“尚未成功”的突破

1、“尚未成功”的突破文/羅增儒坦率說，在我個人的解題經(jīng)歷中，“尚未成功”乃至失敗，實在是比激動人心的成功多得多但是，“尚未成功”并非只給筆者留下消極的結(jié)果，而面對偶爾的順利筆者也總是要繼續(xù)尋找當(dāng)中的“解題愚蠢”（見文1、2），我不知道這些說來見笑的個人體驗是否對廣大讀者有點幫助，但我能肯定地說，這是我本來就少得可憐的解題財富中的主要資產(chǎn)，并且我的看法（包括本刊1998年開始的解題分析連載以及數(shù)學(xué)解題學(xué)引論一書）已引起了一部分同行的關(guān)注與共鳴，需要致歉的是，二三年來，關(guān)于解題與解題分析的大批讀者來信我不能一一作復(fù)，今天的話題很大程度上是一種有意的彌補(bǔ)下面，筆者要進(jìn)行3個解題個案的分析，以展示如何由

2、失敗走向成功，又如何對淺層的成功進(jìn)行深層的調(diào)控1個案1由失敗中獲取有用的信息例1若、為互不相等的實數(shù)，且（）（）（），求解：由等比定理得 （）（）（）（）（）（）（）但是，式的分母為零（）（）（）0，我們的解題努力失敗了評析：這是一個失敗的解題案例，文3談到了調(diào)整解題方向后的一些處理，其實都用到式所以，失敗的過程恰好顯化了題目的一個隱含條件，這是一個積極的收獲，當(dāng)我們將不成功的式去掉，把目光同時注視式與式時，式使我們看到了兩條直線重合：0，（）（）（）0而式又使我們看到了直線通過點1，1作一步推理，直線也通過點（1，1），于是0與文3相比，這是一個不無新意的解法，其誕生有賴于兩點：第1，從失敗

3、的解題中獲取一條有用的信息，即式第2，對式、式都作“著眼點的轉(zhuǎn)移”，從解析幾何的角度去看它們有了這兩步，剩下來的工作充其量在30秒以內(nèi)就可以完成2個案2尚未成功不等于失敗設(shè)（）為關(guān)于的正項遞增數(shù)列，為大于（1）的正常數(shù)，當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法來證不等式（）（）時，其第2步會出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)（），則（1）（）（1）（）0），無法推出（1）據(jù)此，許多人建議，用加強(qiáng)命題的辦法來處理，還有人得出這樣的命題（見文432及文512）：命題設(shè)（）為關(guān)于的正項遞增數(shù)列，為正常數(shù)，則不等式（）（）不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明評析：不等式?jīng)]能用遞推式證出來，有兩種可能，其一是數(shù)學(xué)歸納法的功力不足，其二是數(shù)學(xué)歸納法的使用不

4、當(dāng)把“不會用”當(dāng)作“不能用”，其損失是無法彌補(bǔ)的我們分析上述處理的“尚未成功”，關(guān)鍵在于遞推式，這促使我們思考：（1）與（）之間難道只有一種遞推關(guān)系嗎？確實，有的函數(shù)式其（1）與（）之間的關(guān)系很復(fù)雜，無法用數(shù)學(xué)歸納法來直接證明；而有的關(guān)系則較簡單，僅用加減乘除就可以表達(dá)出來但無論是“很復(fù)雜”還是“較簡單”，其表達(dá)式都未必惟一，文6278給出過一個反例，說明上述“命題”不真：例2用數(shù)學(xué)歸納法證明（）1（12）（122）（121）2講解：當(dāng)1時，命題顯然成立現(xiàn)假設(shè)（）2，則（1）（）（12）2（12），由于2（12）恒大于2，所以數(shù)學(xué)歸納法證題尚未成功然而，這僅是“方法使用不當(dāng)”換一種遞推方式，證

5、明并不困難（1）1（12）（）1（12）22下面一個反例直接取自文4的例2例3求證（11?。?2?。?3?。??。?證明：當(dāng)1時，命題顯然成立假設(shè)時命題成立，則（11?。?2?。??。?（1）！1（12）（13）（12?。?）1（1）！1（1）（1?。?（12）1（12！）1（1）?。?！）1（12）22這表明1時命題成立由數(shù)學(xué)歸納法知，不等式已獲證3個案3對尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)反思文7有很好的立意也有很好的標(biāo)題，叫做“反思通解引出簡解創(chuàng)造巧解”，它贊成反思“失敗”并顯示了下面一道二次函數(shù)題目的調(diào)控過程：例4二次函數(shù)（）2的圖象經(jīng)過點（1，0），是否存在常數(shù)、使不等式（）（21）2對

6、一切實數(shù)都成立？若存在，求出、；若不存在，說明理由講解：作者從解兩個二次不等式（21）2（）0，（）0開始（解法1），經(jīng)過數(shù)形結(jié)合的思考（解法2）等過程，最后“經(jīng)學(xué)生相互討論后得到巧解”（解法4）：由基本不等式（21）2（1）22對一切實數(shù)都成立，猜想（）（1）22經(jīng)檢驗，（）滿足條件（1）0，所以（）存在，（14），（12），（14）我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”，按慣例，“若存在，求出、”應(yīng)該理解為“若存在，求出一切、”從這一意義上來看上述巧解，那就存在一個明顯的邏輯疑點：誠然，式是滿足的一個解，但是在與（21）2之間的二次函數(shù)很多，如1（）（12）（12）（21）2，2（

7、）（13）（23）（21）2，3（）（14）（34）（21）2，這當(dāng)中有的經(jīng)過點（1，0），有的不經(jīng)過點（1，0），巧解已經(jīng)驗證了1（）經(jīng)過點（1，0）從而為所求，我們的疑問是：怎見得其余的無窮個二次函數(shù)就都不過點（1，0）呢？也就是說，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”究其原因，是未找出與（212）之間的所有的二次函數(shù)抓住這一尚未成功的環(huán)節(jié)繼續(xù)思考，我們想到定比分點公式，式可以改寫為（）（21）2（1）（0），或（）（21）2（1）（01）一般情況下應(yīng)是的正值函數(shù)（文8默認(rèn)為常數(shù)是不完善的；同樣，2000年高考理科第20題（2），對設(shè)2，2是錯誤的

8、），但由于（）為二次函數(shù)，只能為常數(shù)為了在中求出，把（1）0代入即可求出1（或中12）式與式的不同，反映了特殊與一般之間的區(qū)別，反映了“驗證”與“論證”之間的區(qū)別其實，原解法1出來之后，立即就可以得出式，與是否應(yīng)用“基本不等式”無關(guān)同樣，原解法1中作者思考過的“推理是否嚴(yán)密”在“巧解”中依然是個問題這種種情況說明，我們不僅要對解題活動進(jìn)行反思，而且要對“反思”進(jìn)行再反思下面一個解法請讀者思考錯在哪里？解：已知條件等價于存在0，使（）（）（21）20，把1時，（）0代入得1，從而（）（）（21）21，即2（）（1）22（）（32）20由此解出的（）為無理函數(shù)，不是二次函數(shù)，所以本題無解作為對反思進(jìn)行再反思的又一新例證，我們指出文9例2（即1997年高考難題）第1問，可以取（2）（0，1）（是的函數(shù)），則（）（1）（2）1（1），據(jù)定比分點的性質(zhì)有（）1參考文獻(xiàn)1羅增儒解題分析解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)？中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，122羅增儒解題分析再談自己的解題愚蠢中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998，43羅增儒解題分析人人都能做解法的改進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，199874李宗奇調(diào)控函數(shù)及其應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2000，35王俊英一類數(shù)學(xué)歸納法能否使用問