數(shù)列(08奧賽培訓(xùn))[1]2

1、數(shù)列南菁高級(jí)中學(xué) 夏建新 、等差等比數(shù)列問(wèn)題：1數(shù)列的概念：定義通項(xiàng)公式 遞推公式任何數(shù)列中an用Sn表示：an = sn Sn-（n）2、等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列（A.P.）等比數(shù)列（G.P.）定義an an - i=dan.q (qz 0)an i遞推公式an=an T+dan+i=2 an- an- i2 an an=a ni xq an +i= an-i通項(xiàng)公式an=ai+( n i)d、/ n ian=an i Xq中項(xiàng)iA=2(a+b)G=±ab前n項(xiàng)和SniiSn=2 n(ai+ an) = n ai+? n(n i)dai(qn i)Sn=(qz i)q iSn=n

2、ai(q=i)am與an的關(guān)系am = an +(m n)dam = an Xm n右 m+n= p+q(m, n, p, q N*)am + an = ap =+ aqam Xln = ap X3q1（ 07年全國(guó)競(jìng)賽）已知等差數(shù)列 的正有理數(shù)。若 ai= d, bi = d2,且an的公差d不為0，等比數(shù)列bn的公比q是小于1 專罟書是正整數(shù)，求q的值。解：因?yàn)?ai2+ 皤+ a32 = ai2+(ai + d)2+ (ai + 2d)2 =14_bi + b2 + b3bi+ biq+ bi q2i + q+ q2'令 i + q+ q2 =故由已知條件知道：i + q+ q2

3、為黑其中m為正整數(shù)。I4 m由于q是小于i的正有理數(shù)，所以i我 3,即55W i3且如是某個(gè)有理數(shù)的平i方，由此可知q= 2。3、(06年湖南競(jìng)賽)設(shè)an是正數(shù)數(shù)列，其前 n項(xiàng)和Sn滿足Sn = *an 1)(an + 3)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1(2) 令bn= S1，試求bn的前n項(xiàng)和Tn1解(1 )由 ai= Si= 4(ai 1)(ai + 3)及 an>0 得，ai = 3由 Sn = 4(an一 1)(an+ 3)得 Sn- 1 =14(an 1 1)(an 1+ 3)故 an=；(an2 an i2)+ 2(an an i) 即 2( an + an1)= (an

4、+ an 1)( an an 1)an + an 1 > 0an an 1= 2an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故an= 2n + 11 1 1 1(2) an= 2n + 1 Sn= n(n + 2)bn = &= 2(； 2)T111111Tn = bi+ b2 + + bn= 2【(1 3)+(2 - 4)+ + (n 一 衛(wèi))1,. 1 1 1 、=_ (1 + )2 2 n + 1 n + 24、(08年四川高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban 2n= (b 1)Sn(I)證明：當(dāng)b = 2時(shí)，an n 2n 1 是等比數(shù)列；(n)求an的通項(xiàng)公式【解】：

5、由題意知 ai = 2,且 ban 2n = (b 1)Sn, ban+i 21 = (b 1)Sn+i兩式相減得 b (an+1 an) 2n = (b 1)an+i 即 an+i= ban+ 2n(I)當(dāng) b= 2 時(shí)，由知 an+1= 2an + 2n于是 an+1 (n+ 1) 2n = 2an+ 2 n (n + 1) 2n= 2(an n 2n 1)又ai 1 2n 1= 1豐0,所以an n 2n 1 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列。(n)當(dāng) b= 2 時(shí)，由(I)知 an n 2n1= 2n 1,即卩 an= (n+ 1) 2 n 1AAb當(dāng) bz 2 時(shí)，由得 an+1 七

6、2n+i = ban+ 2n 七 2n+i= ban 2n= b®2 b2 b2 b一2一V 2n)。因此 an+1十 2n+1 = bn(ai-亡 2)=嘗bn1 一得 an = 2T【2n + (2 2b)bn 15、（ 07年湖北預(yù)賽）若數(shù)列an滿足:2ai=3，求 a2007.解 由an+ 1 an = " ：3(an+ l+ an)兩邊平方得 又 3(an一 an-1)2= 2(an+ an-1), 兩式相減，得3(an+1 一 an )2 = 2(an+1 + an),3(an + 1 an - 1)(an+ 1 2an + an一 1)= 2(an+ 1 an

7、 -1）2由a1= 3,求得a2= 2，又由遞推關(guān)系式易知數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1 an2 、,-1 工 0,故 3(an + 1 2an+ an-1)= 2,即(an +1 an) (an an- 1)= §,所以數(shù)列an+ 1 an是以4 2 2 2a2 a1 = 4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列， 所以an+1 an= 3(n + 1)，于是an= a1+ "(2 + 3 +1+ n) = -n(n + 1)，所以 a2007= 1343352.36、(07年第二屆南方杯)已知數(shù)列an中，a1=2,前n項(xiàng)之和為Sn。若(n2+ 1冋+1=(2n+ 1)Sn +

8、 n4+ 2n3+ 3n2+ 2n + 2，試求 Sn 及 an 的表達(dá)式。解：因?yàn)?an+ 1 = Sn+ 1 Sn,所以有(n2+ 1)(Sn+1 Sn)= (2n + 1)Sn+ n4+ 2n3+ 3n2+ 2n + 2,即(n2+ 1)Sn +1 (n2+ 2n + 2)Sn = n4+ 2n3+ 3n2+ 2n + 2, a (n2+ 1)Sn+1 (n + 1)2+ 1Sn= (n2+ 1)(n + 1)2+ 1,Sn +1SnSn所以(n+1)2+1 一x即n2+1是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列。由S1= a1 = 2及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得：2+ 1 = .2+ 1 + (n 1)=

9、n ,n十11十1所以 Sn= n (n2+ 1) (n = 1,2,3,)當(dāng) n > 2 時(shí)，an= Sn Sn-1 = n (n2+ 1) (n 1)(n 1)2+ 1 = 3n2 3n + 2當(dāng) n = 1 時(shí)，a1= 2 = 3X 12 3X 1 + 2。 總之，所求的 an = 3n2 3n + 2(n = 1,2,3,)。n nn n-7、 (08 湖南高考)數(shù)列an滿足 a1 = 1, a2= 2, an+2= (1 + cos) an + sin2- , n= 1, 2,3,(I )求a3, a4,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；a2n-1 亠1(n )設(shè) bn =, Sn =

10、b1 + b2 + + bn,證明：當(dāng) n6 時(shí)，| Sn 2|va2n'11 n解：(I )因?yàn)?a1 = 1, a2= 2 所以 a3= 2, a4= 4一般地，當(dāng) n = 2k 1(k N*)時(shí)，a2k +1 = (1 + cos2-!) a2k-1 + sin2"'"! = a2k +1 + 1, 即 a2k+ 1 a2k 1 = 1所以數(shù)列a2k-1是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k-1= k2k n=2k n當(dāng) n= 2k(k N*)時(shí)，a2k+ 2= (1 + cos"2 ) a2k + sin22 = 2a2k所以數(shù)列a2k

11、是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k= 2k故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =n + 12n22n= 2k 1(k N*)n = 2k(k N*)a2n1 n(n )由(I )知，bn= a2n =刁，Sn+=1+ 2n1Sn= *+ 尹22n+ 1-得，知=2+寺+1茹=11n+ 1所以Sn= 2中要證明當(dāng)n>6時(shí)，| Sn 2| v*成立，只需證明當(dāng) n>6時(shí)，皿號(hào)習(xí)< 1成立. 證法一,6(6 + 2) 3 .,、(1)當(dāng) n = 6 時(shí)，亠2'6_L = 4V 1 成立.k(k + 2)假設(shè)當(dāng)n = k(k> 6)時(shí)不等式成立，即尹 v 1則當(dāng)n =

12、k+ 1時(shí)，k(k+ 2) (k + 1)(k + 3) (k 土 1)(k 土 3)彳k xvv 12k 2k(k + 2) (k+ 2) 2k由(1)、(2)所述，當(dāng) n 36 時(shí)，n(r；土2)v 1。即當(dāng) n6 時(shí)，| Sn 2|v十證法二n(n + 2)(n +1)( n+ 3) n(n + 2)3 n2令 Cn =2*(n 3 6)，貝y Cn + 1 Cn=1土 1 V 0所以當(dāng)n 3時(shí),Cn+ 1V Cn。因此當(dāng)n紿時(shí),Cn V C6 =6(6 + 2) 3 .26 =3V1于是當(dāng)n為時(shí)，n(：+ 2)v 1綜上所述，當(dāng)n 3時(shí)，| Sn 2|v* 3n + 21)，其中入為實(shí)

13、數(shù)，n為正整數(shù).8、(08年湖北高考)已知數(shù)列an和bn滿足:bn= ( 1)n(an (I)對(duì)任意實(shí)數(shù) 入，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；(H)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(川)設(shè)0v avb, Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是否存在實(shí)數(shù) 入，使得對(duì)任意正整數(shù) n,都有a v SnV b?若存在，求 入的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由(湖北卷21)本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類討論的思想，考查綜合分析問(wèn)題的能力和推理認(rèn)證能力，(滿分14分)(I)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù) 人使an是等比數(shù)列，則有 a22= aia3,即24(3入一3) 2=入(9入一4)得

14、9= 0，矛盾.所以an不是等比數(shù)列2 2(n )解：因?yàn)?bn+1= (- 1)n +1 : an+1-3(n 1)+ 21= (- 1)n+Ygan 2n+ 14) = 3(- 1)n23n + 21)= §bn又 b1=(入+ 18),所以當(dāng)入=18, bn= 0(n N +)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列：、，bn + 12+當(dāng)入工一18時(shí)，b1 =(入+ 18)工0,由上可知bnM 0,二石 =3(n C N ).2故當(dāng)入工一18時(shí)，數(shù)列bn是以一(入+ 18)為首項(xiàng)，一3為公比的等比數(shù)列 (川)由(n)知，當(dāng) 匸一 18,bn= 0,Sn= 0,不滿足題目要求2 _爐18,故知b

15、n =(入 + 18) ( 3)n 1,于是可得33 2Sn = 5(稈 18 ) 1 (訥32要使av Snv b對(duì)任意正整數(shù) n成立，即av 5(入 + 18) 1 ( ?)n v b(n N+)得號(hào)v |(入 + 18)v1-(-2)nb1 - (-2)n2令 f (n)= 1 ( -)n,則55當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1 v f(n)< 3當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f(n)v 139 f(n)的最大值為f(1) = 5, f(n)的最小值為f(2) = 9 ,b 18v 入v- 3a 18933于是，得 5av 5(入 + 18) v 5b當(dāng)a v bw 3a時(shí)，由b 183a 18,不存在實(shí)數(shù)滿

16、足題目要求；當(dāng)b > 3a時(shí)，存在實(shí)數(shù) 人使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a v Snv b,且入的取值范圍是(18, 3a 18).、遞推數(shù)列（一）遞推數(shù)列的通項(xiàng)求法數(shù)列an中，若項(xiàng)an+ k與項(xiàng)an, an + 1,，an+ kT之間滿足函數(shù)關(guān)系式 F（an + k, an + k-1,，a n）= 0或a n +k = f （a n+ k-1, an+k-2,，a n）（ n > 1），則稱此關(guān)系式為 k階遞推式 （又叫遞歸式），由此遞推式和初始值 a 1, a2,，a k所確定的數(shù)列an稱為（k階）遞推數(shù) 列。特另U地， an +k = p1a n+ k- 1+ p2an+ k-

17、2+ p kan+Q （n）或 a n = p1a n-1 + p2a n-2+ pka n-k+Q （n k） （n > k, pi為常數(shù)且pk豐0,Q為函數(shù) 式）。當(dāng)Q三0時(shí)，稱為（k階）齊次常系數(shù)線性遞推式。當(dāng)Q三/ 0時(shí)，稱為（k階）非齊次常系 數(shù)線性遞推式。1、迭代法9、求數(shù)列a 1= 1, an+1= an + 2n的通項(xiàng)公式解：a n= a n-1 + 2n-1= an-2 + 2n-2+ 2n-1 = =a 1 + 2+ 22+ 2n-1 = 2n- 1 或 a n= a n-1 + 2n Xn 1 Xn-1 1Xn -2 1因此有 Xn+1 1 = X+1 = xn+1

18、； = (n+1)n(n- 1), a n-1 = an-2 + 2n 2,，a 2= a 1 + 2 相加得10、數(shù)列an中，a 1 = 1,且 an+1= 2an + 3x 5n，求 anan+1 2 anan2解： 5“ = 5 5n- 1 + 3，令 b n = 5“ -1，貝V bn+ 1 = 5b n + 3法一：由2bn = 5b n - 1 + 3,相減得b n+ 1 bn=|(bn-bn-1)22+法一：由 bn+1 5= 5(bn 5)得 b n 5=(5)n 1(b 1 5) an = 5n- 2n 1 (一般地，an+1 = pan+ q(n) p= 1 時(shí)易得 pz

19、1 且 q(n) =常數(shù)時(shí) an+1 a n= p(a n an-1)pz 1且q（n）工常數(shù)時(shí)令bn=器）11、an-1a (n > 3)。求 an解:數(shù)列an中，a1= 1, a2= 2，旦an-11 1 1戸=2喬。相乘可得an= 22-麗1an .an- 1 2 =()=' an-1 an-2(05年浙江預(yù)賽)已知數(shù)列 xn,滿足(n + 1)xn= xn+ n,且 X1= 2 ,則 X2005 =Xn 1【解】由(n + 1)Xn= Xn+ n ,推出Xn+1 1 =門十。12、X1- 1(n + 1)n(n 1)2 (n+ 1)!'即有Xn +1 =1(n +

20、 1)!從而可得2005!+ 1X2005 =2005!2、數(shù)學(xué)歸納法 13、（ 06年吉林預(yù)賽）設(shè)an為一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)列，a1= t, an+1 = 4an（1 - an）。求有多少個(gè)不同 的實(shí)數(shù)t使得a2006 = 0o解：當(dāng)t> 1時(shí)，a2v 0,由數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)任意 n >2,都有anv 0,故a2006z 0 當(dāng)tv 0時(shí)，類似地，對(duì)任意 n N* ,都有anv 0。因此只需考慮 0< t< 1的情形。n_設(shè) t = sin20(0<2)，貝U a2= sin22 B。用數(shù)學(xué)歸納法得an= sin 22n 10由 a2006= 0 得 sin222005

21、 0= 0, 0=蟲(k Z 且 0w k< 22004),共有 22004+ 1 個(gè) t3、特征根法設(shè)二階齊次常系數(shù)線性遞推式a n+ 2= pa n+1+ qa n（p、q為常數(shù)，qz 0），稱x2= Px + q為其特征方程，根為特征根。a>3,貝V an= A an+ B 目(A、B3a n + 2_ aa n+ 1 = pa n +1+ qa n _ 陽(yáng) n+ 1 =陽(yáng) n+1 _ a a n = 3(a n + 1 _ aa定理1:若二階齊次常系數(shù)線性遞推式有兩個(gè)不等的特征根 為初始值所確定的常數(shù)） 證明：p = a+3 ,q =_ an） an+1 _ aa n為等比

22、數(shù)列，得 a n+1 _ aan = （a 2_ a 1） 3 n 1n_2anan _1an = oan_1 + (a 2 a 1) 3， na,a 2 一 aa 1 a n _on -1 卜"2 （3）3a n 一 1.a=珥?？?1+a aa 'n _2a1+ a 2 a 11 ( 3)=:+a a1_ 3a 2 oa i.n .a 2陽(yáng) 1an = A a + B 3 (A =(、, B = _品)(a 一 3) a( a 一 3 3求裴波那契數(shù)列Fn : F1 = F2= 1, Fn + 2= Fn + 1 + Fn的通項(xiàng)公式。1 1用n = 1,2代入解方程得 A

23、 =B = _ ,. Fn = 乂5V5p, q為實(shí)數(shù)，a, 3是方程X2_ px+ q= 0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列Xn滿 xn= pxn _1 _ qxn_ 2 (n = 3,4,).(1)證明：oc+ 3= p , a = q ； ( 2)1(3)若p= 1, q = 4，求xn的前n項(xiàng)和Sn解：特征方程 x2= x + 1,特征根為 1 ±2，5, Fn= A(1+2'5)n + B(1 2'5)n1+ ；5 n ,1 5 n2 )n _ ( )n求數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式;(08廣東高考21)設(shè) 足 xi= p, X2= p2_ q,.3 + anan_ 114、已知數(shù)列

24、an中，a1 = a2= 1, a3= 2, an+1=(n > 3)。求 an解牛：an+ 1 an _ 2 = 3 + anan _1 , anan _ 3= 3+ an _1 a n_ 2, 相減彳得 an +1an _2一 anan_ 3= anan_1 an _1a n.bn= 3。故 an+ 1= 3an an _1 ,an+1 + an _1_2,令 bn='則 bn= bn_2。又 b1=b2=3,特征方程 x2= 3x_ 1 an= A(3；"5)n+ B(3；5)n，解得 A = 5-; 5, B= 5+； 5an =5-2.53+ 5 n 5+ 2

25、 5 3 - 5 于)+(亍)定理2、若齊次常系數(shù)線性遞推數(shù)列an+ k= pian+ k- l+ P2an+ k-2+ pkan的特征方程xk = Pixk 1 + P2Xk 2+ Pk有 k 個(gè)不同的特征根 a l、a 2、a k，貝V a n= A 1 a 1“+ A2 a 2“ + Aka kn （Ai、A2、Ak為初始值所確定的常數(shù) ）15、數(shù)列an中，ai= 1, a2= 2, a3= 3，且 an+3= 6an+2 11an+1+ 6an，求 an 解：特征方程 x3= 6x2- 11x + 6,三個(gè)根為1, 2, 31 1 11設(shè) an= A1+ A2 2n+ A3. 3n。列

26、方程得 A1 = - 2，A2=1，A3=- 6 -an=-2+ 2n-6 3n16、數(shù)列an中，a 1 = 1, a 2 = 2, an+2= 5a n+1- 6an + 2，求 a n解：(非齊次)設(shè) a n = bn + t，貝y bn + 2= 5b n+ 1 6b n - 2t + 2,設(shè)一2t + 2 = 0 得 t = 1 a n = b n + 1,且 b n+ 2= 5b n + 1- 6b n,特征方程 X2- 5x+ 6= 0 , X1, 2= 3 , 2易得 bn= 3n-1 - 2n-1 an = 3n-1-2n-1+ 14、不動(dòng)點(diǎn)法對(duì)于線性分式a n+ 1 =ran

27、 San t（t - r）2 + 4sm 0），求其通項(xiàng)公式可用不動(dòng)點(diǎn)法。X 2 S (*)得不動(dòng)點(diǎn)X1, 2 X tr t (t r)2 4s，由X1滿足(*),ran srx1 s-a n + 1 X1 =:an tX1 t相除得 an 1 X1 (an X1)(X2(an X1)(rt s)(ant)t)(X1 t)an 1X1an 1 X2(anX2)(X1t)an1 X2同理 an+ 1-X2 (anX2)(rt S)(an t)(X2 t)=(a1X1) (X2 t、n(a1X2) X1t)17、數(shù)列an中，a1= 2,an + 2an+1= 2an+ 1an解:x= 口 X =&

28、#177;2x 1an + 1- 1 =-旦21,an+1 + 1 =2an 13a n 32an 1an 11an 111 an 13 an 1anan18、已知數(shù)列an中,a1 = 3, an+1=( a n 1) 2+ 1,求證： akk 1,3n( 1)na n 3n( 1)n（二）遞推的應(yīng)用1、證明不等式22(an21)nakk 1a 2 a n=(2+ 1) (22+ 1) -(+ 1)n 12=(2 1) (2+ 1) (22 + 1)(2+ 1)=n22 1v 2219、設(shè) ao= 1, an= ，證明:an 1nan2“十2證明：(1990年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題)令 ao= tan £4(an- 1 1) 2= ( an-2 1) 21_, nan= tan 2門十 2.則可得 a1= tanf, a2= tan 磊，.-、.n因tanx在區(qū)間(0,)上有tanx >x成立,n n貝寸 an>tanF>2十2.2、計(jì)數(shù)問(wèn)題：21、某學(xué)生準(zhǔn)備用 20元錢來(lái)支付若干天的早點(diǎn)費(fèi)用，計(jì)劃每天早晨買一份早點(diǎn)，而食堂的早