一種新型光子晶體環(huán)形腔濾波器的設(shè)計(jì)與研究_圖文

1、密級(jí)： NANCHANG UNIVERSITY學(xué) 士 學(xué) 位 論 文THESIS OF BACHELOR（20062010年）題 目 一種新型光子晶體環(huán)形腔濾波器的設(shè)計(jì)與研究 學(xué) 院： 理學(xué)院 系 物理系 專 業(yè)： 光信息科學(xué)與技術(shù) 班 級(jí)： 061 學(xué) 號(hào)： 5502306096 學(xué)生姓名： 趙遠(yuǎn)祥 指導(dǎo)教師： 徐旭明 起訖日期： 2009.12-2010.6 目 錄摘要3Abstract4第一章 緒論51.1 光子晶體簡介51.1.1 光子晶體的概念51.1.2 光子晶體的分類61.1.3 光子晶體的特征71.1.4 光子晶體的應(yīng)用前景8第二章 算法理論和方程102.1 平面波展開法102

2、.2 傳輸矩陣法122.3 時(shí)域有限差分法13第三章 二維光子晶體波導(dǎo)的分束特性19 3.1 引言193.2 二維三角形光子晶體的結(jié)構(gòu)193.3 二維光子晶體波導(dǎo)模型203.4 多模結(jié)構(gòu)的計(jì)算和分析213.5 基于自成像效應(yīng)的TE模分?jǐn)?shù)器 22結(jié) 論 24參考文獻(xiàn) 致 謝 二維光子晶體波導(dǎo)的分束特性專 業(yè)：光信息科學(xué)與技術(shù) 學(xué) 號(hào)：5502304073學(xué)生姓名： 楊明睿 指導(dǎo)教師： 徐旭明摘 要光子晶體是一種具有光子帶隙的新型人工材料。E.Yablonovitch 和S. John在1987年首次提出了光子晶體的基本概念。光子禁帶(PBG的存在是光子晶體的顯著特征，這也使得光波不能夠在光子晶體

3、內(nèi)隨意傳播。在完整的二維光子晶體中引入線缺陷，就形成了光子晶體波導(dǎo)。光子晶體的光子帶隙(PBG波導(dǎo)能夠限制光子的運(yùn)動(dòng)。利用其具有控制和限制光子運(yùn)動(dòng)的特性可以制成新穎的光學(xué)器件。本文通過用有限時(shí)域差分法研究二維光子晶體波導(dǎo)的分束特性。第一章，對(duì)光子晶體做了簡要介紹，其中包括：光子晶體的概念，光子晶體的分類，光子晶體的特征，光子晶體的制備和光子晶體的應(yīng)用前景五個(gè)方面。第二章，介紹了幾種常用的算法，包括平面波展開法，傳輸矩陣法，和時(shí)域有限差分法。本文主要用時(shí)域有限差分法和平面波展開法。第三章，提出了一個(gè)二維光子晶體分束器模型，通過對(duì)它的研究，從而研究二維光子晶體的分束特性。平面波展開法計(jì)算光子晶體結(jié)

4、構(gòu)的波導(dǎo)色散曲線和電場強(qiáng)度，F(xiàn)DTD法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析。結(jié)果表明當(dāng)入射光=1.55m，耦合長度LM=15a時(shí)，這兩種分束器的透射率可高達(dá)96%。關(guān)鍵詞：光子晶體波導(dǎo)；分束特性；時(shí)域有限差分法；自成像效應(yīng)Beam splitting properties of two-dimensional photonic crystal waveguideAbstractPhotonic crystal is a new artificial material. The basic idea of photonic crystal was first proposed in 1987 by E. Yab

5、lonovitch and S. John. The existence of a photonic band gap (PBG is the significant feature of photonic crystals and is resulting that the light wave can not propagate in the photonic crystal. Its engender photonic crystal waveguide PCWs in the integrity two-dimensional photonic crystals introduce l

6、ine bug. Photonic band gap (PBG waveguide on photonic crystal structure can offer strong photonic confinement. Its unique optical properties enable it to be used in fabricating novel optical devices.Beam splitting properties of two-dimensional photonic crystal waveguide is calculated by the method o

7、f Finite Difference Time Domain ( FDTD .In the first chapter, photonic crystal is introduced in a nutshell ,including :the concept of photonic crystals, the classification of photonic crystals, the characteristics of photonic crystals, the preparation methods of photonic crystals and the application

8、 prospect of photonic crystals.In the second chapter, some algorithms are introduced simply, including: Plane Wave Expansion Method, Transfer Matrix Method and Finite-Difference Time-Domain (FDTD. Transfer Matrix Method and FDTD are used in the paper.In the third chapter, a two-dimensional photonic

9、crystal splitter model is put forward. Beam splitting properties are researched, when a two-dimensional photonic crystal splitter model is researched. The dispersion of photonic crystal waveguides structure and electric field strength are studied by using the transfer matrix method. It is calculated

10、 and analyzed by using FDTD. The results showed that when the incident lights wavelength = 1.55 m and coupled length LM = 15a, the two sub-beams for the transmission rate can be as high as 96%.Keyword: photonic crystal waveguide; Beam splitting properties; FDTD；Self-imaging principle第一章 緒 論經(jīng)歷了約一個(gè)世紀(jì)不

11、停息的開拓和發(fā)展,電子學(xué)已經(jīng)進(jìn)入到微電子學(xué)階段。但作為電子學(xué)工作載體的電子，因其具有靜止質(zhì)量和庫侖力的相互作用，使得微電子學(xué)點(diǎn)發(fā)展在速度，容量和空間相容性方面收到限制和制約。相較而言，光子是以光速運(yùn)動(dòng)的微觀粒子，而且其靜止質(zhì)量為零，又具有良好的空間相容性，所以以光子作為信息和能量的載體就具有極大的優(yōu)越性。1987年Yablonovitch1和John2分別在討論周期性電介質(zhì)結(jié)構(gòu)對(duì)材料中光傳播行為的影響時(shí)，各自獨(dú)立地提出了“光子晶體”這一新概念。光子晶體提供了一系列的控制光的機(jī)制，使得光子晶體有著廣闊的應(yīng)用前景。首先光子晶體在微波波段可以作為微波天線以及手機(jī)防護(hù)設(shè)備。其次光子晶體光纖（Photo

12、nic Crystal Fiber, PCF）,又稱多孔光纖（Holey Fiber, HF）或微結(jié)構(gòu)光纖（Microstructure Optical Fiber,簡稱MOF）3-6，以其獨(dú)特的光學(xué)特性和靈活的設(shè)計(jì)成為近年來的熱門研究課題。再次，光子晶體在制備低閾值的激光器方面也有極大的應(yīng)用。光子晶體的應(yīng)用十分廣泛,幾乎可以涉及到光的各個(gè)方面。光子晶體將會(huì)在光子學(xué)和光電子學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮重要意義,他出現(xiàn)將給這個(gè)時(shí)代帶來一場前所未有的革命。1.1光子晶體介紹1.1.1光子晶體的概念光子晶體的概念最早由Yablonovitch和John分別提出的。眾所周知，電子在周期勢場中傳播時(shí)，由于電子波會(huì)受到

13、周期勢場的布拉格散射，形成能帶結(jié)構(gòu)，帶與帶之間可能存在帶隙。電子波的能量如果落在帶隙中，傳播是禁止的。能帶及其帶隙結(jié)構(gòu)控制著電子或空穴的運(yùn)動(dòng)。半導(dǎo)體技術(shù)利用這一原理，神奇地演繹出從生產(chǎn)技術(shù)到日常生活的革命性。其實(shí)任何波，只要受到周期性調(diào)制，都有能帶結(jié)構(gòu)，也都有可能出現(xiàn)帶隙，能量落在帶隙中的波是不能傳播的。電磁波或光波也不例外。光子晶體類似于上述(電子晶體，只不過所控制和利用的不是電子而是光子，或者說不是電子的德布羅意波，而是頻率更高的光波。1987年Yablonovitch和John在研究如何抑制自發(fā)輻射和光子局域化特性時(shí)指出，若將不同介電常數(shù)的材料構(gòu)成周期結(jié)構(gòu)，比如在較高折射率材料中的某些位

14、置周期性地引入低折射率材料，電磁波在其中傳播時(shí)由于布拉格散射，會(huì)受到介質(zhì)周期勢場的調(diào)制而形成能帶結(jié)構(gòu)，這種能帶結(jié)構(gòu)叫做光子能帶(Photonic Band。光子能帶之間可能出現(xiàn)帶隙，即光子帶隙 (Photonic Band-Gap，簡稱PBG。能夠產(chǎn)生光子帶隙的周期性電介質(zhì)則稱為光子晶體 (Photonic Crystal，或叫做光子帶隙材料(Photonic Band-gap Materials，也有人把它叫做電磁晶體(Electromagnetic Crystal。能量與光子帶隙相同的光子被禁止在這種帶隙材料中傳播。由于光子晶體是根據(jù)傳統(tǒng)晶體的概念類比而來，因此，固體物理中的許多概念如倒格

15、子、布里淵區(qū)、色散關(guān)系、Bloch函數(shù)、Van Hove奇點(diǎn)、能帶、能隙、能態(tài)密度和缺陷態(tài)等都可用在光子晶體上。但需要指出的是光子晶體與常規(guī)的電子(晶體如硅、砷化嫁等也有本質(zhì)的不同，后者是在分子或原子尺度內(nèi)改變物質(zhì)的化學(xué)結(jié)構(gòu)，從而完成對(duì)光的發(fā)射、吸收、傳播和調(diào)制;而光子晶體則是在光波長尺度上對(duì)物質(zhì)進(jìn)行物理結(jié)構(gòu)的改造，使該物質(zhì)能夠控制光子的行為。另外，光子服從的是Maxwell方程，電子服從的是薛定愕方程;光子波是矢量波，電子波是標(biāo)量波；光子是自旋為1的玻色子，電子是自旋為1/2的費(fèi)米子；電子之間有很強(qiáng)的相互作用，而光子之間則沒有。光子晶體主要是在帶隙結(jié)構(gòu)中引入缺陷，造成破壞周期結(jié)構(gòu)的局部區(qū)域，

16、使光子帶隙形成缺陷能級(jí)。只有一定頻率(能量的光子能在這個(gè)缺陷區(qū)域存在和傳播。在這個(gè)區(qū)域以外的介質(zhì)中，該能量的光子是被禁止的。1.1.2 光子晶體的分類根據(jù)能隙空間分布的特點(diǎn)，可以將光子晶體分為一維(1D光子晶體、二維(2D光子晶體和三維(3D光子晶體，如圖1.1所示。一維光子晶體是最簡單的光子晶體，即材料折射率在一維方向上周期性變化。在結(jié)構(gòu)上，一維光子晶體類似于多層介質(zhì)薄膜，廣泛應(yīng)用于制成各種線性或非線性光學(xué)器件，包括非線性光學(xué)限幅器、光子帶邊緣激光器、高增益光學(xué)參量放大器等。二維光子晶體是指介質(zhì)在二維空間各方向上具有周期性結(jié)構(gòu)而在第三維均勻的一種新材料。如圖1.1(b中所示周期排列的介質(zhì)棒。

17、沿著棒的方向材料不發(fā)生變化，而在垂直棒的平面內(nèi)，材料呈周期性變化。二維光子晶體由于制造相對(duì)容易，且具有許多類似于三維光子晶體的性質(zhì)而備受關(guān)注。目前，二維光子晶體的帶隙己經(jīng)達(dá)到紅外和可見光波段。對(duì)于二維光子晶體，當(dāng)電磁波垂直于晶體柱體軸向傳輸時(shí)，電磁場可分解為E和H兩種本征偏振模式的線性疊加，它們的電場矢量分別平行和垂直于柱體的軸向。只有兩種模式的光子能帶都具有帶隙且彼此重疊時(shí)，二維光子晶體才具有完全帶隙。三維光子晶體是在三維空間上都存在著光子頻率帶隙的光子材料，在完全帶隙任何傳播方向上的光都被反射。未來光電子領(lǐng)域內(nèi)最具有應(yīng)用潛力的是可見光和紅外波段的三維完全帶隙光子晶體，但是今天的微細(xì)加工技術(shù)

18、制作這種精細(xì)結(jié)構(gòu)仍然存在困難。（a）一維光子晶體 （b）二維光子晶體 （c）三維光子晶體圖1.1 光子晶體的分類示意圖1.1.3 光子晶體的特征光子晶體的基本特征是具有光子禁帶7-10（ Photonic Band-Gap，PBG，頻率落在禁帶中的電磁波將被禁止傳播，因而禁帶中沒有任何光子態(tài)，光子禁帶依賴于光子晶體的結(jié)構(gòu)和介電常數(shù)的對(duì)比，比值越大越有可能出現(xiàn)光子禁帶。光子晶體結(jié)構(gòu)對(duì)稱性越差，其能帶簡并度越低，越容易出現(xiàn)光子禁帶。光子禁帶有完全光子禁帶和不完全光子禁帶，完全光子禁帶就是具有全方位的光子禁帶結(jié)構(gòu)，即一定頻率范圍內(nèi)的光子無論其偏振方向或傳播方向如何都將被禁止傳播:不完全光子禁帶則只是

19、在特定方向上具有光子禁帶結(jié)構(gòu)要產(chǎn)生完全光子禁帶，關(guān)鍵是布里淵區(qū)邊界各個(gè)方向的光子禁帶應(yīng)當(dāng)重疊。理論分析已經(jīng)表明，只有二維光子晶體才能擁有完全光子禁帶。光子晶體可能出現(xiàn)兩種不同的帶隙在所有方向上都存在的完全帶隙和只在特定方向上存在的不完全能隙。具體表現(xiàn)為:如果光在整個(gè)空間的所有方向上都有帶隙，且每個(gè)方向上的帶隙相互重疊，則為完全帶隙光子晶體;如果空間各個(gè)方向上都有帶隙但不完全重疊，或只在特定的方向上有帶隙，則為不完全帶隙光子晶體。對(duì)于頻率處于光子帶隙中的電磁波，若入射到光子晶體表面時(shí)會(huì)被反射，若在光子晶體內(nèi)產(chǎn)生則無法傳播。基于這種帶隙特性，人們成功研究出許多光子晶體器件，包括:高效率低損耗反射鏡

20、、高R因子微諧振腔、寬帶帶阻濾波器、極窄的帶選波濾波器、光開關(guān)及光子晶體光纖等。光子晶體的另一個(gè)主要特征是光子局域。John于 1987年提出:在一種經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的無序介電材料組成的超晶格(相當(dāng)于現(xiàn)在所稱的光子晶體中，光子呈現(xiàn)出很強(qiáng)的Anderson局域。如果在光子晶體中引入某種程度的缺陷，和缺陷態(tài)頻率吻合的光子有可能被局域在缺陷位置，一旦其偏離缺陷處光就將迅速衰減。當(dāng)光子晶體理想無缺陷時(shí)，根據(jù)其邊界條件的周期性要求，不存在光的衰減模式。但是，一旦晶體原有的對(duì)稱性被破壞，在光子晶體的禁帶中央就可能出現(xiàn)頻寬極窄的缺陷態(tài)。光子晶體有點(diǎn)缺陷，線缺陷和面缺陷。對(duì)于點(diǎn)缺陷而言，由于缺陷四周仍是完整的光子

21、晶體，圖1.2光子晶體中的缺陷與缺陷態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的光子只能局限在缺陷附近，因此，一個(gè)點(diǎn)缺陷相當(dāng)于一個(gè)微腔，可以用來形成高密度、高能量的諧振腔，大大降低諧振腔的損耗和閥值，提高激光的Q值(圖1.2(a。如果將若干個(gè)點(diǎn)缺陷連接在一起，形成線缺陷，相應(yīng)頻率的電磁波將不能進(jìn)入周圍材料而只能沿著缺陷傳播，相當(dāng)于一段波導(dǎo)(圖1.2(b。利用光子晶體的線缺陷制作集成光路，可以大大降低彎曲損耗，還可以制作波分束器、極窄帶的選頻濾波器等。同樣，利用光子晶體的面缺陷可以制作高反射鏡等(圖l.2(c。1.1.4光子晶體的應(yīng)用前景由于光子晶體能夠控制光在其中的傳播，所以它的應(yīng)用十分廣泛。其主導(dǎo)思想就是利用光子禁帶或禁帶

22、結(jié)構(gòu)中的缺陷態(tài)來改變光子晶體中某種電磁態(tài)的密度，以制作全新原理或以前所不能制作的高性能器件。這些應(yīng)用主要集中在如下幾個(gè)方面。（1） 高性能反射鏡。（2） 寬帶帶阻濾波器和極窄帶選頻濾波器（3） 光子晶體偏振片（4） 光子晶體超棱鏡（5） 光子晶體微腔（6） 光子晶體波導(dǎo)圖1.5 光子晶體波導(dǎo)的電場幅值分布光波導(dǎo)是光電集成回路中光子器件間的“導(dǎo)線”。傳統(tǒng)的介電波導(dǎo)可以支持直線傳播的光，但在拐角處會(huì)損失能量。理論計(jì)算表明，光子晶體波導(dǎo)可以改變這種情況7-9。光子晶體波導(dǎo)不僅對(duì)直線路徑7而且對(duì)轉(zhuǎn)角8-9都有很高的效率，如圖1.5所示。如果在光子晶體中引入缺陷，頻率落在缺陷態(tài)中的光波將呈現(xiàn)很強(qiáng)的局域態(tài)

23、，其傳播方向是受到嚴(yán)格控制的。如果我們引入的是一個(gè)線缺陷，這種缺陷態(tài)就可以作為一種電磁波波導(dǎo)，因此，我們可以通過光子晶體的組合設(shè)計(jì)制造出多種符合要求的光波導(dǎo)。如圖1.5所示，從一塊排布完好的二維光子晶體中，移去一些介質(zhì)棒或?qū)⒁慌趴涨怀湟栽橘|(zhì)都可以制成一個(gè)具有線缺陷的光子晶體。如果用前一種方法，可得到缺陷態(tài)對(duì)應(yīng)頻率與波矢對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖1.6所示。由于它并不依賴全反射，所以在轉(zhuǎn)角處可以有效地減少能量損失。在轉(zhuǎn)角為90度的情況下，這種波導(dǎo)也僅有2%的損失，98%的能量都傳輸?shù)搅硪欢?1，而在相條件下，傳統(tǒng)波導(dǎo)的能量損失高達(dá)30%。（7） 光子晶體光纖（8） 光子晶體發(fā)光二極管、激光器（9） 光子晶

24、體還有許多其它應(yīng)用背景，如光開關(guān)、光放大、光存儲(chǔ)器、光限幅器及光子頻率變換器等新型器件。圖1.5 用二維光子晶體制作的 圖1.6光子晶體中矢量與頻率光子晶體波導(dǎo) 對(duì)應(yīng)的關(guān)系通過上述對(duì)光子晶體的闡述，不難發(fā)現(xiàn):光子晶體的應(yīng)用范圍應(yīng)該是非常廣泛的。因?yàn)槠涮厥饨Y(jié)構(gòu)而產(chǎn)生一些特殊性質(zhì)，從而能夠制造出一些新型光學(xué)器件?？偠灾捎诠庾泳w的特點(diǎn)決定了其優(yōu)越的性能，因此它極有可能取代大多數(shù)傳統(tǒng)的光學(xué)產(chǎn)品，其前景和即將對(duì)經(jīng)濟(jì)、對(duì)社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生的影響是不可限量的。光子晶體作為一種新興的材料，將會(huì)對(duì)整個(gè)光子學(xué)和光子領(lǐng)域產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。第二章 算法理論和方程自從光子晶體概念由Yablonovitch和John提出

25、以來，有關(guān)光子晶體的研究有了很多令人矚目的成果，其計(jì)算方法也趨于成熟，其中主要包括：平面波展開法，轉(zhuǎn)移矩陣法和時(shí)域有限差分法三種。2.1平面波展開法12-14由電磁場理論可知，在介電常數(shù)呈周期性分布的介質(zhì)中，電磁場服從如下的Maxwell方程: （2.1）其中為電位移矢量，為磁感應(yīng)強(qiáng)度，為磁場強(qiáng)度，為電場強(qiáng)度，為電荷密度，為電流密度。假設(shè)光子晶體是由線性、各向同性和非磁性的材料組成，那么=0， =0。我們用復(fù)振幅來描繪場，即 （2.2） （2.3）其中為振蕩頻率。利用，同時(shí)將 （2.4） （2.5）代入（2.1）可得 （2.6）是連續(xù)的，但由于的不連續(xù)變化，必然引起不連續(xù)變化?；谶@一點(diǎn)下面討

26、論 ，由（2.6）可知，對(duì)于，則有特征方程 （2.7）在周期結(jié)構(gòu)中,由Bloch定理有 （2.8）其中：為格矢；表示垂直于波矢且平行于的單位矢量；為任意整數(shù)， 為周期結(jié)構(gòu)格子的基矢 。其中周期性函數(shù)和可展開成傅立葉級(jí)數(shù)： （2.9）將（2.9）代入到（2.8）可以得到： （2.10）其中倒格矢。為垂直于兩個(gè)方向的矢量。將（2.10）和（2.9）代入到（2.7）可以得到特征方程： （2.11）將第二個(gè)移入求和里面，（2.11）可以化為：（2.12）由矢量公式 （2.13）同時(shí)考慮與無關(guān)，因此（2.12）可以化為：（2.14）對(duì)于平面波有 （2.15）則（2.14）可以化為：（2.16）再將移入求

27、和里面，并作等量代換，則（2.16）可以化（2.17）利用有：（2.18）且 （2.19）由于，從而有：（2.20）考察等式兩邊，同冪項(xiàng)相等得到： （2.21）其中，（2.21）等價(jià)于： （2.22）若取平面波的個(gè)數(shù)為，則上式是一個(gè)典型的求解矩陣特征值問題。求解該特征方程可以得到對(duì)于特定波矢的一系列特征值，進(jìn)而可以得到光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)以及本征電磁場在空間的分布。2.2傳輸矩陣法15-17傳輸矩陣法是將磁場在實(shí)空間的格點(diǎn)位置展開，將麥克斯韋方程組化成傳輸矩陣形式，同樣變成本征值求解問題。根據(jù)電磁波在分層介質(zhì)中的傳輸特性可以用傳輸矩陣表示17-18。由麥克斯韋方程組得到在第層的電場滿足方程 （2

28、.23）其中是界面坐標(biāo)，分別為第層的相對(duì)磁導(dǎo)率和相對(duì)介電常量，對(duì)于正折射率材料取“+”，而對(duì)于負(fù)折射率材料 取“-”。電磁場可以由二分量波函數(shù)表示 （2.24）則電磁場滿足以下矩陣關(guān)系： （2.25）其中 （2.26）由于跨過界面連續(xù)，所以在任何位置，和滿足以下矩陣關(guān)系 （2.27）其中 （2.28） 可得透射系數(shù)為 （2.29）則透射率為。傳輸矩陣表示一層（面）格點(diǎn)的場強(qiáng)與緊鄰的另一層（面）格點(diǎn)場強(qiáng)的關(guān)系，它假設(shè)在構(gòu)成的空間中在同一個(gè)格點(diǎn)層（面）上有相同的態(tài)和相同的頻率，這樣可以利用麥克斯韋方程組將場從一個(gè)位置外推到整個(gè)晶體空間。這種方法對(duì)介電常數(shù)隨頻率變化我金屬系統(tǒng)特別有效，而且由于傳輸矩

29、陣小，矩陣元少，運(yùn)算量小，同時(shí)在計(jì)算傳輸光譜時(shí)也是十分方便的。但是用該方法求解電磁場的分布較為麻煩，效率不是很高，因此對(duì)于光子晶體物理特性的理解沒有太大的幫助。2.3時(shí)域有限差分法18-211966年K.S.Yee22首次提出了一種電磁場數(shù)值計(jì)算的新方法時(shí)域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD方法。FDTD 方法直接將有限差分式代替麥克斯韋時(shí)域場旋度方程中的微分式，得到關(guān)于場分量的有限差分式，用具有相同電參量的空間網(wǎng)格去模擬被研究對(duì)象，然后選取合適的場初始值和計(jì)算空間的邊界條件，就可以得到包含時(shí)間變量的麥克斯韋方程的四維數(shù)值解，而且通過傅里葉變換還可

30、求得三維空間的頻域解。因此這一方法可以處理復(fù)雜形狀目標(biāo)和非均勻介質(zhì)物體的電磁散射、輻射等問題。麥克斯韋旋度方程為： （2.30） （2.31）其中為電場強(qiáng)度，為電通量密度，為磁場強(qiáng)度，為磁通量密度，為電流密度，為磁流密度，各向同性線性介質(zhì)中有如下關(guān)系 （2.32）其中表示介質(zhì)的介電常數(shù)，表示磁導(dǎo)系數(shù), 表示電導(dǎo)率，表示導(dǎo)磁率，和分別為介質(zhì)的電損耗和磁損耗。在直角坐標(biāo)系，Maxwell方程組(2.30和(2.31式可以寫為標(biāo)量形式，經(jīng)過變換得到 （2.33）以及 （2.34）考慮（2.33）和（2.34）式的FDTD差分離散。為了建立差分方程，首先要在變量空間把連續(xù)變量離散化。通過把計(jì)算空間劃分

31、成許多網(wǎng)格，只對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的物理量進(jìn)行計(jì)算，將在空間上連續(xù)分布的物理量離散化。當(dāng)在每個(gè)離散點(diǎn)上用有限差分來代替微商時(shí)，就把在一定空間解微分方程的問題化為求解有限個(gè)差分方程的問題，導(dǎo)出的差分方程叫做原方程的差分格式。圖2.1是由Yee在1966年首先提出來的電磁場空間網(wǎng)格劃分體系，也叫做Yee元胞，這是在直角坐標(biāo)系下的劃分形式，電磁場各分量的空間分布如圖所示。圖2.1 FDTD 離散中的Yee元胞示意圖令代表或在直角坐標(biāo)系中某一分量，在時(shí)間和空間域中的離散取以下符號(hào)表示： （2.35）對(duì)關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)取中心差分近似，即 （2.36）采用平均值近似， （2.37）對(duì)（2.33）進(jìn)行離散

32、，即（2.38）式中 （2.39） （2.40）上式子中標(biāo)號(hào),同理，（2.33）其余兩式離散后的形式為（2.41）上式子中標(biāo)號(hào) （2.42） 上式子中標(biāo)號(hào)同理，可以將(2.34式離散 （2.43） （2.44） （2.45）其中 （2.46） （2.47）同樣地，系數(shù)中的標(biāo)號(hào)代表觀察點(diǎn)處的一組整數(shù)或半整數(shù)：（2.42）式中為，（2.43）式中為，（2.44）式中為。式（2.38）（2.47）即為FDTD中電磁場的時(shí)間推進(jìn)計(jì)算公式。時(shí)域有限差分法有以下特點(diǎn)：(1直接時(shí)域計(jì)算。時(shí)域有限差分法把各類問題作為初值問題來處理，使電磁波的時(shí)域特性被直接反映出來。(2廣泛的實(shí)用性。由于時(shí)域有限差分法的直接出

33、發(fā)點(diǎn)是概括電磁場普遍規(guī)律的Maxwell方程，這就預(yù)示著這一方法應(yīng)具有最廣泛的實(shí)用性。(3節(jié)約存貯空間和計(jì)算時(shí)間。該方法所需的存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間與網(wǎng)格總數(shù)N成正比。相比之下，若離散單元也是N，則矩陣法所需的存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間與(3N 2成正比。(4適合并行計(jì)算。可以用并行計(jì)算機(jī)進(jìn)行并行運(yùn)算。(5計(jì)算程序的通用性。由于Maxwell方程是時(shí)域有限差分法計(jì)算任何問題的數(shù)學(xué)模型，因而它的基本差分方程對(duì)廣泛的問題是不變的，計(jì)算程序具有通用性。(6簡單、直觀、容易掌握。由于它既簡單又直觀，掌握它就不是件很困難的事情，只要有電磁場的基本理論知識(shí)，不需要數(shù)學(xué)上的很多準(zhǔn)備，就可以學(xué)習(xí)運(yùn)用這一方法解決很復(fù)雜的電

34、磁場問題。由于時(shí)域有限差分法具有如上所述的一些特點(diǎn)，使得它獲得了其它方法不能與之相比的非常廣泛的應(yīng)用。如在目標(biāo)電磁散射特性、電磁兼容、天線輻射特性計(jì)算、微波電路和光路時(shí)域分析、光子晶體等問題的研究方面均可應(yīng)用時(shí)域有限差分法，并且其應(yīng)用的范圍和成效在不斷迅速地?cái)U(kuò)大和提高。第三章 二維光子晶體波導(dǎo)的分束特性3.1引 言光子晶體是當(dāng)前光電子學(xué)中最熱門、發(fā)展最快的領(lǐng)域之一，它是兩種或兩種以上的介電常數(shù)隨空間呈周期性變化人工材料。光子晶體的基本特征是具有光子禁帶。如果在光子晶體中引入一缺陷，頻率落在缺陷態(tài)中的光波將呈現(xiàn)很強(qiáng)的局域態(tài)，其傳播方向是受到嚴(yán)格控制的。具有缺陷的光子晶體,光子頻率帶隙內(nèi)將出現(xiàn)局域

35、模,而線缺陷相應(yīng)地形成一個(gè)傳輸效率很高的光波導(dǎo).從一塊排布完好的二維光子晶體中，移去一些介質(zhì)棒或?qū)⒁慌趴涨怀湟栽橘|(zhì)都可以制成一個(gè)具有線缺陷的光子晶體。由于它并不依賴全反射，所以在轉(zhuǎn)角處可以有效地減少能量損失。在轉(zhuǎn)角為90度的情況下，這種波導(dǎo)也僅有2%的損失，98%的能量都傳輸?shù)搅硪欢耍谙鄺l件下，傳統(tǒng)波導(dǎo)的能量損失高達(dá)30%。本文用有限時(shí)域差分法分析了它的特性。3.2二維三角形光子晶體的結(jié)構(gòu)光波可以在光子帶隙中的缺陷中傳播。因此，我們?cè)赟OI上去除介質(zhì)Si0.99 Ge0.01的一列，形成線缺陷，在光隙波導(dǎo)中設(shè)計(jì)這些線缺陷來引導(dǎo)光傳輸。Si1-xGex的折射率由以下公式給出：nSi1xGe

36、x =nSi+0.18x. （3.1）圖3.1所示的是半徑為r晶格常數(shù)為a的Si0.99Ge0.01圓柱棒的六角晶格光子晶體結(jié)構(gòu)。圖3.1 Si0.99Ge0.01棒的六角晶格光子晶體的結(jié)構(gòu)示意圖3.3二維光子晶體波導(dǎo)模型由于二維光子晶體的對(duì)稱性，入射的電磁波可以分解為兩個(gè)偏振模：TE和TM模。TE模的磁場方向平行介質(zhì)柱方向，而TM模的電場方向平行介質(zhì)柱方向。為了研究TE模在二維三角形光子晶體中的自成像多模干涉效應(yīng)的應(yīng)用，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種多模干涉裝置模型，如圖3.2所示。如圖3.2所示。在完整的三角晶格光子晶體中沿著光傳播的方向移去一排介質(zhì)柱形成一個(gè)光子晶體單模波導(dǎo)偶合器；移去五排介質(zhì)柱就構(gòu)成一

37、個(gè)五平行光多模波導(dǎo)偶合器。如圖3.3所示，TE模能帶結(jié)構(gòu)，其中a=0.64m，r=0.11m，輸入波長為1.55m。圖3.2五平行光多模干涉耦合器裝置示意圖為了確認(rèn)多模區(qū)域的模式分布，由平面波展開法可以計(jì)算這兩種結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)色散曲線和電場強(qiáng)度|Ey|2的分布分別如圖3.3和圖3.4所示。由圖3.4 五光子晶體波導(dǎo)在頻率a/=0.4處五個(gè)模式的電場強(qiáng)度分布圖可以得出，可以看出，零階、二階模和四階模沿傳播軸具有較強(qiáng)的電場分布，且沿傳播軸對(duì)稱分布，具有偶對(duì)稱性；而一階模和三階模沿傳播軸沒有對(duì)稱分布，這種模具有奇對(duì)稱性。圖3.3五光子晶體波導(dǎo)耦合色散曲線圖圖3.4 五光子晶體波導(dǎo)在頻率a/=0.4處五個(gè)

38、模式的電場強(qiáng)度分布圖3.4多模結(jié)構(gòu)的計(jì)算和分析當(dāng)入射波從處進(jìn)入多模波導(dǎo)后，只有具有偶對(duì)稱的偶模被激發(fā)，這三個(gè)模式在多模區(qū)發(fā)生干涉，引起電磁場在多模區(qū)的重新分布而出現(xiàn)入射場的映像和多重像在多模區(qū)周期性交替分布。根據(jù)多模干涉的自映像理論23，輸入場可以展開為所有波導(dǎo)本征模式的疊加： （3.2）其中，為場激勵(lì)系數(shù)，為傳播常數(shù)的模場，為模式的階數(shù)，為模式數(shù)。在輸出端=處，由于各本征模產(chǎn)生不同相移，疊加場分布改變?yōu)?（3.3）（3.3）式?jīng)Q定了光場在=處的分布。可見由于多個(gè)模式間發(fā)生干涉，光場將形成新的分布，能量在空間的分布情況隨相干長度而發(fā)生變化。如果滿足下式 （3.4）則輸入場單重像出現(xiàn)在處。由于模

39、場分布的對(duì)稱性，我們可以得到單重像位置的分布 （3.5）同理我們可以得到雙重像位置的分布 （3.6）其中和為0階模和2階模的傳播常數(shù)。我們可以計(jì)算晶體的晶格常數(shù)a=0.64m，入射波長=1.55m時(shí)，由圖3.3可知，圖3.5結(jié)構(gòu)中，=0.515×2/a，=0.389×2/a。由（3.5）式可以得到單重像第一次出現(xiàn)在8a的地方，由（3.6）式可以得雙重像第一次出現(xiàn)在4a的地方，如圖3.5所示。圖3.5 =1.55m的入射光在兩種裝置中的坡印亭矢量分布圖3.5基于自成像效應(yīng)的TE模分?jǐn)?shù)器圖3.6是我們?cè)O(shè)計(jì)的一種二維光子晶體波導(dǎo)分束器的結(jié)構(gòu)示意圖，由一個(gè)單模輸入光子晶體波導(dǎo)、耦合

40、區(qū)和兩個(gè)單模輸出波導(dǎo)組成，耦合區(qū)的長度為LM=15 a。以TM模時(shí)域高斯脈沖作為入射光，波長為=1.55m，我們用有限時(shí)域差分法分析了這種裝置。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性和入射波從中心位置輸入，在多模耦合區(qū)的強(qiáng)度和電磁波傳播的相位分布也是對(duì)稱的。圖3.6 光子晶體分束器結(jié)構(gòu)模型示意圖（耦合長度LM=15a）圖3.7 =1.55m的入射光在這種分束器中的電場強(qiáng)度從圖3.7的電場強(qiáng)度分布圖可以看出，這種分束器的兩個(gè)輸出端口輸出的透射光強(qiáng)是完全相等的，并且透射率可高達(dá)96%。本文通過模擬計(jì)算研究了二維三角形光子晶體波導(dǎo)自成像多模干涉的耦合特性。提出一種二維光子晶體分束器，用有FDTD數(shù)值計(jì)算和分析了這種分束器

41、的特性。結(jié)果表明當(dāng)入射光=1.55m，耦合長度LM=16a時(shí)，這兩種分束器的透射率可高達(dá)96%。造成這種現(xiàn)象的物理原因是多模干涉區(qū)的自成像效應(yīng)，這種自成像多模干涉在光子晶體光學(xué)集成電路中具有重大的潛在應(yīng)用價(jià)值。結(jié) 論光子晶體以其優(yōu)良的性能和極其廣闊的應(yīng)用前景而成為光子學(xué)、材料科學(xué)非常熱門的研究領(lǐng)域，可以預(yù)見，光子晶體的發(fā)展將有力地推動(dòng)光子學(xué)和光子產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。本論文從光的電磁理論出發(fā)，結(jié)合固體物理理論中的能帶論及Bloch定理，采用平面波法和有限時(shí)域差分法，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)及數(shù)值計(jì)算，對(duì)二維光子晶體中的一些物理現(xiàn)象進(jìn)行理論研究。本文基于自成像效應(yīng)(SIE的多模干涉(MMI,構(gòu)造了一種二維光子晶體波導(dǎo)

42、二端口分波器。采用時(shí)域有限差分法和平面波法作為研究工具,以TE模作為研究對(duì)象,從理論上分析了這種器件的特性，并在一定耦合長度下研究光在輸出端的透射率。結(jié)果表明選擇適當(dāng)?shù)鸟詈祥L度可以使光在兩個(gè)端口輸出。進(jìn)一步研究表明, 當(dāng)入射光=1.55m，耦合長度LM=15a時(shí)，這兩種分束器的透射率可高達(dá)96%。造成這種現(xiàn)象的物理原因是多模干涉區(qū)的自成像效應(yīng)，這種自成像多模干涉在光子晶體光學(xué)集成電路中具有重大的潛在應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)：1Yablonovitch E. Inhibited Spontaneous Emission in Solid2State Physics and Electronic J P

43、hysical Re2view Letters , 1987 ,58 :2059.2Ssjeev John. Strong localization of photons in certain disordered dielectric super- lattices J.Phys.Rev.Lett.,1987,58(23:248624893SINHA RK, VARSHNEY ANSHU D. Dispersion properties of photonic crystal fiber: comparison by scalar and fully vectorial effective index methods J. Optical and Quantum Electronics , 2005, 37(8:711722.4 ALISTAIR D FITT, KENTARO FURUSAWA, TANYA M MONRO et al. Modeling the fabrication