等比以及求通項公式

1、、等比數(shù)列常見性質(zhì):1.等比數(shù)列的定義：anq qan 10 n 2,且 n N*，q稱為公比2.通項公式:ann 1aqa n-qA Bn a1 q0,A B 0，首項：a1;公比：qq推廣：ann mamq，n m從而得qaam3.等比中項（1）如果a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項即：A ab或A ,0b 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項 有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）2（2） 數(shù)列On是等比數(shù)列ana. 1 On 14. 等比數(shù)列的前n項和Sn公式：（1）當 q 1 時，Sn nai當q 1時，Sn屮1 qa1 a.q1 q旦旦 qn A A Bn A

2、'Bn A'1 q 1 q（A, B,A',B'為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意的n,都有an 1 qan或1 q（q為常數(shù)，an 0） an0）%為等比數(shù)列an為等比數(shù)列(2)等比中項：2anan 1an 1( an 1 an 1(3)通項公式：anA Bn A B0an為等比數(shù)列(4)前n項和：SnA A Bn或SnA'Bn A' A, B, A',B'為常數(shù)an為等比數(shù)列6. 等比數(shù)列的證明方法a*依據(jù)定義：若亠 q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan為等比數(shù)列an 17、注意（1）等比數(shù)列

3、的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及Sn，其中印、 q稱作為基本元素。只要已知這 5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。n 1（2） 為減少運算量，要注意設(shè)項的技巧，一般可設(shè)為通項；an如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，-a；,-,a,aq,aq2（公比為q，中間項用a表示）； q q8. 等比數(shù)列的性質(zhì)n 1(1)當q 1時：等比數(shù)列通項公式an aiq魚qn A Bn A B 0是關(guān)于n的帶有 q系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比q前n項和snai 1 qn1 qna a1q 旦 qn A A Bn A'Bn A'，系數(shù)和常數(shù)項是1 q 1 q 1

4、 q互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 q (2)對任何m,n N*,在等比數(shù)列a.中，有a. amqn m,特別的，當m=1時,便得到等比數(shù)列的通 項公式.因此，此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。* 2 若 m+n=s+t (m, n, s, t N ),則 an am as d .特別的,當 n+m=2k 時,得 an am ak注：a1 ana2 an 1a3an 2,kr k、an 列an ,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列 ,k an ,an ,k a. 0 (k為非零常數(shù)) anbn均為等比數(shù)列. 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(k N*)項取出一項(am,am k,am 2k,am 3k

5、,)仍為等比數(shù)列 如果an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn，EnSn，Ssn S?.,，成等比數(shù)列(8) 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列 d a2an , an 1 an 2a2n ,a2n 1 a2n 283.成等比數(shù)列(9) 當q 1時，當0<q1時，a 0,則an為遞增數(shù)列 a 0,貝則an為遞減數(shù)列,a1 0,則an為遞減數(shù)列a1 0,則an為遞增數(shù)列 當q=1時，該數(shù)列為常數(shù)列(此時數(shù)列也為等差數(shù)列) 當q<0時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(10)在等比數(shù)列a.中，當項數(shù)為2n (n N*)時,§奇丄,.S禺q二、等比數(shù)

6、列性質(zhì)與求和強化訓練2、等比數(shù)列 a“中aiA 9 B 、101，公比q 1，若amC 、11D3i 32 338485，則 m =(、123、已知an是等比數(shù)列，且an0，a2a423385a4a625，那么 a3 a5A.10B. 15C. 5D. 64、設(shè)an是正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q 2，且 a1a2 a3 L a3°2 ，那么 a3a6a9 L a30A.210B.220c.D. 2155、等比數(shù)列an中，an0,a1,a99 為方程 X210x160的兩根，則a20 a50 a80的值為A32B.64C.256D. 646、等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a5a6a4a7

7、 =18,則 log3a1 log 3 a2 LIog3a1° =(A . 12B. 10D. 2+ log 3 57、Sn是公差不為0的等差an的前n項和，且S1.S2.S4成等比數(shù)列，則a2a1A. 4B. 6C.8D.108、等比數(shù)列an的首項為1,公比為q,前n項的和為S,由原數(shù)列各項的倒數(shù)組成一個新數(shù)列由J的前n項的和是（） anC.nq9、公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn ,若玄4是a3與玄7的等比中項,S1060.則S8等于A、28B、32C、36401、已知數(shù)列1.a1.a2. 4成等差數(shù)列,1.b1.b2.b3aa4成等比數(shù)列，則21的值為（）b2111亠

8、11AB、C、或一一D、 222 2410、 已知等比數(shù)列an 的公比為2,前4項的和是1,則前8項的和為()A . 15B. 17C. 19D . 2111、設(shè)等比數(shù)列 3n 的前n項和為Sn ,若 3，貝U12、 等比數(shù)列an的公比q 0,已知a2=1, an 2 務(wù)16a.，則 an的前4項和S= 13、 等比數(shù)列an的前n項和Sn=a 2n a 2，則a. =_.14、記正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S4=1,S8=17,求an的通項公式。參考答案：1A2、C3、C4、D5、B6、B7、C8、C9、B10、B11、-12>1532n 1n 1213 an 214 an 1

9、5三、數(shù)列綜合復(fù)習 一一通項公式、前n項求和的求法歸納通項公式的求法：一、 直接法如果已知數(shù)列為等差(或等比)數(shù)列，可直接根據(jù)等差(或等比)數(shù)列的通項公式，求得a1 , d (或q),從而直接寫出通項公式。例1.等差數(shù)列an是遞減數(shù)列，且a2a3a4=48,a2a3a4=12，則數(shù)列的通項公式是()(A) an 2n 12 (B) an 2n 4 (C) an2n 12 (D) an 2n 10(D)。二、 累加(乘)法對于形如an1 an f(n)型或形如an 1 f (n )an型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項公式

10、。一一 1 2例2、若在數(shù)列an中，ai 3，an 1 a“ n，求通項a.。答案：an(n n 6)n( n 1)例3、在數(shù)列an中，a1 1， an 1n2 an( n N ),求通項an。答案：an 2例4、已知數(shù)列an滿足n an 1(n 1) an，求數(shù)列an的通項公式。(解：an n)練習1.已知數(shù)列an滿足an 1an 2n 1，a1 1，求數(shù)列g(shù)的通項公式。(解:an n2)練習2:若在數(shù)列an中，a13， an 1an2n，求通項 an答案：an = 2n 11答案：ann練習3:在數(shù)列 an中，a1 =1, (n+1) an 1= nan，求an的表達式三、 構(gòu)造法有些數(shù)列

11、本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個新的數(shù)列為等差或等比數(shù) 列，從而利用這個數(shù)列求其通項公式。例5:已知數(shù)列an的遞推關(guān)系為an 1 2an 1,且a1 1求通項ann /答案：an 21例6、已知數(shù)列an中，a11 1答案：an 2ann31,且滿足 an+1 = 3an+ 2,n? N，求數(shù)列a n的通項公式。練習1：已知數(shù)列an中，n 12，且滿足2an+1=3an + 1, n? N，求數(shù)列an的通項公式答案：an 3（2）練習2 :已知數(shù)列aj 中,ai2,an 112an12,求通項an.答案an練習：3已知數(shù)列an滿足 an 12an3 2n，ai 2，求數(shù)

12、列an的通項公式。答案：12n(n 1)2，2例7 :已知下列兩數(shù)列an的前n項和sn的公式，求an的通項公式.(1) Snn3 n 1. (2) snn23,n 1四、公式法：知Sn利用公式an.SnSn 1 , n20 (n1)2n 1 (n2)1 1、,先求出 ，再求得an.anan 1an答案：(1) an=3 n2 3n 2 , (2) an點評：先分n=1和n 2兩種情況，然后驗證能否統(tǒng) 五、倒數(shù)法： 數(shù)列有形如f (aap耳環(huán)J 0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以例8.、設(shè)數(shù)列an滿足a12, an 1anan3(nN),求an.答案:an22 3n 11.練習：已知數(shù)列 an中a1

13、1且an 1ananN ),求數(shù)列的通項公式。答案:an11bnn1基本公式法:12 22 L等差、1n6求數(shù)列前n項和的方法:等比數(shù)列的前n項和公式；n 1 2n 1 、3333(3)123 L n1n4然后把所得的等式和給Sn印a2 L an各邊同乘以一個適當?shù)臄?shù)或式，原等式相減，對應(yīng)項相互抵消，最后得出前 n項和Sn.一般適應(yīng)于數(shù)列anbn的前n向求和，其中a.成等差數(shù)列，b3.裂項法：將數(shù)列的各項均分拆成兩項的差，而后和式子中的一些項相互抵消，以達到求和 的目的。2 錯位相消法:成等比數(shù)列。1常見的裂項途徑有：若an是公差為d的等差數(shù)列，則anan 1d an an 11.aSnSn

14、1 n 21、分組求和法：利用轉(zhuǎn)化思想,對某種數(shù)列可采用分拆,合并、重新組合的方法轉(zhuǎn)化為等差,等比數(shù)列或常數(shù)列求和。例1求數(shù)列1+1，110百,a(3n2）的前n項和。答案：（1）當a 1時,Sn3 22n(2)當 a 1 時，Snn a n a3n2試一試1 求111 111111n個 11之和.簡析：由于與111n個 1999n個91 n9(101)an，分別求和.2.裂項求和法如果一個數(shù)列的每一項都能拆成兩項之差，在求和中，一般除首末兩項或附近幾項外, 抵消，那么這個數(shù)列的前其余各項先后常見類型：（1）ann項較易求出，在解決分數(shù)數(shù)列求和問題時經(jīng)常用到。=Jn 1Jn ； (2)n n 1an1 1 n(n 1) n例2求數(shù)列1 2 , 2 3 ,n(n 1)的前n項和。答案:6nSn n1 1 1例3 求數(shù)列, , 的前n項和.1<3 42 V4 Un Jn 2答案：Sn 2( n 2例4在數(shù)列an中，an又bn2an an 1,求數(shù)列bn的前n項的和.試一試1 :已知數(shù)列a n : an8(n 1)(n 3)求前n項和.1 1答案：Sn 4(23宀)4.錯位相