第7章_矩量法

1、第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法第第 7 章章 矩矩 量量 法法 本章基于加權(quán)余量法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，闡明了矩量法的由來，并逐一討論本章基于加權(quán)余量法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，闡明了矩量法的由來，并逐一討論了常用的點匹配、伽遼金和最小二乘法等各種計算模式。限于矩量法基本了常用的點匹配、伽遼金和最小二乘法等各種計算模式。限于矩量法基本概念與應(yīng)用的考慮，本方法以靜態(tài)電場為分析研究對象，采用點匹配法計概念與應(yīng)用的考慮，本方法以靜態(tài)電場為分析研究對象，采用點匹配法計算模式，結(jié)合典型示例給出了方法實際應(yīng)用全過程的闡述。此外，專題討算模式，結(jié)合典型示例給出了方法實際應(yīng)用全過程的闡述。此外，專題討論了伽遼金有限元法與基于變

2、分原理的有限元法之間的等價性。論了伽遼金有限元法與基于變分原理的有限元法之間的等價性。 7.1 概述概述 矩量法（矩量法（The Method of Moments，簡稱，簡稱MOM），是近年來在天線、），是近年來在天線、微波技術(shù)和電磁波散射等方面廣泛應(yīng)用的一種方法。從這些實際工程問題微波技術(shù)和電磁波散射等方面廣泛應(yīng)用的一種方法。從這些實際工程問題涉及開域、激勵場源分布形態(tài)較為復(fù)雜等特征出發(fā)，矩量法是將待求的積涉及開域、激勵場源分布形態(tài)較為復(fù)雜等特征出發(fā)，矩量法是將待求的積分方程問題轉(zhuǎn)化為一個矩陣方程問題，借助于計算機，求得其數(shù)值解，從分方程問題轉(zhuǎn)化為一個矩陣方程問題，借助于計算機，求得其數(shù)值

3、解，從而在所得激勵源分布的數(shù)值解基礎(chǔ)上，即可算出輻射場的分布及其波阻抗而在所得激勵源分布的數(shù)值解基礎(chǔ)上，即可算出輻射場的分布及其波阻抗等特性參數(shù)。等特性參數(shù)。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 矩量法的數(shù)學(xué)處理過程可以采用加權(quán)余量法或定義泛函內(nèi)積等方法展矩量法的數(shù)學(xué)處理過程可以采用加權(quán)余量法或定義泛函內(nèi)積等方法展開開R。F. Harrington對用矩量法求解電磁場問題作了全面和深入的分析，其對用矩量法求解電磁場問題作了全面和深入的分析，其經(jīng)典著作已于經(jīng)典著作已于1968年出版年出版1 。為從數(shù)學(xué)意義上，既能理解通常矩量法構(gòu)。為從數(shù)學(xué)意義上，既能理解通常矩量法構(gòu)造的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又能把握其他數(shù)值

4、計算方法與之相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，本書采造的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，又能把握其他數(shù)值計算方法與之相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，本書采用加權(quán)余量法的概念來說明矩量法。加權(quán)余量法（用加權(quán)余量法的概念來說明矩量法。加權(quán)余量法（The Method of Weighted Residuals）的概念首先由）的概念首先由S.H.Crandall2在在1956年提出。他將由積分、微年提出。他將由積分、微分方程離散化為矩陣方程（代數(shù)方程組）的方法，統(tǒng)一歸結(jié)為加權(quán)余量法，分方程離散化為矩陣方程（代數(shù)方程組）的方法，統(tǒng)一歸結(jié)為加權(quán)余量法，由此構(gòu)成各種近似計算方法統(tǒng)一的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并已在力學(xué)問題中得到廣泛由此構(gòu)成各種近似計算方法統(tǒng)一的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并已

5、在力學(xué)問題中得到廣泛應(yīng)用。應(yīng)用。 本章著意于矩量法基本概念與應(yīng)用的闡述，因此將僅限于討論方法在靜本章著意于矩量法基本概念與應(yīng)用的闡述，因此將僅限于討論方法在靜態(tài)電場中由點匹配法構(gòu)造的計算模式，關(guān)于在天線輻射場、導(dǎo)體渦流場和散態(tài)電場中由點匹配法構(gòu)造的計算模式，關(guān)于在天線輻射場、導(dǎo)體渦流場和散射場等時諧場中矩量法的應(yīng)用，讀者可參閱參考文獻射場等時諧場中矩量法的應(yīng)用，讀者可參閱參考文獻3、4。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.2 矩量法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩量法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 設(shè)給定邊值問題的場方程（微分方程或積分方程）統(tǒng)一表述為如下的設(shè)給定邊值問題的場方程（微分方程或積分方程）統(tǒng)一表

6、述為如下的算子方程，即算子方程，即已知邊界條件為已知邊界條件為和和 式中，式中，L (為線性算子就微分方程而言，如對應(yīng)于靜電場的泊松方程，為線性算子就微分方程而言，如對應(yīng)于靜電場的泊松方程，若給定激勵源項若給定激勵源項g = -/0，則應(yīng)有，則應(yīng)有L = 2；就積分方程而言，如對應(yīng)于靜電；就積分方程而言，如對應(yīng)于靜電場中帶電導(dǎo)線場中帶電導(dǎo)線l上的線電荷密度上的線電荷密度（r）分布問題，則若給定激勵源項）分布問題，則若給定激勵源項g = ，即給定該導(dǎo)線的電位，便應(yīng)有即給定該導(dǎo)線的電位，便應(yīng)有 為已知函數(shù)；為已知函數(shù)；u為待求函數(shù)。很明顯，若為待求函數(shù)。很明顯，若u為精確解，則場方程（為精確解，則

7、場方程（7-1a）和邊界條件（）和邊界條件（7-1b）、（）、（7-1c）應(yīng)該完全滿足，但是如果現(xiàn)在構(gòu)造一個由有限個線性無關(guān)函）應(yīng)該完全滿足，但是如果現(xiàn)在構(gòu)造一個由有限個線性無關(guān)函數(shù)數(shù)Ni（i=1，2，n）所組成的基函數(shù)集合）所組成的基函數(shù)集合N，并令其滿足總體邊界條，并令其滿足總體邊界條件（件（7-1b）、（）、（7-1c），借以展開得待求函數(shù)），借以展開得待求函數(shù)u的近似解為的近似解為 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法則因近似解則因近似解 近似滿足場方程，故把上式代入式（近似滿足場方程，故把上式代入式（7-1a）必有誤差存在，）必有誤差存在，或稱之為有余量，記作或稱之為有余量，記作 ，

8、即，即 這里，如果選用不同的函數(shù)構(gòu)造方法，使余量這里，如果選用不同的函數(shù)構(gòu)造方法，使余量 在某種平均意在某種平均意義上取零值，便可相應(yīng)獲得不同的求解方法。作為一般性的討論，應(yīng)令余義上取零值，便可相應(yīng)獲得不同的求解方法。作為一般性的討論，應(yīng)令余量加權(quán)求積后取零值，換句話說，取一個歸屬于試探函數(shù)的權(quán)函數(shù)集合量加權(quán)求積后取零值，換句話說，取一個歸屬于試探函數(shù)的權(quán)函數(shù)集合W，令，令上式系由上式系由n個方程構(gòu)成的方程組，它等價于人為地強制近似解個方程構(gòu)成的方程組，它等價于人為地強制近似解 ，使其因不，使其因不能精確地滿足場方程而導(dǎo)致的誤差在平均的含義上等于零。按式（能精確地滿足場方程而導(dǎo)致的誤差在平均的

9、含義上等于零。按式（7-4）展開，）展開，所構(gòu)成的各種求解積分或微分方程近似解的方法可被統(tǒng)稱為加權(quán)余量法。因所構(gòu)成的各種求解積分或微分方程近似解的方法可被統(tǒng)稱為加權(quán)余量法。因為按給定權(quán)函數(shù)為按給定權(quán)函數(shù)Wj展開的式（展開的式（7-4），即意味著余量），即意味著余量 對對Wj取矩取矩的一組平衡式，故式（的一組平衡式，故式（7-4）的構(gòu)造亦就被稱為矩量法。由此可見，矩量法和）的構(gòu)造亦就被稱為矩量法。由此可見，矩量法和加權(quán)余量法屬于同一數(shù)學(xué)描述，在本章中，往后將一概采用矩量法的稱謂。加權(quán)余量法屬于同一數(shù)學(xué)描述，在本章中，往后將一概采用矩量法的稱謂。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法基于加權(quán)余量式（

10、基于加權(quán)余量式（7-4），進行移項處理，便得），進行移項處理，便得將式（將式（7-2）代入上式左端，注意到其中）代入上式左端，注意到其中ui不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，且不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，且L為線性算為線性算子，所以有子，所以有為了書寫方便，令為了書寫方便，令 和和即記作內(nèi)積即記作內(nèi)積，的表達方式。這樣，按式（的表達方式。這樣，按式（7-6），式（），式（7-5）便可簡寫成）便可簡寫成 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法這樣，即展開成含這樣，即展開成含n個未知數(shù)個未知數(shù)ui的的n個方程。若用矩陣形式表示，則有個方程。若用矩陣形式表示，則有式中，系數(shù)矩陣為式中，系數(shù)矩陣為其元素其元素lji=Wj，L

11、（Ni）；以及兩列向量分別為）；以及兩列向量分別為其中右端項列向量其中右端項列向量g的元素的元素gj=Wj，g。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 至此，通過矩量法已將算子方程（至此，通過矩量法已將算子方程（7-1）轉(zhuǎn)化為如式（）轉(zhuǎn)化為如式（7-7）或（）或（7-8）所示）所示的代數(shù)方程組。從而，在基函數(shù)的代數(shù)方程組。從而，在基函數(shù)N構(gòu)造的基礎(chǔ)上，進一步選定權(quán)函數(shù)構(gòu)造的基礎(chǔ)上，進一步選定權(quán)函數(shù)W，就可計算出，就可計算出l和和g中的各個元素，并由此解出待求函數(shù)中的各個元素，并由此解出待求函數(shù)u的離的離散解散解ui（i=1，2，n）。顯然，原則上，只要增加所構(gòu)造的基函數(shù)的項數(shù)）。顯然，原則上，只

12、要增加所構(gòu)造的基函數(shù)的項數(shù)n，將保證近似解將保證近似解 收斂于精確解收斂于精確解n。 7.2.1 基函數(shù)基函數(shù)N的構(gòu)造的構(gòu)造 前已指出，待求函數(shù)前已指出，待求函數(shù)u的近似解的近似解 可以通過構(gòu)造彼此線性無關(guān)的基函數(shù)集可以通過構(gòu)造彼此線性無關(guān)的基函數(shù)集合合N，由式（，由式（7-2）所示的級數(shù)展開式來逼近。顯然，近似解的收斂性、）所示的級數(shù)展開式來逼近。顯然，近似解的收斂性、穩(wěn)定性和所需的計算量等均和所取的基函數(shù)有關(guān)。取決于不同的具體問題的穩(wěn)定性和所需的計算量等均和所取的基函數(shù)有關(guān)。取決于不同的具體問題的特征，可以選取不同類型的基函數(shù)?？傮w說來，基函數(shù)可以區(qū)分為如下整域特征，可以選取不同類型的基函

13、數(shù)?？傮w說來，基函數(shù)可以區(qū)分為如下整域基和分域基兩大類：基和分域基兩大類： （1）整域基：）整域基：系指在算子系指在算子L的定義域內(nèi)，即待求函數(shù)的定義域內(nèi)，即待求函數(shù)u的定義域內(nèi)都有定義的定義域內(nèi)都有定義的基函數(shù)，通常應(yīng)用的有：的基函數(shù)，通常應(yīng)用的有：1）傅里葉級數(shù)）傅里葉級數(shù)k（x）=cosk；sink。由此待求函數(shù)。由此待求函數(shù) 可表示為可表示為 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法2）馬克勞林級數(shù)）馬克勞林級數(shù)xk。相應(yīng)的待求函數(shù)。相應(yīng)的待求函數(shù) 可表示為可表示為3）勒讓特多項式）勒讓特多項式Pk（x）。相應(yīng)的待求函數(shù)）。相應(yīng)的待求函數(shù) 可表示為可表示為 式中，勒讓特多項式式中，勒讓特多

14、項式 （2）分域基：）分域基：系指在待求函數(shù)系指在待求函數(shù)u的定義域中相應(yīng)子域內(nèi)才有定義的基函數(shù)，的定義域中相應(yīng)子域內(nèi)才有定義的基函數(shù)，通常應(yīng)用的有：通常應(yīng)用的有： 1）一維階梯狀插值）一維階梯狀插值脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)i（x）。如圖）。如圖7-1a所示，在函數(shù)所示，在函數(shù)u（x）的各個子區(qū)間（的各個子區(qū)間（xi-1/2，xi+1/2）內(nèi)分別取中值為基準(zhǔn)插值。這樣，整體綜合即）內(nèi)分別取中值為基準(zhǔn)插值。這樣，整體綜合即在全域構(gòu)成階梯狀的插值形態(tài)，其對應(yīng)的分域基函數(shù)集合為在全域構(gòu)成階梯狀的插值形態(tài)，其對應(yīng)的分域基函數(shù)集合為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法函數(shù)圖形如圖函數(shù)圖形如圖7-1b所示，通常稱

15、之為脈沖函數(shù)。由此待求函數(shù)所示，通常稱之為脈沖函數(shù)。由此待求函數(shù) 可展開為可展開為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法2）一維分段線性插值）一維分段線性插值 三角形函數(shù)三角形函數(shù)Ti（x）。如圖）。如圖7-2a所示，在函數(shù)所示，在函數(shù)u（x）的各個子區(qū)間內(nèi)分別以通過相應(yīng)樣點的線性關(guān)系來逼近原函數(shù)的）的各個子區(qū)間內(nèi)分別以通過相應(yīng)樣點的線性關(guān)系來逼近原函數(shù)的連續(xù)變化，即整體綜合成全域的折線狀分段連續(xù)逼近形態(tài)。這時，根據(jù)連續(xù)變化，即整體綜合成全域的折線狀分段連續(xù)逼近形態(tài)。這時，根據(jù)相鄰兩樣點之間的函數(shù)線性變化關(guān)系，即近似函數(shù)相鄰兩樣點之間的函數(shù)線性變化關(guān)系，即近似函數(shù)可以推得對應(yīng)的分域基函數(shù)集合為可

16、以推得對應(yīng)的分域基函數(shù)集合為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法函數(shù)圖形如圖函數(shù)圖形如圖7-2b所示，通常稱之為三角形函數(shù)。這樣，待求函數(shù)所示，通常稱之為三角形函數(shù)。這樣，待求函數(shù) 可展可展開為開為按上式，由三角形函數(shù)為基函數(shù)所構(gòu)成的待求函數(shù)按上式，由三角形函數(shù)為基函數(shù)所構(gòu)成的待求函數(shù)u（x）的分段連續(xù)逼近形態(tài)，）的分段連續(xù)逼近形態(tài)，如圖如圖7-2c所示。所示。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法3）三角元剖分線性插值。對應(yīng)于在平面域）三角元剖分線性插值。對應(yīng)于在平面域D內(nèi)定義的待求函數(shù)內(nèi)定義的待求函數(shù)u（x，y）的逼）的逼近，在第近，在第5章中，已經(jīng)給出了常用的由三角元分片拼合、整體插值函數(shù)

17、構(gòu)造呈章中，已經(jīng)給出了常用的由三角元分片拼合、整體插值函數(shù)構(gòu)造呈寶石般表面形態(tài)的近似方法。這時，所采用的基函數(shù)即是三節(jié)點三角元的形狀寶石般表面形態(tài)的近似方法。這時，所采用的基函數(shù)即是三節(jié)點三角元的形狀函數(shù)函數(shù) 和和 式（式（5-35）。于是，三角）。于是，三角元中任意點的待求函數(shù)可展開成元中任意點的待求函數(shù)可展開成 十分明顯，上述分域基都具有十分明顯，上述分域基都具有“局部化局部化”的特點，即其只在一個局部范的特點，即其只在一個局部范圍內(nèi)不為零，其余全為零。這樣，離散的節(jié)點值的變化將只直接影響到與其圍內(nèi)不為零，其余全為零。這樣，離散的節(jié)點值的變化將只直接影響到與其相銜接的子域，從而保證了當(dāng)節(jié)點

18、數(shù)相銜接的子域，從而保證了當(dāng)節(jié)點數(shù)n遞增時插值過程的數(shù)值穩(wěn)定性。應(yīng)指遞增時插值過程的數(shù)值穩(wěn)定性。應(yīng)指出，若采用三階以上的高階插值函數(shù)，則由于它不具有局部化特點，因此，出，若采用三階以上的高階插值函數(shù)，則由于它不具有局部化特點，因此，不僅計算不很方便，而且數(shù)值穩(wěn)定性也較差，故不宜應(yīng)用。不僅計算不很方便，而且數(shù)值穩(wěn)定性也較差，故不宜應(yīng)用。 一般地說，分域基的數(shù)值穩(wěn)定性較高，而整域基的收斂性較好。當(dāng)所選一般地說，分域基的數(shù)值穩(wěn)定性較高，而整域基的收斂性較好。當(dāng)所選用的基函數(shù)和實際解答愈接近時，收斂愈快，所以基函數(shù)的選擇應(yīng)結(jié)合場的用的基函數(shù)和實際解答愈接近時，收斂愈快，所以基函數(shù)的選擇應(yīng)結(jié)合場的定性分

19、析。定性分析。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.2.2 權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)W的選取的選取 在加權(quán)余量式（在加權(quán)余量式（7-4）中，很明顯，不同類型的權(quán)函數(shù)的選擇，將決定算）中，很明顯，不同類型的權(quán)函數(shù)的選擇，將決定算子方程的余量式（子方程的余量式（7-3）在不同的意義下取零值，從而可得各種不同計算）在不同的意義下取零值，從而可得各種不同計算模式的矩量法，現(xiàn)擇要分別討論如下：模式的矩量法，現(xiàn)擇要分別討論如下：（1）點匹配法）點匹配法若選取狄拉克若選取狄拉克函數(shù)為權(quán)函數(shù)，即令函數(shù)為權(quán)函數(shù)，即令 式中，狄拉克式中，狄拉克函數(shù)定義為函數(shù)定義為該函數(shù)的重要特性是：對于任一在該函數(shù)的重要特性是：對于任一在

20、r =rj處連續(xù)的函數(shù)處連續(xù)的函數(shù)f（r），應(yīng)有），應(yīng)有第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法因而可知矩量法方程（因而可知矩量法方程（7-8）中相應(yīng)矩陣元素的計算結(jié)果為）中相應(yīng)矩陣元素的計算結(jié)果為 和和由此表明由此表明lji和和gj的計算歸結(jié)為只需計算的計算歸結(jié)為只需計算 所在點處的對應(yīng)值，因此稱這種方所在點處的對應(yīng)值，因此稱這種方法為點匹配法。位矢法為點匹配法。位矢 所對應(yīng)的點即稱為離散點（也稱為匹配點）。根據(jù)所對應(yīng)的點即稱為離散點（也稱為匹配點）。根據(jù)場的惟一性定理，應(yīng)將這些離散點場的惟一性定理，應(yīng)將這些離散點 選取在相應(yīng)的定解條件所在的位置上，選取在相應(yīng)的定解條件所在的位置上，如選取在給定

21、電位值的電極表面上；或選取在不同媒質(zhì)的分界面上，令其滿如選取在給定電位值的電極表面上；或選取在不同媒質(zhì)的分界面上，令其滿足相應(yīng)的邊界條件。足相應(yīng)的邊界條件。 本章主題即在于運用這類計算模式的矩量法，對此將在下一節(jié)中詳細本章主題即在于運用這類計算模式的矩量法，對此將在下一節(jié)中詳細展開闡述。展開闡述。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法（2）伽遼金法）伽遼金法若權(quán)函數(shù)選為基函數(shù)，即令若權(quán)函數(shù)選為基函數(shù)，即令則構(gòu)成伽遼金計算模式。設(shè)滿足邊界條件的近似函數(shù)則構(gòu)成伽遼金計算模式。設(shè)滿足邊界條件的近似函數(shù) 由式（由式（7-2）給定，）給定，則基于加權(quán)余量式（則基于加權(quán)余量式（7-4），按式（），按式（7-

22、6）的推演，即可得出如下伽遼金法所）的推演，即可得出如下伽遼金法所對應(yīng)的方程組對應(yīng)的方程組 由此可求出各個待定系數(shù)由此可求出各個待定系數(shù)ui，代入式（，代入式（7-2）便得待求函數(shù)）便得待求函數(shù)u的近似解的近似解 。誠。誠如第如第5章中已經(jīng)指出，基于伽遼金計算模式離散化，在有限單元分析基礎(chǔ)上總章中已經(jīng)指出，基于伽遼金計算模式離散化，在有限單元分析基礎(chǔ)上總體合成的伽遼金有限元法，已不再局限于傳統(tǒng)的有限元法源于泛函極值問題體合成的伽遼金有限元法，已不再局限于傳統(tǒng)的有限元法源于泛函極值問題的導(dǎo)出基礎(chǔ)。本章將在的導(dǎo)出基礎(chǔ)。本章將在7.4節(jié)中專門闡述伽遼金有限元法。節(jié)中專門闡述伽遼金有限元法。第第 7

23、7 章章 矩矩 量量 法法（3）最小二乘法）最小二乘法若權(quán)函數(shù)選為余量本身，即令若權(quán)函數(shù)選為余量本身，即令則就構(gòu)成最小二乘法的計算模式。最小二乘法在函數(shù)的逼近，最優(yōu)化問題等方則就構(gòu)成最小二乘法的計算模式。最小二乘法在函數(shù)的逼近，最優(yōu)化問題等方面都有著廣泛的應(yīng)用。最小二乘法是通過定義目標(biāo)函數(shù)面都有著廣泛的應(yīng)用。最小二乘法是通過定義目標(biāo)函數(shù)F為余量平方和，求取為余量平方和，求取極小值的一種方法，即有極小值的一種方法，即有現(xiàn)將余量現(xiàn)將余量 及及 代入上式，則代入上式，則F便成為待定系數(shù)便成為待定系數(shù)uj的多元函數(shù)。這樣，由式（的多元函數(shù)。這樣，由式（7-27）給出的目標(biāo)函數(shù)）給出的目標(biāo)函數(shù)F的極值問

24、題即歸結(jié)為一的極值問題即歸結(jié)為一個多元函數(shù)的極值問題，其必要條件是個多元函數(shù)的極值問題，其必要條件是由于由于uj不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，故上式可展成不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，故上式可展成第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法換句話說，最小二乘法的離散化計算模式可歸結(jié)為以下的代數(shù)方程組：換句話說，最小二乘法的離散化計算模式可歸結(jié)為以下的代數(shù)方程組：對照加權(quán)余量式（對照加權(quán)余量式（7-4），顯然，這相當(dāng)于對權(quán)函數(shù)采取如式（），顯然，這相當(dāng)于對權(quán)函數(shù)采取如式（7-26）給出的）給出的定義，因而此處矩量法的計算模式即與最小二乘法等價。定義，因而此處矩量法的計算模式即與最小二乘法等價。 在實際應(yīng)用中，當(dāng)然還可有其他

25、權(quán)函數(shù)選擇的方法，例如在將場域剖在實際應(yīng)用中，當(dāng)然還可有其他權(quán)函數(shù)選擇的方法，例如在將場域剖分成許多子域的條件下，若在相應(yīng)子域內(nèi)定義權(quán)函數(shù)為常數(shù)分成許多子域的條件下，若在相應(yīng)子域內(nèi)定義權(quán)函數(shù)為常數(shù)1，就可構(gòu)成子，就可構(gòu)成子域匹配法等等。域匹配法等等。 綜上所述，在矩量法中，不僅待求函數(shù)可用不同的基函數(shù)展開，而且相綜上所述，在矩量法中，不僅待求函數(shù)可用不同的基函數(shù)展開，而且相應(yīng)的權(quán)函數(shù)也可有不同的選擇。很明顯，基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的不同配合對待求應(yīng)的權(quán)函數(shù)也可有不同的選擇。很明顯，基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的不同配合對待求物理場問題所需的計算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都將有不物理場問題所需的計算工作量

26、，以及所得解答是否符合要求等方面都將有不同的影響。就算子方程為積分方程而言，雖然分域基的數(shù)值穩(wěn)定性較高，而同的影響。就算子方程為積分方程而言，雖然分域基的數(shù)值穩(wěn)定性較高，而且計算工作量也較少，但其光滑性較差，對某些積分方程并不適用。例如，且計算工作量也較少，但其光滑性較差，對某些積分方程并不適用。例如，若在積分方程中存在有對待求函數(shù)的微分運算，則顯然不能選用脈沖函數(shù)作若在積分方程中存在有對待求函數(shù)的微分運算，則顯然不能選用脈沖函數(shù)作為基函數(shù)，但在描述靜電場問題的積分方程中，卻沒有微分運算，因而對基為基函數(shù)，但在描述靜電場問題的積分方程中，卻沒有微分運算，因而對基函數(shù)的選擇就沒有這一限制。函數(shù)的

27、選擇就沒有這一限制。 對于靜電場問題，在采用分域基的場合下，因選取脈沖函數(shù)為基函數(shù)，對于靜電場問題，在采用分域基的場合下，因選取脈沖函數(shù)為基函數(shù)，計算過程比較簡單；此外，在權(quán)函數(shù)選擇的多種方案中，又以點匹配法最為簡計算過程比較簡單；此外，在權(quán)函數(shù)選擇的多種方案中，又以點匹配法最為簡捷，故由此構(gòu)成的矩量法在靜電場問題的求解中得到了有效的應(yīng)用。捷，故由此構(gòu)成的矩量法在靜電場問題的求解中得到了有效的應(yīng)用。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.3 點匹配法與典型算例點匹配法與典型算例 本節(jié)討論應(yīng)用于靜電場（均勻介質(zhì)）問題中的矩量法。如前所述，本方法本節(jié)討論應(yīng)用于靜電場（均勻介質(zhì)）問題中的矩量法。如前

28、所述，本方法采用點匹配的計算模式，并分別選用全域基和分域基（脈沖函數(shù)）展開闡述。采用點匹配的計算模式，并分別選用全域基和分域基（脈沖函數(shù)）展開闡述。例例7-1 一維靜電場分布。一維靜電場分布。 設(shè)一平行板電容器如圖設(shè)一平行板電容器如圖7-3所示，兩極板接地，板間體電荷密度所示，兩極板接地，板間體電荷密度=0（1+2x），板間距為一個單位長度。若忽略其邊緣效應(yīng)，試求此理想化），板間距為一個單位長度。若忽略其邊緣效應(yīng)，試求此理想化的一維靜電場問題的場分布。的一維靜電場問題的場分布。解解 設(shè)以電位函數(shù)設(shè)以電位函數(shù)為待求量，據(jù)題意，為待求量，據(jù)題意，本例的數(shù)學(xué)模型為本例的數(shù)學(xué)模型為 第第 7 7 章章

29、 矩矩 量量 法法顯然，這是一個簡單的邊值問題，其解析解為顯然，這是一個簡單的邊值問題，其解析解為 現(xiàn)應(yīng)用矩量法討論此邊值問題的解答。為了求得冪級數(shù)形式的解，這現(xiàn)應(yīng)用矩量法討論此邊值問題的解答。為了求得冪級數(shù)形式的解，這里選用的全域基為里選用的全域基為 顯然，由上式給出的基函數(shù)集合滿足給定的邊界條件，按式（顯然，由上式給出的基函數(shù)集合滿足給定的邊界條件，按式（7-2），），待求函數(shù)的近似解待求函數(shù)的近似解為得到點匹配解，在區(qū)間為得到點匹配解，在區(qū)間0 x1中，設(shè)定等間距的匹配點，它們的坐標(biāo)為中，設(shè)定等間距的匹配點，它們的坐標(biāo)為 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法這樣，在給定權(quán)函數(shù)為狄拉克這樣

30、，在給定權(quán)函數(shù)為狄拉克函數(shù)，即函數(shù)，即的情況下，按式（的情況下，按式（7-22）和式（）和式（7-23）即可分別算得點匹配計算模式（）即可分別算得點匹配計算模式（7-8）中）中相應(yīng)的矩陣元素為相應(yīng)的矩陣元素為 和和 為了考察解答的收斂性，現(xiàn)研究當(dāng)為了考察解答的收斂性，現(xiàn)研究當(dāng)n增加時的逐次逼近程度。首先，取增加時的逐次逼近程度。首先，取一級近似一級近似n=1，此時，此時，l11=-2，g=-2，由式（，由式（7-8），得），得1=1，按式（，按式（7-34）可）可知電位函數(shù)的一級近似解為知電位函數(shù)的一級近似解為 ；當(dāng)；當(dāng)n=2時，點匹配方程是時，點匹配方程是第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法

31、由上式可求得由上式可求得1=1/2，2=1/3。同樣，按式（。同樣，按式（7-34）可得二級近似解為）可得二級近似解為 ，其結(jié)果全同于，其結(jié)果全同于解析解式（解析解式（7-32）。當(dāng)）。當(dāng)n=3時，可再次得到解析解，對于時，可再次得到解析解，對于n3也是如此。也是如此。由此表明，對于本問題由由此表明，對于本問題由Ni的有限項（的有限項（i=2）組合就能精確地表示其解答。）組合就能精確地表示其解答。 對于一般性的積分方程型邊值問題，點匹配法通常采用的基函數(shù)為脈沖對于一般性的積分方程型邊值問題，點匹配法通常采用的基函數(shù)為脈沖函數(shù)，此時，以靜電場問題為求解對象，由其積分方程型的數(shù)學(xué)模型函數(shù)，此時，以

32、靜電場問題為求解對象，由其積分方程型的數(shù)學(xué)模型可歸納方法的具體步驟如下：可歸納方法的具體步驟如下： 1）離散化帶電體的表面，設(shè)剖分為）離散化帶電體的表面，設(shè)剖分為n個子塊個子塊 ，且令每一子塊中的電荷密度且令每一子塊中的電荷密度i分別為相應(yīng)的常量。這樣，導(dǎo)體表面待求的電分別為相應(yīng)的常量。這樣，導(dǎo)體表面待求的電荷密度函數(shù)荷密度函數(shù)（r）可基于脈沖函數(shù)）可基于脈沖函數(shù)i（r）近似表達為）近似表達為 2）在給定邊界條件）在給定邊界條件（rb）的導(dǎo)體表面上設(shè)定）的導(dǎo)體表面上設(shè)定n個匹配點個匹配點Mj（j=1，2，n）；）；第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 3）計算帶電體表面上各子塊對應(yīng)的元電荷）計

33、算帶電體表面上各子塊對應(yīng)的元電荷 在各匹配點在各匹配點Mj上產(chǎn)生的上產(chǎn)生的電位，并分別疊加，從而，由各匹配點電位，并分別疊加，從而，由各匹配點Mj上的電位必須等于給定電位值上的電位必須等于給定電位值（rb），即建立對應(yīng)于式（），即建立對應(yīng)于式（7-40）的離散積分方程；）的離散積分方程； 4）按點匹配法計算模式建立方程（）按點匹配法計算模式建立方程（7-8），由相應(yīng)的代數(shù)解法，解之即得），由相應(yīng)的代數(shù)解法，解之即得待定系數(shù)待定系數(shù)i； 5）由求出的）由求出的i，按式（，按式（7-41），即得待求電荷密度），即得待求電荷密度（r）的數(shù)值解，并）的數(shù)值解，并可繼續(xù)由式（可繼續(xù)由式（7-40），在已

34、知場源分布的前提下，求得場中任意點的電位，），在已知場源分布的前提下，求得場中任意點的電位，乃至場強、電容參數(shù)等。乃至場強、電容參數(shù)等。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法例例7-2 帶電導(dǎo)體棒的電場分布。帶電導(dǎo)體棒的電場分布。 設(shè)一半徑為設(shè)一半徑為a，長度為，長度為L的細長帶電導(dǎo)體棒如圖的細長帶電導(dǎo)體棒如圖7-4所示，其上給定電位所示，其上給定電位0，求此帶電導(dǎo)體棒的電場。求此帶電導(dǎo)體棒的電場。解解 本問題具有軸對稱特征，且進一步根據(jù)帶電導(dǎo)體棒本問題具有軸對稱特征，且進一步根據(jù)帶電導(dǎo)體棒La的幾何特征，的幾何特征，當(dāng)可合理地把待求的導(dǎo)體表面上電荷密度當(dāng)可合理地把待求的導(dǎo)體表面上電荷密度（r）

35、的分布，等價地看作尋求沿導(dǎo)）的分布，等價地看作尋求沿導(dǎo)體軸線線電荷密度體軸線線電荷密度（z）的分布。這樣，本問題積分方程型的數(shù)學(xué)模型是）的分布。這樣，本問題積分方程型的數(shù)學(xué)模型是 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法沿沿z軸等間距分割導(dǎo)體為軸等間距分割導(dǎo)體為n段，得各離散場源點的坐標(biāo)為段，得各離散場源點的坐標(biāo)為 于是，該導(dǎo)體棒待求的線電荷密度于是，該導(dǎo)體棒待求的線電荷密度（z）的近似表達式為）的近似表達式為 對應(yīng)于各離散場源點的同一對應(yīng)于各離散場源點的同一 坐標(biāo)，在導(dǎo)體棒表面上選定各相應(yīng)的匹坐標(biāo)，在導(dǎo)體棒表面上選定各相應(yīng)的匹配點配點Mj（j=1，2，n）。這樣，便可建立對應(yīng)于式（）。這樣，便可

36、建立對應(yīng)于式（7-42）的離散積分）的離散積分方程為方程為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法按點匹配法計算模式，根據(jù)矩量法方程（按點匹配法計算模式，根據(jù)矩量法方程（7-8），基于上式即得），基于上式即得 記作矩陣表達形式記作矩陣表達形式式中，電位系數(shù)矩陣的元素由式（式中，電位系數(shù)矩陣的元素由式（7-24）可寫為）可寫為當(dāng)當(dāng)ji 時，容易看出時，容易看出當(dāng)當(dāng)j=i時，為保證較高的計算精度，應(yīng)從比較精致的計算模型著手分析。為此，時，為保證較高的計算精度，應(yīng)從比較精致的計算模型著手分析。為此，取出第取出第i個單元的分割段個單元的分割段l，如圖，如圖7-5所示。這樣，問題轉(zhuǎn)化為呈圓柱形面分布所示。這

37、樣，問題轉(zhuǎn)化為呈圓柱形面分布電荷電荷i對該單元段中心對該單元段中心 處產(chǎn)生的電位問題。設(shè)單元段的表面積為處產(chǎn)生的電位問題。設(shè)單元段的表面積為S，則對應(yīng)場源的等價關(guān)系是：則對應(yīng)場源的等價關(guān)系是：iS=il，由此可知，由此可知，i=2ai。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 由圖由圖7-5所示的坐標(biāo)系和幾何關(guān)系，不難導(dǎo)得，該單元段的面電荷所示的坐標(biāo)系和幾何關(guān)系，不難導(dǎo)得，該單元段的面電荷i與中心與中心Mj處的電位處的電位i，兩者間應(yīng)滿足以下關(guān)系式：，兩者間應(yīng)滿足以下關(guān)系式：因題設(shè)因題設(shè)La，且，且l2a，故近似有，故近似有l(wèi)/（2a）1。于是，上式可近似。于是，上式可近似表達為表達為所以，可得所

38、以，可得顯然，由式（顯然，由式（7-23），右端列向量元素為），右端列向量元素為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法由此可展開方程（由此可展開方程（7-47）得）得解之即可求得待定系數(shù)解之即可求得待定系數(shù)，然后代，然后代入式（入式（7-44），便可得出沿導(dǎo)體棒的），便可得出沿導(dǎo)體棒的線電荷密度的近似分布線電荷密度的近似分布 。本。本問題計算程序的編寫比較簡單，代數(shù)問題計算程序的編寫比較簡單，代數(shù)方程組求解的子程序也已列于第方程組求解的子程序也已列于第2章，章，故在此不再展開。圖故在此不再展開。圖7-6示出當(dāng)設(shè)定具示出當(dāng)設(shè)定具體參數(shù)為體參數(shù)為a=10-3m，L=1m，0=1（相（相對值），以及分

39、割段數(shù)對值），以及分割段數(shù)n=20時，時， 的分布圖形。的分布圖形。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法 在已知在已知的基礎(chǔ)上，基于第三章所述的數(shù)值積分法，就可以算出任意的基礎(chǔ)上，基于第三章所述的數(shù)值積分法，就可以算出任意場點場點P（，z）處的電位和場強為）處的電位和場強為和和 第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法例例7-3 矩形帶電導(dǎo)板的電場分布。矩形帶電導(dǎo)板的電場分布。 設(shè)一矩形帶電導(dǎo)板（長設(shè)一矩形帶電導(dǎo)板（長邊為邊為2a，寬為，寬為2b）如圖）如圖7-7所所示，其厚度忽略不計?，F(xiàn)給定示，其厚度忽略不計。現(xiàn)給定導(dǎo)板電位為導(dǎo)板電位為0，求空間電場分，求空間電場分布。布。 解解 建立如圖建立如

40、圖7-7所示的坐標(biāo)系統(tǒng)。為求空間電場分布，應(yīng)用點匹所示的坐標(biāo)系統(tǒng)。為求空間電場分布，應(yīng)用點匹配法，首先離散化導(dǎo)板為配法，首先離散化導(dǎo)板為n個子塊個子塊Si=2c2d（i=1，2，n），且令），且令每個子塊上的面電荷密度為每個子塊上的面電荷密度為i，則導(dǎo)板表面的待求電荷密度函數(shù)，則導(dǎo)板表面的待求電荷密度函數(shù)按式按式（7-41）可表示成）可表示成在二維情況下，上式中在二維情況下，上式中第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法對應(yīng)于式（對應(yīng)于式（7-40），現(xiàn)與定解條件相聯(lián)系的積分方程為），現(xiàn)與定解條件相聯(lián)系的積分方程為式中，（式中，（x，y）是導(dǎo)板上任一點的坐標(biāo)。）是導(dǎo)板上任一點的坐標(biāo)。 取各子塊面積

41、的中心為匹配點（即狄拉克取各子塊面積的中心為匹配點（即狄拉克函數(shù)的定義點），則按點匹函數(shù)的定義點），則按點匹配法計算模式，便得配法計算模式，便得 即即亦即亦即第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法式中，系數(shù)矩陣式中，系數(shù)矩陣 P P 的元素為的元素為 它表征了子塊它表征了子塊Si上的電荷對匹配點上的電荷對匹配點 上電位的貢獻。當(dāng)上電位的貢獻。當(dāng)ji時，時，為了計算方便又不致于引起很大的誤差，可以假設(shè)子塊上的電荷效應(yīng)集中體為了計算方便又不致于引起很大的誤差，可以假設(shè)子塊上的電荷效應(yīng)集中體現(xiàn)于該面積現(xiàn)于該面積Si的中點，因此有的中點，因此有 當(dāng)當(dāng)j=i 時，應(yīng)另作處理，否則上述公式的計算將出現(xiàn)奇點。

42、這時，計算模型中時，應(yīng)另作處理，否則上述公式的計算將出現(xiàn)奇點。這時，計算模型中子塊上的電荷必須按面電荷分布處置，并采用子塊上的電荷必須按面電荷分布處置，并采用“等效面積等效面積”處理方法，即用處理方法，即用一面積與子塊面積相等的半徑為一面積與子塊面積相等的半徑為R的小圓盤取代該矩形子塊。這樣，設(shè)圓盤上的小圓盤取代該矩形子塊。這樣，設(shè)圓盤上分布有面密度為分布有面密度為i的電荷，它在圓盤中心處產(chǎn)生的電位應(yīng)為的電荷，它在圓盤中心處產(chǎn)生的電位應(yīng)為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法由此可得由此可得而同樣由式（而同樣由式（7-23），右端列向量元素），右端列向量元素gj即是式（即是式（7-52）。類同于

43、式）。類同于式（7-53），本問題的系數(shù)矩陣），本問題的系數(shù)矩陣P亦是對稱的滿矩陣，宜用列主元或亦是對稱的滿矩陣，宜用列主元或全主元消去法解之。往后求場中任意點的電位或場強的方法和過程同全主元消去法解之。往后求場中任意點的電位或場強的方法和過程同于前例。于前例。第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法7.4 伽遼金有限元法伽遼金有限元法 現(xiàn)按伽遼金準(zhǔn)則來建立電磁場有限元方程，以論證基于加權(quán)余量法的伽現(xiàn)按伽遼金準(zhǔn)則來建立電磁場有限元方程，以論證基于加權(quán)余量法的伽遼金有限元法與基于變分原理的有限元法之間的等價性。遼金有限元法與基于變分原理的有限元法之間的等價性。設(shè)給定二維非線性泊松場問題，其數(shù)學(xué)模型表

44、述為設(shè)給定二維非線性泊松場問題，其數(shù)學(xué)模型表述為當(dāng)場域當(dāng)場域D剖分為剖分為e0個單元后，將待求函數(shù)的插值函數(shù)個單元后，將待求函數(shù)的插值函數(shù) 代入泛定方程（代入泛定方程（7-64a），則由），則由7.2節(jié)討論可知，在剖分單元節(jié)討論可知，在剖分單元e上對應(yīng)于伽遼金上對應(yīng)于伽遼金準(zhǔn)則的加權(quán)余量式（準(zhǔn)則的加權(quán)余量式（7-4），應(yīng)表示為），應(yīng)表示為第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法在單元在單元e的定義域的定義域De內(nèi)，內(nèi)，e可看作常量，因此由于可看作常量，因此由于故式（故式（7-65）可以改寫成）可以改寫成 根據(jù)格林公式根據(jù)格林公式第第 7 7 章章 矩矩 量量 法法令式（令式（7-66）左邊第一項積分中）左邊第一項積分中 ，即得，即得將上式回代至式（將上式回代至式（7-66），便有），便有第第 7 7 章章 矩矩