助力中考一線三等角模型中考考試題歸類賞析及啟示

1、.助力中考：“一線三等角”模型中考考試題歸類賞析及啟示XX：_指導(dǎo)：_日期：_01、模型呈現(xiàn)如圖1和圖2，在ABC和CDE中，點C是直線BD上的點若ACE=ABD=EDF，則ABCCDE特別地，當(dāng)AC=CE時，ABC CDE上述兩個圖呈現(xiàn)的是兩種最典型的“一線三等角”模型，即同側(cè)型和異側(cè)型，兩者所求證的結(jié)論均可通過導(dǎo)角證明該模型最本質(zhì)的特點為: 有3個等角的頂點在同一條直線上，且這個角可以是銳角、直角或鈍角而隨著角頂點位置的適當(dāng)改變或角繞頂點旋轉(zhuǎn)一定角度，常會產(chǎn)生許多和諧美觀的圖形，且結(jié)論仍然成立正因如此，近年來各地命題專家們命制了許多可用“一線三等角”模型求解的中考試題，這些試題大都突出對學(xué)

2、生能力與思維的考查，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗與思想方法的獲得，常常具有較高的區(qū)分度02、試題賞析類型1：三角齊見，模型自現(xiàn)例1：如圖3，將一X矩形紙片ABCD的邊BC斜著向AD邊對折，使 點B落在AD上，記為B，折痕為CE;再將CD邊斜向下對折，使點 D落在BC上，記為D，折痕為CG，若BD=2，BE=1/3BC，則矩形紙片ABCD的面積為_圖3分析：因為A=EBC=D=90°，且點A，B，D在同一直線上，由“一線三等角”模型，得AEBDBC，則類型1：三角齊見，模型自現(xiàn)例2：將形狀、大小完全相同的兩個等腰三角形如圖4所示放置，點D在AB邊上，DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交CAB 的兩

3、腰CA，CB于點M，N若CA=5，AB=6，ADAB=13，則MD+12/MA·DN的最小值為_圖4分析：由于A=MDN=B，且點A，D，B在同一直線上，因此根據(jù)“一線三等角”模型可得MADDBN，則評注以上兩例都是典型的“一線三等角”試題，由于模型的框架已搭建，因此降低了試題的起點兩道題雖涉及不同的圖形變換，但解法本質(zhì)一致，均為利用模型構(gòu)建比例式解決問題兩道題都著重考查學(xué)生在圖形變換過程中的觀察理解、直觀感知、推理轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力和思想類型2：隱藏局部，小修小補(bǔ)例3：如圖5，在正方形ABCD中，M為BC上一點，MEAM，ME 交AD延長線于點E若AB=12，BM=5，則DE長為_圖5

4、分析：如圖6，由于B=AME=90°，因此延長BC，過點E作BC 延長線的垂線，兩者交于點N根據(jù)“一線三等角”模型，可得ABMMNE，則 而AB=EN=12，BM=5，則MN=144/5，故DE=MNMC=MN(BC-BM)=109/5圖6類型2：隱藏局部，小修小補(bǔ)例4：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+m分別交x軸、y軸于點A，B，已知點C(2，0)1)當(dāng)直線AB經(jīng)過點C時，點O到直線AB的距離是; 2)設(shè)點P為線段OB的中點，聯(lián)結(jié)PA，PC，若CPA=ABO，則m的值是_ 圖7分析：1)2; 2)如圖8，因為ABO=APC=45°，在y軸的負(fù)半軸上找一點D，

5、使得CDO=45°，則ABP與PDC構(gòu)成“一線三等角”模型，所以ABPPDC，從而AB/PD=BP/DC,易知m0，AB=2m，BP=m/2，PD=m/2+2，CD=22，于是解得m=12.圖8評注上述兩道題雖分別以四邊形和一次函數(shù)為命題背景，但圖形的共性較明顯:均將原有“一線三等角”模型中的一角進(jìn)行了隱藏，而這就要求學(xué)生理性地從圖形的角度進(jìn)行思考與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其中最本質(zhì)的特征，挖掘蘊(yùn)含在圖中的幾何模型兩道題均較好地體現(xiàn)了對“四基”的綜合考查，提升了學(xué)生思維的層次性和靈活性類型3：一角獨處，兩側(cè)添補(bǔ)例5：如圖9，一塊30°，60°，90°的直角三角板，直角

6、頂點O位于坐標(biāo)原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數(shù)y1=k1/x(其l例6：如圖11，在四邊形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E為CD上一點，且BAE=45°若CD=4，則ABE的面積為_圖11分析：如圖12，由于BAE=45°，因此過點A作AD的垂線，在該垂線上分別找點M，N(其中點N在點A下方)，使得BMA=ENA=45°過點E作MN的垂線，垂足為點F，延長CB交MN于點G圖12易知四邊形ADCG為正方形，則AG=CG=CD=4；而AB=BC+AD，不難推知AB=5，BG=3，BC=1由于BAE=M

7、=N=45°，根據(jù)“一線三等角”模型可得ABMEAN，則評注上述兩道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊(yùn)知識技能、思想方法、數(shù)學(xué)模型于圖形之中題中的“特殊角”是解題的關(guān)鍵，也是搭建模型框架的基礎(chǔ)，更是學(xué)生解題思路的與“腳手架”兩道題實質(zhì)上是考查學(xué)生利用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，同時也有效地檢測了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的把握情況類型4：線角齊藏，經(jīng)驗來幫例7：如圖13，已知點A(2，3)和點B(0，2)，點A在反比例函數(shù)y=k/x的圖像上作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交反比例函數(shù)圖像于點C，則點C的坐標(biāo)為_圖13分析：如圖14，過點C作AC的垂線，交射線AB于點D，過

8、點C作x軸的平行線，在該平行線上分別找點E，F(xiàn)，使得DEC=AFC= 90°圖14由“一線三等角”模型及DAC=45°，得DECCFA又點A，B坐標(biāo)分別為(2，3)，(0，2)，從而k=6，于是類型4：線角齊藏，經(jīng)驗來幫例8：如圖15，有一個邊長不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點A，C分別在邊長為1的正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內(nèi)部(包括邊界)，則正方形邊長a取值X圍是_圖15分析：由于點A，C分別在正六邊形一組平行的對邊上，從而 ACmin=3，于是正方形ABCD的邊長amin=6/2根據(jù)正方形和正六邊形的中心對稱性，要使正方形邊長a最長，

9、則正方形的對稱中心和正六邊形的對稱中心O互相重合圖16如圖16，聯(lián)結(jié)OA，OB，過點A，B作GH的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，直線BF分別交GP，GQ于點M，N易知BFO=AOB=AEO=90°，根據(jù)“一線三等角”模型及OA=OB，可得AOEOBF，從而AE=OF=3/2，說明點B在定直線MN上運(yùn)動，當(dāng)點B運(yùn)動到點M或N時，正方形ABCD的邊長a最長圖17如圖17，當(dāng)點B與點M重合時，由GF=13/2，知評注上述兩道題實質(zhì)上都以圖形的旋轉(zhuǎn)為問題的切入點，能較好地激發(fā)學(xué)生探索的意愿，促使學(xué)生在模擬圖形運(yùn)動的同時，自發(fā)地利用題中所蘊(yùn)含的特殊角，展開適當(dāng)?shù)穆?lián)想，尋找圖形間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)解題

10、經(jīng)驗，搭建模型框架兩道題都意在尋求突破，體現(xiàn)分層考查，有著較好的考試信度與效度通過上述的例3例8，不難發(fā)現(xiàn):對于有些中考試題，“一線三等角”并非直觀、完整地呈現(xiàn)，而是在原圖中隱藏了局部或全部結(jié)構(gòu)，因此思維層次隨之提升若我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過“找角，定線，搭框架”，讓模型“現(xiàn)出原形”，則解題思路便會油然而生，豁然開朗03、教學(xué)啟示在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由同一類基本模型延伸而來的試題，這些試題雖呈現(xiàn)的背景不盡相同，但解決問題的方法和思想相通，這就要求教師在平時的解題教學(xué)中，充分挖掘習(xí)題的內(nèi)在價值，鼓勵學(xué)生對問題進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)并總結(jié)出一般化的方法，同時要讓學(xué)生嘗試?yán)迷诮忸}過程中所積累的經(jīng)驗，對試題中所蘊(yùn)藏的基本模型進(jìn)行挖掘與提煉只有讓學(xué)生學(xué)會自主地反思、推進(jìn)、提煉，才能做到“掌握模型，舉一反三，通一類題”，同時通過對一些基本模型