一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系胡立豐教材分析1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（也稱韋達(dá)定理）是在學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法和根的判別式之后引入的，課標(biāo)要求通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)能運(yùn)用韋達(dá)定理由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和、兩根的平方和及兩根之差；教材通過(guò)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、x2推導(dǎo)出韋達(dá)定理，以及能夠建立以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的方程模型；是對(duì)前面知識(shí)的鞏固與深化，又為以后的知識(shí)打下基礎(chǔ)，它深化了兩根與系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，是方程理論的重要組成部分。2.韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一

2、個(gè)重要定理，這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)韋達(dá)定理的學(xué)習(xí)，把一元二次方程的研究推向了高級(jí)階段，運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，通過(guò)近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出：韋達(dá)定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來(lái)，形成難度系數(shù)較大的壓軸題。通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。學(xué)情分析1學(xué)生已學(xué)習(xí)用求根公式法解一元二次方程，但是有一部分在把一些較復(fù)雜一點(diǎn)的一元二次方程化為一元二次方程的一般形式的時(shí)候，要么常在去括號(hào)、移項(xiàng)或者合并同類項(xiàng)的時(shí)候出

3、問(wèn)題，要么就在解方程過(guò)程中不能正確代入各項(xiàng)系數(shù)；或者就在最后不會(huì)把計(jì)算結(jié)果化成最簡(jiǎn)單的形式；2本課的教學(xué)對(duì)象是初中三年級(jí)學(xué)生，學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征；3在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們?cè)诂F(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。2、能力目標(biāo)：通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)過(guò)

4、程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。3、情感目標(biāo)：通過(guò)情境教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。2、難點(diǎn)：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語(yǔ)言表述，以及由一個(gè)已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題引探 問(wèn)題1.在方程ax2+bx+c=0中，

5、a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？同學(xué)們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。問(wèn)題2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計(jì)算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？出示卡片問(wèn)題3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-8=0并根據(jù)問(wèn)題2和以上的求解填寫下表x1=_, x2=_,x1+x2=_,x1x2=_,請(qǐng)觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？問(wèn)題4.請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x

6、2與a、b、c之間的關(guān)系：_。問(wèn)題5.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語(yǔ)言敘述說(shuō)明。分小組討論以上的問(wèn)題，并作出推理證明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根為x1=，x2= 。則 x1+x2=+ = ；x1x2=·=. 1.有的學(xué)生很快就利用最簡(jiǎn)便的方法十字相乘法求出了 x2-5x+6=0的兩個(gè)根，也可以利用公式法解出此方程和“問(wèn)題3”中的兩個(gè)方程的根并在表中寫出兩個(gè)的和與積；2.學(xué)生寫出了方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，并再進(jìn)一步計(jì)算，求出用系數(shù)表示的兩根之和與兩根之積。3.由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，教師進(jìn)一步引導(dǎo)，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述這種關(guān)系，來(lái)

7、加深理解和記憶。 1、本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。2、本設(shè)計(jì)遵循由特殊到一般，從實(shí)踐到理論（即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)）的認(rèn)知規(guī)律。3、本設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的反思過(guò)程，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化、格式化。 探索發(fā)現(xiàn)問(wèn)題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？（引導(dǎo)學(xué)生反思性小結(jié)） 二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況；當(dāng)a0，b2

8、-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。 1.學(xué)生交流探討 “問(wèn)題6”設(shè)計(jì)的目的是繼續(xù)深入研究當(dāng)一元二次方程的各系數(shù)為何值時(shí)，一元二次方程的根又存在哪些特殊的情況。 嘗試發(fā)展 1.（試一試）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ ； x1x2= _ （2）5x2+x-2=0 x1+x2= _； x1x2= _ （3）5x2+kx-6=0 x1+x2=_； x1x2= _ 2.（嘗試題）已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為-1，求它的另一個(gè)根及k的值。3.（嘗試題）不求

9、出根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個(gè)根的：（1）平方和，（2）倒數(shù)和。討論：解上面問(wèn)題的思路是什么？ 1.學(xué)生自己分析解決第2題，接受新知識(shí)能力強(qiáng)的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)時(shí)候就得到了一個(gè)關(guān)于另一個(gè)根和k的二元一次方程組。然后一學(xué)生板演，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。2.教師提示在第3題第（1）問(wèn)中利用配方法，學(xué)生根據(jù)提示得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; 1、“試一試”是引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（2）小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性；（3）小題是起過(guò)渡作用設(shè)計(jì)。2、第2題和第3題都是嘗試題，可以讓學(xué)生討論完成或獨(dú)立完成，

10、可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。拓展創(chuàng)新 1、以上第2題中能否求（x1x2）的值？2、已知實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且ab，能否求a+b與ab的值？教師提示第1題：( x1-x2)2=x12+ x22-2 x1x學(xué)生根據(jù)上述關(guān)系式算出結(jié)果后，再兩邊同時(shí)開平方?！巴卣箘?chuàng)新”中是培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性教學(xué)設(shè)計(jì)，也是開放性教學(xué)，使有的學(xué)生的奇異思維得到發(fā)展。師生共同歸納 小結(jié) 教師提問(wèn)：本課主要研究了什么？ 在教師提示下，學(xué)生回答：1、方程的根是由系數(shù)決定的；2、a0時(shí)，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。4、b2

11、-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關(guān)代數(shù)式的值。本設(shè)計(jì)的目的是幫助學(xué)生回憶本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容，加深對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解，初步掌握方程理論的應(yīng)用。 布置作業(yè) P43第7題（1）、（3）小題；補(bǔ)充：1、已知關(guān)于x的方程x22mx+ m2=0.其中x1、x2分別是一個(gè)等腰三角形的腰和底邊的長(zhǎng). （1）求證這個(gè)方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根差的絕對(duì)值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)。3、已知關(guān)于x的方程x23x-8=0的兩根分別是x1、x2，求：（1）x1 - x2的值；（2）x12 + x2 2的值

12、 通過(guò)作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)的內(nèi)容，掌握一元二次方程關(guān)于兩根的變式。 板書設(shè)計(jì)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2+bx+c=0（a0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。問(wèn)題6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用嗎？二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程；當(dāng)a0時(shí)，b=0，a、c異號(hào)，方程兩根互為相反數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，=b2-4ac可判定根的情況；當(dāng)a0，b2-4ac0時(shí)，x1+x2=，x1x2=。 當(dāng)a0，c=0時(shí)，方程必有一根為0。教學(xué)反思胡立豐1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ)。2.在教學(xué)過(guò)程中，基本上達(dá)到了教學(xué)目的，但是在學(xué)生利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行一元二次方程兩根平方和的計(jì)算的時(shí)候，出現(xiàn)了一些問(wèn)題，主要是不會(huì)進(jìn)行配方，對(duì)以前所學(xué)的完全平方公式?jīng)]有完全掌握，平時(shí)針對(duì)這方面的訓(xùn)練也較少，因此今后還要加強(qiáng)這樣面的訓(xùn)練，把前后知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。3.在以前的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們習(xí)慣于教師講，學(xué)生聽，學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)較少，我們先把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系告訴學(xué)生，之后再進(jìn)行驗(yàn)證，