對的圓周角為當點在點的兩側時，在O1中弧MN所對的圓周角，在O2中弧MN所對的圓周角，是等邊三角形注：（2），（3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分

9、【點評】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且O2過點，構建對稱性知，O1過O2，再證NAB是等腰三角形；（2）1是的基礎上發(fā)散探究，具有一定的開放性 四、圓與多邊形的計算考查基礎知識鏈接：圓與正多邊形的關系的計算；2、弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算.【例7】（贛州）小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內撒了幾把豆子，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是 【解析】設圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長為，正方形面積為2，則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是.【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關鍵是圓與圓內接正方形的面積，根據古典概型，可轉化為面積之比.【例8】（

10、桂林）兩同心圓，大圓半徑為，小圓半徑為，則陰影部分面積為【解析】根據大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半4.【點評】有關面積計算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉化為規(guī)則的圖形計算，本題就較好的體現(xiàn)了轉化方法和整體思想.五、圓的綜合性問題的考查基礎知識鏈接：圓的有關知識與三角函數、一次函數、二次函數等綜合應用?！纠?】（懷化）如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，且與軸、軸分別相交于兩點（1）求出直線AB的函數解析式；（2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經過點M，頂點C在M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式； （3）設（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【解析】（1）設AB的函數表達式為 直線AB的函數表達式為 （2）設拋物線的對稱軸與M相交于一點，依題意知這一點就是拋物線的頂點C。又設對稱軸與軸相交于點N，在直角三角形AOB中，因為M經過O、A、B三點，且M的直徑，半徑MA=5，N為AO的中點AN=NO=4，MN=3CN=MC-MN=5-3=2，C點的坐標為（-4，2）設所求的拋物線為則