第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積

1、第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積【最新考綱】了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.©I基礎(chǔ)梳理1. 多面體的表（側(cè)）面積多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面 積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖Z-0：111 2r'心”丫；/2rr' i側(cè)面 積公式S»i 柱is 2nrlS圓摧側(cè)=Tcrl= 7t(r+/)Z3.空間幾何體的表面積與體積公式稱幾何表面積體積柱體（棱柱和圓柱）S農(nóng)面積=S側(cè)十2S底V = Sh錐體（棱錐和圓錐）血租=S側(cè)+ Sjk臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)

2、s表西積s億+ 頭+s下V=y（S 上+ S 卜.+ y/S t. ST ）/1球S = 4nR錐體的體積等于底面面積與高之積.（） 球的體積之比等于半徑比的平方.（） 臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.（） 已知球0的半徑R，其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為 a,貝S R =于a.（）答案： x （2）X （3）V （4）V2. （2017廣州一模）九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條©I學(xué)情自測(cè)1. （質(zhì)疑夯基）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“"”，錯(cuò)誤的 打 “X” ）側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三 棱錐稱之為鱉臑.若三棱錐 P-ABC為鱉臑，PA

3、丄平面ABC, PA= AB= 2, AC= 4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的球面上，則 球0的表面積為（）A. 8 n B. 12 n C. 20 n D. 24 n解析：本題主要考查空間幾何體.由題意得該四面體的四個(gè)面都 為直角三角形，且 PA丄平面ABC, PA= AB= 2, AC= 4, PC= 2 5,PB= 2 2.因?yàn)?PBC為直角三角形，因此 BC= 2 3或 BC= 2 7 （舍）.所以只可能是BC= 2 3,此時(shí)PB丄PC,因此AB丄BC,所以平面ABC所在小圓的半徑即為r = 2 = 2,又因?yàn)镻A= 2,所以外接 球0的半徑R=、r2 +（A） 22 + 1

4、 =勺5,所以球0的表面積 為S= 4兀R2.答案：C3. （2015新課標(biāo)全國(guó)I卷）九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐 富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺， 高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？ ”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如 圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的 高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？ ”已知 1斛米的體積 約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）A. 14 斛 B. 22斛 C. 36 斛 D. 66 斛n16解析：設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則牙r = 8,所以r =2n1 1 2所以米堆的體積為V = 4X 3兀5

5、 =n1216 2n5耆°（立方尺）.320故堆放的米約有 9 T6222（斛）.答案：B28 n丁，4. （2016課標(biāo)全國(guó)I卷）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 則它的表面積是（A. 17nB.18nC. 20 n28 n【解析】根據(jù)三視圖還原出幾何體，再根據(jù)表面積公式求解.14由三視圖可知其對(duì)應(yīng)幾何體應(yīng)為一個(gè)切去了 &部分的球，由3兀x8=28n,得r = 2,所以此幾何體的表面積為 3宀£+ 3XJxr2 =17n,故選A.【答案】A5 .已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為則正方體的棱長(zhǎng)

6、為39 n 3解析：設(shè)球的半徑為R，則3%R3= 2R = 2，又 2R= */3a，得 a= 3答案：3名師微博通法領(lǐng)悟 一種思想一一轉(zhuǎn)化與化歸思想計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般是將側(cè)面展開(kāi)化為平面圖形，“化曲為直”來(lái)解決，因此要熟悉常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及平面 圖形面積的求法.兩種方法割補(bǔ)法與等積法1. 割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成 已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.2. 等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過(guò)已知條件可以得到，利用等 積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高， 特別是在求三角形的 高和三棱錐的高時(shí)

7、，這一方法回避了通過(guò)具體作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值.兩個(gè)注意點(diǎn)一一求空間幾何體的表面積應(yīng)注意兩點(diǎn)1. 求組合體的表面積時(shí)，要注意各幾何體重疊部分的處理.2. 底面是梯形的四棱柱側(cè)放時(shí)，容易和四棱臺(tái)混淆，在識(shí)別時(shí) 要緊扣定義，以防出錯(cuò).A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1. （2014課標(biāo)全國(guó)H卷）正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為 3D為BC中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為（）3A. 3B.qC . 1D.-2"解析：因?yàn)锽1C1啟D,所以BD /平面AB1C1,點(diǎn)B和D到面AB1C1的距離相等.所以 VA B1DC1 = VD AB1C1= V

8、B AB1C1 = VC1 ABB1 =3x2X 2X（ 3）2= 1.答案：C2. （2014湖北卷）算數(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江 陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍， 其中記載 有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.該 術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng) L與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似1公式V36L2h它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率 n近似取為3. 那么，近似公式 V疋金L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的 n近似取為75（ ）22 25 157 355A尹©C10D.而解析：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)L = 2冗r,Lii

9、1所以圓錐底面圓的半徑r =，貝卩圓錐的體積為 V = 3Sh= 3 %r2h= 3 2n333n L 2h = 3 L2h.4n232 n2i225又V 75L2h，所以L2h7-L2h，解得n篤57532 n758,且該幾何體的體積是3,則正答案：B3. 某幾何體的三視圖如圖所示視圖中的x的值是（）正視圖側(cè)視圖俯視圖9 3A. 2. 3解析：由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S3底=2（1 + 2） X 2= 3.1 V = 3X3 = 3,解得 x= 3.答案：D4. 正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為（)81 nA. 4 B.

10、16 n C. 9 n27 nD. 4解析：如圖，設(shè)球心為0,半徑為r，則在RtkOF中，（4- r）2+ ( 2)2= r2，解得 r = 9答案：A5. （2017石家莊調(diào)研）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）T|: 1211Lj正視圖側(cè)視圖俯視圖2 n4 nA. B n C.D. 2 n解析：由三視圖知，該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)挖去兩個(gè)與圓柱同底 的兩個(gè)半球.1 4 n 2所以幾何體的體積 V = V柱一 2V半球=2 n 12 2X ?）13= 3兀答案：A6. （2015北京卷）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表 面積是（）正住）視圖側(cè)佐）視俯視圖A. 2+ 5B.

11、4+ 5C. 2+ 2 5D. 5解析：作出三棱錐的示意圖如圖，在 ABC中，作AB邊上的高CD，連接SD在三棱錐S ABC中，SCX底面ABC, SC= 1,底面三角形ABC是等腰三角形，AC = BC, AB邊上的高CD = 2, AD=BD = 1,斜高 SD= 5, AC = BC = 5表=S$BC + SSAC + SSBC + SSAB=2x2X2+2（；x ix 5） + ；x 2X 5= 2+ 2 5.答案：C二、填空題7. （2015江蘇卷）現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為 5、高為4的圓 錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體 積與高均保持不變，但底面半徑

12、相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為.解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得1 221 2 2- n2X 4+nF X 8 =石 n2X 4+ n r2 8,r2= 7,r = 7.答案：78. （2015天津卷）幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積是m3.F2一|測(cè)視圖解析：由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面半徑和高均為1,圓柱的底面半徑為1且其高為1 8幾何體的體積 V = 3 n 12X 1X 2+n12 X 2= 3 n.答案：8 n9. （2015課標(biāo)全國(guó)I卷）已知H是球0的直徑AB上一點(diǎn)，AH : HB = 1 : 2, AB丄

13、平面a, H為垂足，a截球0所得截面的面積為n , 則球0的表面積為.解析：如圖，設(shè)球0的半徑為R,貝卩由AH : HB = 1 : 2得12RHA = 3 2R = 3R,OH = 3.截面面積為n = n(HM) 2,HM = 1.在 RtMMO 中，0M2= OH2 + HM2,R2 = ：R2 + HM2= ：R2+ 1,/R = .2.99'42i'3/2 ,2 9 S 球=4 xR = 4n°4= 2 n.9答案：2兀三、解答題10 . (2015全國(guó)卷)如圖，長(zhǎng)方體 ABCDA1B1C1D1中，AB =16, BC = 10, AAi = 8,點(diǎn) E,

14、F 分別在 A1B1, D1C1 上，AiE = DiF=4過(guò)點(diǎn)E, F的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1) 在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);(2) 求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.解：交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EM丄AB，垂足為M，貝卩AM = A“E = 4, EB“ = 12,EM = AA1 = 8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH = EF = BC = 10.于是 MH = EH S 四邊形 EB1BH = 2x (12 + 6)X 8= 72. EM2 = 6, AH = 10, HB = 6.1故 S 四邊形 A

15、1EHA = 2x(4+ 10)X 8= 56,因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面a分成兩個(gè)高為10的直棱柱,9 7所以其體積的比值為7（9也正確）B級(jí)能力提升1.（2015課標(biāo)全國(guó)H卷）已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)，/ AOB =90°, C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O ABC體積的最大值為 36,則球0的表面積為（）A. 36 n B. 64 n C. 144 n D. 256 n1解析：如圖，設(shè)球的半徑為R,t/OB = 90°, Sob = 2R2.VO ABC = VCaob，而 AOB面積為定值,s當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，Vo abc最大，s當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的

16、直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積Vo abc最大為1 13X 2R2R = 36,貝y R = 6.s球O的表面積S= 4兀R2 = 144 n.答案：C2.三棱錐P-ABC rp,D,E分別為PB.PC的中點(diǎn)M己三棱錐D-AHE的體積為V|P-ABC的體積為”八則工=* 2解析:設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離 為h.VZJ,E分別為PB.PC的中點(diǎn).ABDE = _pAPBC 申< Ka-FJHESDBE * h"YAPBC * h答案斗3. (2016課標(biāo)全國(guó)I卷)如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直 角三角形，PA= 6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D, D在平 面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.(1) 證明：G是AB的中點(diǎn)；(2) 在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)， 并求四面體PDEF的體積.解：證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以AB丄PD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以AB丄DE.因?yàn)镻D A DE = D，所以AB丄平面PED，故AB丄PG.又由已知可得，PA= PB,所以G是AB的中點(diǎn).(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F , F即為 E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得 PB丄PA, PB1PC,又EF / PB,所以EF丄PA, EF 1PC又PA