2023課標(biāo)版（文理）數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)--第十五章 推理與證明

1、2023課標(biāo)版（文理）數(shù)學(xué)高考第一輪專題練習(xí)第十五章推理與證明1.2022河南省大聯(lián)考如圖15-1是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型,根據(jù)圖中的規(guī)律,第2 021行從右至左的第1 010個數(shù)為 ()圖15-1A.3 030 B.1 010×2 021 C.1 010×2 022D.2 020×2 0222.2020全國卷如圖15-2,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,a12.設(shè)1i<j<k12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原

2、位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為 ()圖15-2A.5 B.8 C.10 D.153.角谷猜想曾經(jīng)世界上許多國家都流傳著這樣一個題目:任取一個正整數(shù)n,如果它是偶數(shù),則除以2;如果它是奇數(shù),則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運(yùn)算,最后結(jié)果必然是1,這個題目在東方稱為“角谷猜想”.依照此法,如取n=13,則要想算出結(jié)果1,共需要經(jīng)過的運(yùn)算步數(shù)是 ()A.9 B.10C.11D.124.在平面幾何中有射影定理:在三角形ABC中,ABAC,D是點(diǎn)A在BC上的射影,則AB2=BD·BC.拓展到空間,在三棱錐A-BCD中,AD平面ABC,點(diǎn)O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影,且O在BCD內(nèi),類比平面三角

3、形中的射影定理,得出的正確結(jié)論是 ()A.SABC2=SBCD·SBCOB.SABD2=SBCD·SBCOC.SADC2=SDOC·SBOCD.SBDC2=SABD·SABC5.2021鄂東南5月聯(lián)考關(guān)于直線l:ax+by+1=0,有下列四個命題.甲:直線l經(jīng)過點(diǎn)(0,-1).乙:直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,0).丙:直線l經(jīng)過點(diǎn)(-1,1).丁:ab<0.如果上述四個命題中只有一個假命題,則該命題是 ()A.甲B.乙C.丙D.丁6.2021湘豫名校聯(lián)考某校開設(shè)了素描、攝影、剪紙、書法四門選修課,要求每位同學(xué)都要選擇其中的兩門課程.已知甲同學(xué)選了素描,乙與甲

4、沒有相同的課程,丙與甲恰有一門課程相同,丁與丙沒有相同課程.則以下說法錯誤的是 ()A.丙有可能沒有選素描B.丁有可能沒有選素描C.乙、丁可能兩門課程都相同D.這四個人里恰有2個人選素描7.2021長沙長郡中學(xué)模擬將平面向量n=(x1,x2)稱為二維向量,由此可推廣至n維向量.對于n維向量a=(x1,x2,xn),b=(y1,y2,yn),其運(yùn)算與平面向量類似,如數(shù)量積a·b=|a|b|cos =i=1nxiyi(為向量a,b的夾角),向量a的模|a|=i=1nxi2,則下列說法不正確的是 ()A.不等式(i=1nxi2)(i=1nyi2)(i=1nxiyi)2可能成立B.不等式(i

5、=1nxi2)(i=1nyi2)(i=1nxiyi)2一定成立C.不等式ni=1nxi2<(i=1nxi)2可能成立D.若xi>0(i=1,2,n),則不等式(i=1n1xi)(i=1nxi)n2一定成立8.2022湖南名校聯(lián)考某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(xk,yk)處,其中x1=1,y1=1,當(dāng)k2時,xk=xk-1+1-5T(k-15)-T(k-25),yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25).T(a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,(1)第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為; 

6、;(2)第2 021棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為. 9.2022山東部分重點(diǎn)中學(xué)綜合考試將正三角形(如圖15-3(1)的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(2);將圖(2)的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(3)如此類推,將圖(n)的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為底邊向外作正三角形,然后去掉底邊,得到圖(n+1).上述作圖過程不斷進(jìn)行下去,得到的曲線就是美麗的雪花曲線.若圖(1)中正三角形的邊長為1,則圖(n)的周長為,圖(n)的面積為.  (1) (2) (3) (4)圖15-310.20

7、22豫北名校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=ln x-x-ax-1.(1)當(dāng)a=32時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)a53,x(1,+)時,求證:f(x)>0.答 案第十五章推理與證明1.C由題圖,可得第n行共n個數(shù)(nN*),則前2 020行的最后一個數(shù)字為1+2+2 020=2020×20212=1 010×2 021,而第2 021行是從右至左數(shù)的,因此第2 021行從右至左第1 010個數(shù)為1 010×2 021+1 010=1 010×2 022.故選C.2.C解法一由題意,知ai,aj,ak構(gòu)成原位大三和弦時,j=k-3,i=j-4,所以a

8、i,aj,ak為原位大三和弦的情況有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5種.ai,aj,ak構(gòu)成原位小三和弦時,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak為原位小三和弦的情況有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5種.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.解法二由題意,知當(dāng)ai,aj,ak為原位大三和弦時,k-j=3且j-i=4,又1i<j<k12,所以

9、5j9,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個數(shù)為5.當(dāng)ai,aj,ak為原位小三和弦時,k-j=4且j-i=3,又1i<j<k12,所以4j8,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個數(shù)為5.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.3.An=13,13為奇數(shù),第1次運(yùn)算,13×3+1=40;40為偶數(shù),第2次運(yùn)算,402=20;20為偶數(shù),第3次運(yùn)算,202=10;10為偶數(shù),第4次運(yùn)算,102=5;5為奇數(shù),第5次運(yùn)算,5×3+1=16;16為偶數(shù),第6次運(yùn)算,162=8;8為偶數(shù),第7次運(yùn)算,82=4;4為偶數(shù),第8

10、次運(yùn)算,42=2;2為偶數(shù),第9次運(yùn)算,22=1.所以共經(jīng)過9次運(yùn)算,故選A.4.A由已知得在ABC中,ABAC,ADBC,D是垂足,則AB2=BD·BC.類比這一性質(zhì),推理出:在三棱錐A-BCD中,AD平面ABC,連接AO,AO平面BCD,O為垂足,連接BO,CO,則SABC2=SBCD·SBCO.故選A.5.C因?yàn)辄c(diǎn)(0,-1),(1,0),(-1,1)三點(diǎn)不共線,所以命題甲、乙、丙中必有一個為假命題.若甲為假命題,則由乙、丙可得a=-1,b=-2,此時ab=2>0,與丁矛盾,不滿足題意;若乙為假命題,則由甲、丙可得a=2,b=1,此時ab=2>0,與丁矛盾

11、,不滿足題意;若丙為假命題,則由甲、乙可得a=-1,b=1,此時ab=-1<0,滿足題意.綜上,丙為假命題,故選C.6.C因?yàn)榧走x擇了素描,乙與甲沒有相同的課程,所以乙必定沒有選素描.假設(shè)丙選擇了素描,則丁一定沒有選素描;假設(shè)丙沒有選素描,則丁必定選擇了素描.(用分析法推理并分類討論)綜上,必定有且只有2人選擇素描,選項(xiàng)A,B,D正確.不妨假設(shè)乙、丁兩門課程都相同,則甲、丙兩門課程都相同,這與題中丙與甲恰有一門課程相同矛盾,因此C不正確.故選C 7.C對于A,易知|a·b|a|b|,所以|x1y1+x2y2+xnyn|x12+x22+xn2·y12+y22+yn2,所

12、以(i=1nxiyi)2(i=1nxi2)(i=1nyi2),當(dāng)且僅當(dāng)yi=0(i=1,2,n)或x1y1=x2y2=xnyn時取“=”,故A正確.(勿忘等號成立的條件)對于B,由對A的分析過程知,B正確.對于C,構(gòu)造n維向量m=(1,1,1),易知|a·m|a|m|,所以|x1+x2+xn|x12+x22+xn2·n,所以ni=1nxi2(i=1nxi)2,故C錯誤.對于D,構(gòu)造c=(1x1,1x2,1xn),d=(x1,x2,xn),則|c·d|c|d|,所以1x1+1x2+1xn·x1+x2+xnn,所以(i=1n1xi)(i=1nxi)n2,故D

13、正確.故選C.8.(1,2)(1,405)當(dāng)k2,即k=2,3,4,5,時,T(k-15)-T(k-25)得到的值構(gòu)成數(shù)列0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,x1=1,k2時,xk=xk-1+1-5T(k-15)-T(k-25),xk的值構(gòu)成數(shù)列1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,x5(n-1)+1=1,x5(n-1)+2=2,x5(n-1)+3=3,x5(n-1)+4=4,x5(n-1)+5=5,其中nN*.(依題意列出前若干項(xiàng),從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律)y1=1,k2時,yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25),yk的值構(gòu)成數(shù)列1,1,1,1,1,

14、2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,y5(n-1)+m=n,其中nN*,1m5,mN*,第6棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(1,2).2 021÷5=4041,x2 021=1,y2 021=405,第2 021棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(1,405).9.3×(43)n-12353320×(49)n-1由題意可得圖(n)中每條邊變?yōu)閳D(n+1)中的4條邊,圖(n+1)中每條邊的長度變?yōu)閳D(n)中的13,故圖(n)共有(3×4n-1)條邊,圖(n)中每條邊的長度為(13)n-1,因此,圖(n)的周長為3×(43)n-1.設(shè)圖(n)的面積

15、為Sn,則S1=34.圖(n)變?yōu)閳D(n+1)時,每條邊上多了一個面積為34×(13)n2的正三角形,故Sn+1=Sn+3×4n-1×34×(13)n2=Sn+3316×(49)n,因此Sn=34+k=1n-13316×(49)k=34+3316×491-(49)n-11-49=34+33201-(49)n-1=2353320×(49)n-1.10.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1,+),(求導(dǎo)前注意要寫出函數(shù)的定義域)當(dāng)a=32時,f(x)=ln x-x-32x-1=ln x+12(x-1)-1,所以f

16、'(x)=1x12(x-1)2=(2x-1)(x-2)2x(x-1)2,令f'(x)=0得x=12或x=2.所以,當(dāng)x(0,12)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x(12,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x(1,2)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x(2,+)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,綜上,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,12)和(2,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(12,1)和(1,2).(2)要證f(x)>0,即證ln x-x-ax-1>0(a53,x>1)成立,即證ln x+a-1x-1-1>0(a53,x>1)成立,只需證ln x+23(x-1)-1>0(x>1)成立,(利用不等式性質(zhì)去掉參數(shù)a)即證 3(x-1)ln x-3x+5>0(x>1)成立.設(shè)g(x)=3(x-1)ln x-3x+5(x>1),則g'(x)=3(ln x-1x),顯然g'(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,又3(ln 1-1)=-3<0,g'(