第8章 梁的變形分析與剛度問(wèn)題

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容v 彎曲變形的概念彎曲變形的概念v 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程v 積分法求梁的變形積分法求梁的變形v 疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形v 梁的剛度校核梁的剛度校核v 靜不定梁靜不定梁6-1 6-1 彎曲變形的概念彎曲變形的概念工程中的彎曲變形現(xiàn)象工程中的彎曲變形現(xiàn)象N1 1、撓度與轉(zhuǎn)角、撓度與轉(zhuǎn)角 ，用，用w 表表示。示。 比如，比如，C 截面的撓度為截面的撓度為 wC比如，比如，C 截面的轉(zhuǎn)角為截面的轉(zhuǎn)角為 CCvdxdwtgdxdwtg,撓度對(duì)坐標(biāo)的一階撓度對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)等于轉(zhuǎn)角導(dǎo)等于轉(zhuǎn)角假設(shè)梁的撓曲線微分方程為假設(shè)梁的撓曲線微分方程為 xfw E

2、IM1純純彎彎曲曲第五章推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)已知第五章推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)已知不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況不計(jì)剪力對(duì)變形的影響，上式可以推廣到非純彎曲的情況EI)x(M)x(1非非純純彎彎曲曲依據(jù)高等數(shù)學(xué)，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成依據(jù)高等數(shù)學(xué)，從幾何方面看，平面曲線的曲率可寫成2/321)(1wwx 左式中由于略去剪力的影左式中由于略去剪力的影響，并略去了響，并略去了w的一次導(dǎo)的一次導(dǎo)數(shù)值，故數(shù)值，故稱為稱為撓曲線近似撓曲線近似微分方程微分方程。2/321)(1wwx 12wEIxMw 8.3 8.3 積分法求梁的變形積分法求梁的變形1 1、積分法的步驟、積分法

3、的步驟 DCxdxdxxMEIwDdxCdxxMEIwCdxxMEIwEIxMwEI)()()()(或 積分常數(shù)積分常數(shù)C和和D的值可通過(guò)梁支承處已知的變形的值可通過(guò)梁支承處已知的變形條件來(lái)確定，這個(gè)條件稱為條件來(lái)確定，這個(gè)條件稱為邊界條件邊界條件。2 2、舉例、舉例 以以A為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，取直角坐標(biāo)系，x軸向右，軸向右，y軸向上。軸向上。（1） 求支座反力求支座反力 列彎矩方程列彎矩方程由平衡方程得：由平衡方程得：PlMPRAA ,列彎矩方程為：列彎矩方程為：xRMxMAA )()(aPxPl （2）列撓曲線近似微分方程）列撓曲線近似微分方程)(bPxPlwEI 例例8.1（3

4、） 積分積分)(22cCxPPlxwEI)(6232dDCxxPxPlEIw)(bPxPlwEI （4）代入邊界條件，確定積分常數(shù)）代入邊界條件，確定積分常數(shù)在在x=0處：處：00AAAww將邊界條件代入將邊界條件代入(c)、(d)得：得：0, 0 DC將常數(shù)將常數(shù) C 和和 D 代入代入(c)、(d)得：得：)2(2212xlEIPxxPPlxEIw)3(6621232xlEIPxxPxPlEIw（6）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度EIPlEIPlB2,22max2即EIPlwEIPlwB3,33max3即（5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程CxPPlxwEI22D

5、CxxPxPlEIw3262說(shuō)明：說(shuō)明：轉(zhuǎn)角為正，說(shuō)轉(zhuǎn)角為正，說(shuō)明橫截面繞中性軸順明橫截面繞中性軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；撓度為正，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；撓度為正，說(shuō)明說(shuō)明B點(diǎn)位移向下。點(diǎn)位移向下。由對(duì)稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為由對(duì)稱關(guān)系得梁的兩個(gè)支座反力為2qlRRBA 以以A點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖，列出梁的彎矩方程為：列出梁的彎矩方程為：)(22)(2axqxqlxM （2） bxqxqlwEI222 )(2412)(644332dDCxxqxqlEIwcCxqxqlwEI bxqxqlwEI222 簡(jiǎn)支梁的邊界條件是：簡(jiǎn)支梁的邊界條件是：在兩支座處的撓度等于零在兩支座處的撓度等于零 在在x

6、= 0 處，處，wA=0 ； 在在x = l 處，處，wB=0（3）24,03qlCD邊界條件代入（邊界條件代入（d），解得），解得將積分常數(shù)將積分常數(shù)C，D代入式代入式（c）和（）和（d）得）得)(2242424121)(462424641323343323332fxlxlEIqxxqlxqxqlEIwexlxlEIqqlxqxqlEIw由對(duì)稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將由對(duì)稱性可知，最大撓度在梁的中點(diǎn)處，將x=l/2代入（代入（f），得：），得：（5）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度EIqlyEIqllllEIlqwC38453845822424max4333故又由圖可見，在

7、兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。由又由圖可見，在兩支座處橫截面的轉(zhuǎn)角相等，均為最大。由式（式（e）EIqlEIqllxEIqlxBA2424,24,03max33故處在處在3、分段積分問(wèn)題、分段積分問(wèn)題 當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段當(dāng)梁上的外力將梁分為數(shù)段時(shí)，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和方程需分段列出。相應(yīng)地各段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程也隨之而異。撓曲線方程也隨之而異。兩個(gè)邊界條件：兩個(gè)邊界條件：CCyy21 連續(xù)條件：連續(xù)條件：CC21 AC段：段： )(11xMwEI 積分常數(shù)：

8、積分常數(shù)：C、DCB段：段： )(22xMwEI 積分常數(shù)：積分常數(shù)：C 、D 0,0, 021 BAyylxyyx)2()2(021 lxaaxFxlbFMaxxlbFxFMAD點(diǎn)的變形連續(xù)條件點(diǎn)的變形連續(xù)條件21212121DDCC,得到wwwwax0, 0, 021wlxwx邊界條件邊界條件積分常數(shù)得以確定積分常數(shù)得以確定2221216, 0bllFbCCDD梁的最大撓度與位置梁的最大撓度與位置梁的最大撓度應(yīng)位于梁的最大撓度應(yīng)位于w*=0處。處。322max2239323, 0bllEIFbwbaablxwEIFlw2max0642. 0當(dāng)當(dāng)b無(wú)限小時(shí)，無(wú)限小時(shí)，跨中跨中C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓

9、度EIFlwc20625. 08.4 8.4 疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形，EIqlEIqlyEIPlEIplyBqBqBPBP68233423EIqlEIPlyyyBqBPB8343 EIqlEIplBqBPB6232 由疊加法得：由疊加法得：直接查表直接查表 例例8.3 如圖如圖8.5 8.5 梁的剛度校核梁的剛度校核 maxmaxyy彎曲構(gòu)件的剛度條件彎曲構(gòu)件的剛度條件: rad:,單單位位許許用用轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角許許用用撓撓度度 y將吊車梁簡(jiǎn)化為如圖例將吊車梁簡(jiǎn)化為如圖例 6-12b所示的簡(jiǎn)支梁。所示的簡(jiǎn)支梁。計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為：計(jì)算梁撓度的有關(guān)數(shù)據(jù)為： P = 50 + 5 = 55

10、 kN （1）計(jì)算變形計(jì)算變形 由型鋼表查得由型鋼表查得 4cm32240)kgf/m4 .80(N/cm04. 8 Iq例例8.4因因P和和q而引起的最大撓度均而引起的最大撓度均位于梁的中點(diǎn)位于梁的中點(diǎn)C，由表，由表6-1查得：查得：cm116. 032240102038492004. 853845cm38. 13224010204892010005548644633 EIqlyEIPlyCqCP由疊加法，得梁的最大撓度為：由疊加法，得梁的最大撓度為：cm5 . 1116. 038. 1max cqcpyyy26N/cm1020GPa200 E材料的彈性模量材料的彈性模量（2）校核剛度）校核

11、剛度 cm84. 1500920500 ly將梁的最大撓度與其比較知：將梁的最大撓度與其比較知： yy cm84. 1cm5 . 1max故剛度符合要求。故剛度符合要求。吊車梁的許用撓度為：吊車梁的許用撓度為：例例8.5將主軸簡(jiǎn)化為如圖例所示的外伸梁，將主軸簡(jiǎn)化為如圖例所示的外伸梁，主軸橫截面的慣性矩為主軸橫截面的慣性矩為44444cm188)48(64)(64 dDI材料的彈性模量：材料的彈性模量：26N/cm1021GPa210 E（1）計(jì)算變形）計(jì)算變形由表由表6-1查出，因查出，因P1在在C處引起的撓處引起的撓度和在度和在B引起的轉(zhuǎn)角（圖引起的轉(zhuǎn)角（圖c）為：）為：cm106 .40)

12、2040(18810213202000)(3462211 alEIaPyCPrad1054.1318810213402020035611 EIalPBP 由表由表8.1查得，因查得，因P2在在C處引起的撓處引起的撓度和在度和在B處引起的轉(zhuǎn)角（處引起的轉(zhuǎn)角（d）為：）為：cm1006. 5201053. 2rad1053. 2188102116401000164556222222 ayEIlPBPCPBP rad1001.111053. 21054.13:Bcm105 .351006. 5106 .40:5554442121 BPBPBCPCPCyyyC 處處的的總總轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為處處的的總總撓撓度度為為則則主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為： rad10001. 0cm1040400001. 00001. 034 ly rad10rad1001.11c