高中數(shù)學(xué)競賽講義-奇數(shù)偶數(shù)

1、§25奇數(shù)偶數(shù)將全體整數(shù)分為兩類，凡是2的倍數(shù)的數(shù)稱為偶數(shù)，否則稱為奇數(shù).因此，任一偶數(shù)可表為2m（mZ），任一奇數(shù)可表為2m+1或2m1的形式.奇、偶數(shù)具有如下性質(zhì)： （1）奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)； 奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)； （2）奇數(shù)的平方都可表為8m+1形式，偶數(shù)的平方都可表為8m或8m+4的形式（mZ）. （3）任何一個(gè)正整數(shù)n，都可以寫成的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，l為奇數(shù).這些性質(zhì)既簡單又明顯，然而它卻能解決數(shù)學(xué)競賽中一些難題.例題講解1下列每個(gè)算式中，

2、最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？+=，-=，×，÷.2已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組的解是整數(shù)，那么( )（A）p、q都是偶數(shù).               （B）p、q都是奇數(shù).（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù)           （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù)  3在1，2，3，1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和

3、負(fù)號(hào)，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).470個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，.問最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾？5設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式123456789=（11111+a）（11111-b），               證明a-b是4的倍數(shù).-+-+6在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符號(hào)，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化

4、試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化為另一張表.+-+-+b a 7設(shè)正整數(shù)d不等于2，5，13.證明在集合2，5，13，d中可以找到兩個(gè)元素a,b，使得ab1不是完全平方數(shù). 8設(shè)a、b、c、d為奇數(shù)，證明：如果a+d=2k，b+c=2m，k,m為整數(shù)，那么a=1. 9設(shè)是一組數(shù)，它們中的每一個(gè)都取1或1，而且a1a2a3a4+a2a3a4a5+ana1a2a3=0，證明：n必須是4的倍數(shù). 3.分析  因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性，而1+2+3+1992=996×1993為偶數(shù) 

5、 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).4.解  設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有高+考+資+源+網(wǎng)a1=0,             偶高+考+資+源+網(wǎng)a2=1              奇a3=3a2-a1,          奇a4=3a3-a2

6、,          偶a5=3a4-a3,          奇a6=3a5-a4,           奇 由此可知：其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4×617是4的倍數(shù)，由知a-b是4的倍數(shù). 高+考+資+源+網(wǎng)6. 解   按題

7、設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè). 表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，3×3的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn).7. 解 由于2×51=32，2×131=52，5×131=82，因此，只需證明2d1，5d1，13d1中至少有一個(gè)不是完全平方數(shù).用反證法，假設(shè)它們都是完全平方數(shù)，令高+考+資+源+網(wǎng)2d1=x2 5d

8、1=y2 13d1=z2 x,y,zN*由知，x是奇數(shù)，設(shè)x=2k1，于是2d1=（2k1）2，即d=2k22k+1，這說明d也是奇數(shù).因此，再由，知，y,z均是偶數(shù).設(shè)y=2m,z=2n,代入、，相減，除以4得，2d=n2m2=(n+m)(nm)，從而n2m2為偶數(shù)，n，m必同是偶數(shù)，于是m+n與mn都是偶數(shù)，這樣2d就是4的倍數(shù)，即d為偶數(shù)，這與上述d為奇數(shù)矛盾.故命題得證.8.首先易證：從而.再由因而 高+考+資+源+網(wǎng) 顯然，為偶數(shù)，為奇數(shù)，并且只能一個(gè)為4n型偶數(shù)，一個(gè)為4n+2型偶數(shù)（否則它們的差應(yīng)為4的倍數(shù)，然而它們的差等于2a不是4的倍數(shù)），高+考+資+源+網(wǎng) 因此,如果設(shè)，其中e,f為奇數(shù)，那么由式及的特性就有（）或（） 由 得e=1，從而于是（）或（）分別變?yōu)榛蚋?考+資+源+網(wǎng)解之，得.因a為奇數(shù)，故只能a=1.9.證明:由于