【薦】二項(xiàng)式定理(知識(shí)例題習(xí)題講解)

1、二項(xiàng)式定理一、知識(shí)梳理1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ).2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計(jì)算等.二、例題分析例1. 如果在（+）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).例2. 求式子（x+2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng).思考（1）求（1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；（2）求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50的展開式中x3的系數(shù).解：（1）原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為（1）4C1

2、=14.（2）（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C·（1）4=1120.（3）方法一：原式=.展開式中x3的系數(shù)為C.方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C.評(píng)述：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵.例3. 設(shè)an=1+q+q2+q（nN*，q±1），An=Ca1+Ca2+Can.（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)3<q<1時(shí)，求.例4 求（a2b3c）10的展開式中含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù).三、同步練習(xí)1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩

3、燈不亮的可能性的種數(shù)為A.20 B.219C.220D.22012.（2004年福建，文9）已知（x）8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1x)5(1x)6的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )(A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 104.(05山東)如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）5.(05重慶卷)8. 若展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為-5，則n等于( ) (A) 4；(B) 5；(C) 6；(D) 10。6. (05重慶

4、卷)在(1+2x)n展開式中含x3的項(xiàng)的系數(shù)等于含x的項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于( ) (A) 5；(B) 7；(C) 9；(D) 11。7.（05全國卷）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 。（用數(shù)字作答）8.（2004年全國，13）（x）8展開式中x5的系數(shù)為_.9.（2004年湖南，理15）若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_.10.已知（x+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，求x的值.11.若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10.12.在二項(xiàng)式（axm+b

5、xn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).（1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求的范圍.13.在二項(xiàng)式（+）n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).14.求證：2<（1+）n<3（n2，nN*）.參考答案基本訓(xùn)練: BCA 4. 35 5. 11例1.解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，由題意得2×=1+，得n=8.設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=.評(píng)述：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r.例2.解

6、法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：三個(gè)括號(hào)中全取2，得（2）3；一個(gè)括號(hào)取x，一個(gè)括號(hào)取，一個(gè)括號(hào)取2，得CC（2）=12，常數(shù)項(xiàng)為（2）3+（12）=20.解法二：（|x|+2）3=（）6.設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則T=C·（1）r·（）r·|x|=（1）6·C·|x|，得62r=0，r=3.T3+1=（1）3·C=20.例3.解：（1）因?yàn)閝1，所以an=1+q+q2+q=.于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n.（2）=1（）

7、n.因?yàn)?<q<1，且q1，所以0<| |<1.所以=.例4.解：（a2b3c）10=（a2b3c）（a2b3c）（a2b3c），從10個(gè)括號(hào)中任取3個(gè)括號(hào)，從中取a；再從剩余7個(gè)括號(hào)中任取4個(gè)括號(hào)，從中取2b；最后從剩余的3個(gè)括號(hào)中取3c，得含a3b4c3的項(xiàng)為Ca3C·（2b）4C（3c）3=CCC（3）3a3b4c3.所以含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù)為CC×16×27.同步練習(xí)16 DCDCC A 7.672 8. 28 9. 9 10. 11. （1）-65； （2） -32.12. 解：（1）設(shè)T=C（axm）12r·（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5項(xiàng).（2）第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，有Ca8b4Ca9b3， Ca8b4Ca7b5. 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即.由得，.13.解：前三項(xiàng)系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）.T=C（）8r（2）r=C··x.4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8.展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9= x2.14.證明：（1+）n=C+C× +C（）2+C（）n=1+1+C