第四章第1_2節(jié)正弦、余弦;正切

1、課程信息年級(jí)初三學(xué)科數(shù)學(xué)版本湘教版容標(biāo)題正弦、余弦和正切編稿教師陽(yáng)矩紅【本講教育信息】 教學(xué)容： 正弦、余弦和正切教學(xué)目標(biāo)一知識(shí)與技能1. 了解一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切的概念，能夠正確地應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形兩邊之比。2. 熟記30 °、45 °、60°角的正弦、余弦、正切值，會(huì)計(jì)算含有這三個(gè)特殊銳角的直角 三角形的邊長(zhǎng)，會(huì)由一個(gè)特殊銳角的正弦值、余弦值、正切值說(shuō)出這個(gè)角。3. 了解一個(gè)銳角的正弦值與它余角的余弦值之間的關(guān)系。4. 會(huì)用計(jì)算器計(jì)算銳角的正弦值和余弦值。二過(guò)程與方法: 經(jīng)歷探索銳角的正弦值、余弦值與正切值的過(guò)程，在探索中總結(jié)

2、規(guī)律，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣。三情感態(tài)度與價(jià)值觀 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索性和創(chuàng)造性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信心。教學(xué)重點(diǎn)1. 正弦、余弦、正切的定義。2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3. 互余角之間的正弦值、余弦值之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)1. 銳角的正弦值、余弦值、正切值的計(jì)算。2. 綜合運(yùn)用正弦、余弦、正切的關(guān)系求直角三角形的邊。主要容1. 正弦、余弦、正切的定義:A的正弦。記作sin A，即sin AZ A的對(duì)邊斜邊2在Rt ABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做Z A的余弦。記作cos A,即cos AZ A的鄰邊斜邊3在Rt ABC中,銳角A的對(duì)邊與鄰邊

3、的比叫做Z A的正切。記作tanA,即tan AZ A的對(duì)邊Z A的鄰邊當(dāng)銳角A確定后，這些比值都是固定值。2. 特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3060sin cos tan1232仝322221如圖，在 Rt ABC中，Z C= 90°,Z A= 30C設(shè) BC= k，如此 AB= 2k由勾股定理得AC3k si n30°BCk1AB2k2oAC,3k仝cos30AB2k2tan30 °BCk3AC3k3用同樣的方法可求45°、60°角的三角函數(shù)值。3.互為余角的正弦、余弦之間的關(guān)系:aa

4、由定義知：si nA -, cosB -ccabC si nA = cosB即 sin A cos(90 ° A)同理：cosA sin( 90°A)語(yǔ)言表達(dá)：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值; 任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。比如：sin 60° cos30 °cos52° sin384. 同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系:2 2sin A cos A 1tan Asin A cos Atan A1otan (90A)5. 0。90°間正弦值、余弦值、正切值的變化規(guī)律:0 si nA 1, 0 cosA 1在0°90&#

5、176;間的角:正弦值隨角度的增大或減小而增大或減小余弦值隨角度的增大或減小而減小或增大正弦值隨角度的增大或減小而增大或減小6. 會(huì)用計(jì)算器求銳角的正弦值、余弦值、正切值?！镜湫屠}】例 1. ABC中，AC= 7, BC= 24, AB= 25,求 sinA , cosA, tanA , sinB , cosB , tanB分析：根據(jù)正弦、余弦、正切的定義知，應(yīng)首先判斷ABC是直角三角形。解：/ AC= 7, BC= 24, AB= 252 2 2 2AC BC 724625AB2252625 AC2 BC2 AB2 ABC為直角三角形，/ C= 90 °由三角函數(shù)定義得:sin

6、ABCAB2425cos AACAB725tan ABCAC247由互余角的關(guān)系得:sin B cosB tan Bcos Asin A1tan A7252425724例2.分析:,sin A ，求 cos A, 13可用引進(jìn)參數(shù)法，也可利用同角的正弦、余弦關(guān)系求解。已知 Rt ABC 中，/ C = 90tan A法一:如圖解:sin A13設(shè) BC 5k,AB 13k由勾股定理得：A AC cos AAC= 12k12k1213k13AB32c12 -4432132魚(yú)4312BC5k5tan AAC12k125 法二：解： si n2 A cos2 A 1, si nA 13 cos2 A

7、 1 sin2 A 1 ()2(工)2131312 cos A135丄 asin Atan A-135cosA121213又/ A為銳角，cosA> 0變式訓(xùn)練：已知在RtA ABC中，/ C = 90 °, si nA邊c的長(zhǎng)。提示：可引進(jìn)參數(shù)法。，周長(zhǎng)為60cm，求斜13例3.計(jì)算：。 1(1) sin30 °(sin 45222cos45 ) sin 20 cos 20(2)sin2 60 ° sin2 45o1 tan 451otan 60 cos 30分析：略解：（1）原式.2T)2(sin 202cos 20)(2)原式例4.已知銳角滿(mǎn)足2cos

8、2.3 sin1 0, 求-的值。分析：把條件式看作關(guān)于sin a的一兀一次方程，利用解方程求出Sin a,再確定a的值解: I sin2cos21條件式子可化為：22cos23 si n3 0即 2 sin23sin3 0得(2sin、3)(sin.3)0/ 0 sin1,二 sin.3工0 2sin. 3v3sin2j3 sin60 °3 ,為銳角2練習(xí)求適合條件的銳角:(1)2si n1,則(2)2 cos3,則(3)2.3s in(10 ° )3,則(4)3ta n、3,則答案：130°2 30°370°4 30°1求 si

9、nA , si nB 的值。2過(guò)點(diǎn) C作 CDL AB于 D,求 cos / ACD的值。分析：1利用正弦定義來(lái)解決。(2 )求cos Z ACD，在RtA ACD中求CD較麻煩，但利用互余角的關(guān)系將ACZ ACD轉(zhuǎn)化為Z B如此非常簡(jiǎn)便。解：1在 Rt ABC中，Z C= 90°, BC= 5, AC= 6TAB2 AC2 BC2 AB . 62 52. 61 sinA BC 5AB<6161.c AC 66 阿sin BAB v61612tZ ACB= 90°,.Z A+Z B= 90°又 CD! AB于 D,.Z ACDZ A= 90°Z B

10、=Z ACDcos Z ACDBC 5、一61AB 61例 6.如圖在 ABC 中，Z A = 30°, tanB1 一1 , BC . 10,求AB的長(zhǎng)。3分析：根據(jù)條件知： ABC不是直角三角形，應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形。 解：過(guò)C點(diǎn)作CD丄AB于D,設(shè)CD= x在 Rt ACD中,Z A= 30°T tan30°CDAD AD- 3x在 Rt BCD 中，ta nB BD - BD= 3x又 BC2 CD2 BD2 ( 10)2x2 (3x)2x = 1 AD 3x 3BD 3x 3 AB AD BD 33【模擬試題】答題時(shí)間：50分鐘一、填空題：1 J

11、51.求值：一 x sin60°x cos45°2 22. 在 Rt ABC中，/ C= 90°, a= 1, b = 2,如此 cosA=。3. tan10 ° tan20 ° tan30 ° tan70 ° tan80 ° =。24. ABC 中，/ C= 90°，假如 si nA ,如此 tanB =。35. .'(cos45°-)2 |tan60°sin30° | =。V26. v'3 ta n(80°)1,J則=。7. 在 Rt ABC中，

12、/ C= 90°, 3aJ3b，如此/ A=。8. 等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為4J3，底角為30°,如此底邊上的高為 ，周長(zhǎng)為。二、選擇題:9. 在厶ABC中，假如|sin A(三22的度數(shù)是A. 75°10.B. 90sinA的值C. 105 °D.120A.小于鼻2乜2B.大于2C.小于D.大于2211.0°90°,sincos30 ° ，如此 =當(dāng)銳角A>45°時(shí)cosB) 0，/ A、/ B都是銳角，如此/ CA.30oB. 60 °C. 45 °D.無(wú)法確定12.如下結(jié)論中不正確的

13、答案是A.sin48° 37'cos41° 20'B.RtAABC 中,/ C= 90°,如此 sin2 A cos2A1C.Rt ABC 中，/:C= 90°，如此 tan B sin BcosBD.Rt ABC 中，/C= 90°, AC= b，如此 AB bsin B入ta n13.如圖CD是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)E反射后照射到B點(diǎn)，假如入射角 射角等于反射角，AC丄CD BD丄CD垂足為 C D,且AC= 3, BD= 6, CD= 11,如此 =kjzIED113C._911A.B.D.31111914.如果

14、/A為銳角，且cos A1如此4A.0°A 30 °B.30 °A45°C.45°A 60°D.60 °A90°15. 如圖 Rt ABC中，/ ACB= 90°, CD!AB于 D,假如 AC= 4, BC= 3,如此 sin=A.C.D.三、解答題：16. 計(jì)算：1 冷(1 sin45° )2|2si n60°sin30° |17.1 2 sin60cos452 2sin 30° cos30°如圖Rt ABC中，/ C= 90°, b = 8

15、, / A的平分線2ta n30°ADtan2 30°16_3。求/ B與a、c的值。318. 如圖在等腰 ABC中，AB= AC,假如AB= 2BC,試求/ B的正弦值和正切值。19. Rt ABC中，/ C= 90°,方程x2 3sinAx 3si nA 1 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,2斜邊為C,方程cx 2X c 0也有兩個(gè)相等的實(shí)根，求這個(gè)直角三角形的三邊的長(zhǎng)。20. 如圖在 ABC中,1求證：AC= BD2假如sin C12 , BC 12，求 AD 的長(zhǎng)。13【試題答案】一、填空題：2.4.,5226. 507. 308. 2 3, 12 8 311. B

16、15. C12. C:、選擇題：9. C10. B13. D14. D三、解答題:16. 解：1原式22)2 2* 311以 1 2 3 12 2 22 2 322 x21 x 32 X 332222V 3 21 ( )23三丄蟲(chóng) 34243312 217. 解：在 Rt ADC中，AC= 8, AD16、33又 cos / DACACAD8316 323/ DAC= 30 °又AD平分/ BAC/ BAC= 60。，/ B= 30°又b= 8- c = 16, a = 8318. 解：如圖，過(guò) A點(diǎn)作ADL BC于D/ AB= AC, AB= 2BC1 BD CD 丄 AB4設(shè) BC 2a,貝U BD a, AB= 4a在 Rt ABD中, AD . AB2 BD2.(4a)2 a2.15a.sb匹竺蘭AB 4a 4tan BADBD 15aa19.解：方程x2 3sinAx 3sinA 1 0有兩個(gè)相等的實(shí)根2 ( 3sinA) 4(3sinA 1)09sin2 A12 si nA 40(3sinA2)2二 sin A又方程ex22