5.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1、1平面對量基本定理假如e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底2平面對量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(*1，y1)，b(*2，y2)，則ab(*1*2，y1y2)，ab(*1*2，y1y2)，a(*1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(*1，y1)，B(*2，y2)，則(*2*1，y2y1)，|.3平面對量共線的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(*1，y1)，b(*2，y2) (a0)，假如ab，

2、那么*1y2*2y10；反過來，假如*1y2*2y10，那么ab.【思考辨析】判定下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底(×)(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面對量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(4)若a(*1，y1)，b(*2，y2)，則ab的充要條件可表示成.(×)(5)當(dāng)向量的起點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)()1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那么下列說法正確的是_(填序號)若實數(shù)1，2使1e12e20，則120；

3、空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實數(shù))；對實數(shù)1，2，1e12e2不確定在該平面內(nèi)；對平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實數(shù)1，2有許多對答案2在ABC中，點D在BC邊上，且2，rs，則rs_.答案0解析由于2，所以()，則rs0.3在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)4設(shè)0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.答案解析ab，sin 2×1cos2 0，2sin cos cos2 0，0，cos 0，2sin cos ，tan .5已知ABCD的頂點

4、A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點D的坐標(biāo)為_答案(1,5)解析設(shè)D(*，y)，則由，得(4,1)(5*,6y)，即解得題型一平面對量基本定理的應(yīng)用例1(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若，則_.(2)如圖，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為_答案(1)(2)解析(1)由于()22，所以，所以.(2)設(shè)k，kR.由于kk()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思維升華(1)應(yīng)用平面對量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決沖突的一般思路是先選擇一組

5、基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決(1)在平行四邊形ABCD中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)(2)如圖，已知點G是ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且*，y，則的值為_答案(1)e1e2(2)解析(1)如圖，2()e2(e2e1)e1e2.(2)易知，*y，故.由于與共線，所以y*，即*y(*y)，因此.題型二平面對量的坐標(biāo)運算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c_.(2)已知點A(1,3)，B(4，1)，則與向量A同方向的單位向量為_答案(1)(2)解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)

6、(13，4)所以c.(2)AOO(4，1)(1,3)(3，4)，與A同方向的單位向量為.思維升華向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行計算若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要留意方程熟悉的運用及正確用法運算法則(1)已知點A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點B的坐標(biāo)為_(2)在ABC中，點P在BC上，且2，點Q是AC的中點，若(4,3)，(1,5)，則_.答案(1)(5,14)(2)(6,21)解析(1)設(shè)點B的坐標(biāo)為(*，y)，則(*1，y5)由3a，得解得(2)33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點1利用

7、向量共線求向量或點的坐標(biāo)例3(1)已知平面對量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b_.(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標(biāo)為_答案(1)(4，8)(2)(2,4)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)，即m4.從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點D的坐標(biāo)為(*，y)，則(4,2)(*，y)(4*,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4*,2y)2(1，1)，即(4*,2y)

8、(2，2)，解得故點D的坐標(biāo)為(2,4)命題點2利用向量共線求參數(shù)例4若三點A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實數(shù)a的值為_答案解析(a1,3)，(3,4)，依據(jù)題意，4(a1)3×(3)，即4a5，a.命題點3求交點坐標(biāo)例5已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點P(*，y)，則(*，y)，由于(4,4)，且與共線，所以，即*y

9、.又(*4，y)，(2,6)，且與共線，所以(*4)×6y×(2)0，解得*y3，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)思維升華平面對量共線的坐標(biāo)表示沖突的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a(*1，y1)，b(*2，y2)，則ab的充要條件是*1y2*2y1”解題比較便利(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代進a即可得到所求的向量(3)三點共線沖突A，B，C三點共線等價于與共線設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a&g

10、t;0，b>0，O為坐標(biāo)原點，若A，B，C三點共線，則的最小值為_答案解析由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(當(dāng)且僅當(dāng)ba時，等號成立)11解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例(14分)給定兩個長度為1的平面對量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的上運動若*y，其中*，yR，求*y的最大值思維點撥可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，求出點A，B的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點C的坐標(biāo)，最終轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值整頓解答解以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在的直線為*軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B(

11、，)4分設(shè)AOC(0，)，則C(cos ，sin )，由*y，得所以*cos sin ，ysin ，8分所以*ycos sin 2sin()，11分又0，所以當(dāng)時，*y取得最大值2.14分溫馨提示本題首先通過建立平面直角坐標(biāo)系，引進向量的坐標(biāo)運算，然后用三角函數(shù)的學(xué)問求出*y的最大值引進向量的坐標(biāo)運算使得本題比較簡潔解決，體現(xiàn)掌握析法(坐標(biāo)法)解決沖突的優(yōu)勢，涌現(xiàn)出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法爭論向量沖突奠定了前提方法與技巧1平面對量基本定理的本質(zhì)是運用向量加法的平行四邊形法則，將向量進行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運算法則是運算的要害2依據(jù)向量共線可以證明點共線；利

12、用兩向量共線也可以求點的坐標(biāo)或參數(shù)值失誤與防范1要區(qū)分點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個向量共線有方向相同、相反兩種狀況2若a(*1，y1)，b(*2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，由于*2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為*1y2*2y10.A組專項前提練習(xí) (時間：40分鐘)1.如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：與；與；與；與.其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是_答案解析中，不共線；中，不共線2已知平面對量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab_.答案(1,2)解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)3已知a(1,1)，b(1

13、，1)，c(1,2)，則c_.答案ab解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則_.答案解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，.5已知|1，|，·0，點C在AOB內(nèi)，且與的夾角為30°，設(shè)mn(m，nR)，則的值為_答案3解析·0，以O(shè)A為*軸，OB為y軸建立直角坐標(biāo)系，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30°，m3n，即3.6已知A(7,1)，B(1,4)，直線ya*與線段AB交于點C，且2，則實數(shù)a_.答案2解析設(shè)C(*，y)，則(*7，y1)，

14、(1*,4y)，2，解得C(3,3)又C在直線ya*上，3a·3，a2.7已知點A(1,2)，B(2,8)，則的坐標(biāo)為_答案(2，4)解析設(shè)點C，D的坐標(biāo)分別為(*1，y1)，(*2，y2)由題意得(*11，y12)，(3,6)，(1*2,2y2)，(3，6)由于，所以有和解得和所以點C，D的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，從而(2，4)8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m滿意的條件是_答案m解析由題意得(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則3×(1m)1×(2m)，解得m.9已知A

15、(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點C的坐標(biāo)解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點C的坐標(biāo)為(5，3)10已知點O為坐標(biāo)原點，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點M在其次或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時，不論t2為何實數(shù)，A，B，M三點共線(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)當(dāng)點M在其次或第三象限時，有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時，由(1)知

16、(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，與共線，又有公共點A，A，B，M三點共線B組專項力量提升(時間：15分鐘)11在ABC中，點P是AB上的一點，且，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又t，則t的值為_答案解析，32，即22.2，因此P為AB的一個三等分點A，M，Q三點共線，*(1*)(*1) (0<*<1)，.，且t(0<t<1)，t.且1t，解得t.12已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點，點C在其次象限，且AOC135°，設(shè)(R)，則的值為_答案解析由AOC135°知，點C在射線y*(*0)上，設(shè)點C的坐標(biāo)為(a，a)，a0，則有(a，a)(1，)，得a1，a，消往a得.13已知ABC和點M滿意0.若存在實數(shù)m，使得m成立，則m_.答案3解析0，M為ABC的重心如圖所示，連結(jié)AM并延長交BC于D，則D為BC的中點.又()，()，即3，m3.14如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點D，若mn，則mn的取值范圍是_答案(1,0)