滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上相似三角形的判定典型例題及練習(xí)無(wú)答案

1、相似三角形的判定1 知識(shí)點(diǎn)講解1. 相似三角形的定義（1）相似三角形定義：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，我們就稱(chēng)這兩個(gè)三角形相似。如圖所示，與相似,記作“”，讀作相似于 。 （2）相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比。（3）注意：如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。 相似三角形相似比是有順序的。 全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。 用字母表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。2.平行線截三角形相似的定理（1）平行線截三角形相似的定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形與原

2、三角形相似。（2） 數(shù)學(xué)表達(dá)式：3.相似三角形的判定定理（1）判定定理1：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)記為：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。）（2）判定定理2：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)記為：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。）（3）判定定理3：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)記為：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。）（4）判定定理4：文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)語(yǔ)言圖形如果一個(gè)直

3、角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)記為：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。）4. 相似三角形的基本類(lèi)型相似三角形的基本類(lèi)型字型字型雙垂直型一線三等角型一線三等角型是以等腰三角形或者等邊三角形為背景，三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一直線上，其中，可根據(jù)，得圖中兩個(gè)陰影部分三角形相似。一線三垂直型5. 相似三角形判定思路判定思路有平行截線平行線截三角形相似的定理用平行線的性質(zhì)，找等角有一組等角找另一對(duì)等角找該角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形找一組銳角相等兩組邊對(duì)應(yīng)成比例等腰三角形找頂角相等一組底角相等底和腰對(duì)應(yīng)成比例有兩組邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等第三組邊也對(duì)

4、應(yīng)成比例有一組直角2 考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：利用相似三角形的定義判定兩三角形相似1. 如圖所示，在中，.（1）求,的值； （2）與相似嗎？為什么？考點(diǎn)2：利用相似三角形的定義確定相似比2. 如圖，已知,且,.求：（1）與的相似比；（2）BD的長(zhǎng)。變式練習(xí)：如圖所示，,下列式子不成立的是（ ）A. B. C. D.考點(diǎn)3：利用平行線識(shí)別相似三角形3.如圖所示，在ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長(zhǎng)線于E，則圖中的相似三角形有（）A3對(duì) B4對(duì) C5對(duì) D6對(duì)變式練習(xí)：如圖，ABC中，DEBC，EFAB，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（） A1對(duì) B2對(duì) C3對(duì) D4對(duì)考點(diǎn)4：利用證相似三角形求

5、線段的長(zhǎng)4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，則AC的長(zhǎng)為（）A9cm B14cm C15cm D18cm變式練習(xí)：如圖，在平行四邊形中，,，則 .考點(diǎn)5：利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等證明線段成比例5.如圖所示，是平行四邊形的邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，分別交和于點(diǎn)和.求證：.變式練習(xí)：如圖，在梯形中，且,點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）求證：; （2）若，求的長(zhǎng)。考點(diǎn)6：利用兩角分別相等證明兩三角形相似6.如圖所示，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：.變式練習(xí):如圖，在等邊三角形ABC中

6、，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且ADE=60°求證：ADCDEB考點(diǎn)7：利用相似三角形證明等積式7.如圖所示，在中，,的垂直平分線交于點(diǎn),交于,交的延長(zhǎng)線于.求證：.變式練習(xí)：已知：如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且,連接。求證：；（2）如果，求證：.考點(diǎn)8：利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判定兩個(gè)三角形相似8.如圖，在ABC中，已知AB=AC，D、E、B、C在同一條直線上，且AB=BDCE，求證：ABDECA變式練習(xí)：如圖所示，在正方形中，是上的點(diǎn)，且,是的中點(diǎn)。求證：考點(diǎn)9：利用三邊對(duì)應(yīng)成比例判定三角形相似9.如圖，已知O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，D、E、F分別是OA、OB、

7、OC的中點(diǎn)求證：ABCDEF變式練習(xí)：如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與ABC相似的是（）A B C D考點(diǎn)10：利用直角三角形相似的判定方法判定兩直角三角形相似10.已知在與中，,，。求證.變式練習(xí)：在和中，,，當(dāng) 時(shí)，.3 基礎(chǔ)題型講解基礎(chǔ)題型1：添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似1.如圖，點(diǎn)P在ABC的邊AC上，如果添加一個(gè)條件后可以得到ABPACB，那么以下添加的條件中，不正確的是（）AABP=C BAPB=ABC CAB=APAC D 變式練習(xí):如圖，添加一個(gè)條件 ，使得基礎(chǔ)題型2：尋找圖形中相似三角形的對(duì)數(shù)2.如圖，在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)的直線與對(duì)角線,邊分別交于點(diǎn)，

8、。過(guò)點(diǎn)E作,交于點(diǎn)，則圖中相似三角形有（ ）A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.7對(duì)變式練習(xí)：如圖所示，為線段上一點(diǎn)，與交于,交于,交于，則圖中相似三角形有（ ）A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4對(duì)基礎(chǔ)題型3：相似三角形判定定理的應(yīng)用3. 如圖所示，在中，是高，（1）求證：。（2）若與交于點(diǎn)，則.變式練習(xí)：如圖所示，RtABC中，已知BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)點(diǎn)B，C），過(guò)點(diǎn)D作ADE=45°，DE交AC于點(diǎn)E（1）求證：ABDDCE； （2）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)基礎(chǔ)題型4：與相似三角形有關(guān)的分類(lèi)討論題4. 如圖所示，點(diǎn)是銳角三

9、角形中邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線（不與直線重合）截，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有 條。變式練習(xí)：如圖所示是的斜邊上異于的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線截,使截得的三角形與相似，這樣的直線共有（ ） A.1條 B.2條 C.3條 D.4條基礎(chǔ)題型5：相似三角形與函數(shù)的綜合題5.如圖所示，在正方形中，,是邊上與點(diǎn)不重合的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，（1） 試說(shuō)明；（2） 當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段也隨之變化。設(shè)，求與之間的函數(shù)表達(dá)式。變式練習(xí)：如圖所示，為正三角形，分別是上的點(diǎn)（不在頂點(diǎn)），.（1） 求證：;（2） 若正三角形的邊長(zhǎng)為4，并設(shè)，試求與之間的函數(shù)表達(dá)式。4 拔高題型講解拔高題型1：利用“三點(diǎn)

10、定形法”找相似的三角形解決問(wèn)題1.已知：如圖所示，是斜邊上的高，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：.拔高題型2:利用相似三角形的知識(shí)解決與反比例函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題2. 如圖所示，是直角三角形，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上。若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則的值為（ ） A.-4 B.4 C.-2 D.23如圖，一條直線與反比例函數(shù)y的圖象交于A（1，4）、B（4，n）兩點(diǎn)，與x軸交于D點(diǎn)，ACx軸，垂足為C（1）如圖甲，求反比例函數(shù)的解析式；求n的值及D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖乙，若點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，連接CE，作CEF=45°，EF交AC于F點(diǎn)試說(shuō)明CDEEAF；當(dāng)ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出

11、F點(diǎn)坐標(biāo)拔高題型3：利用相似三角形的判定和定義建立函數(shù)關(guān)系4.如圖所示，在矩形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接,過(guò)點(diǎn)作,與線段交于點(diǎn)，設(shè)，。（1） 寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2） 若，當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？拔高題型4：利用相似三角形的定義進(jìn)行規(guī)律探究5.如圖，在ABC中，C=90°，BC=16cm，AC=12cm，點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向C移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)，以1cm/s的速度向A移動(dòng)，若P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t為何值時(shí)，CPQ與CBA相似？6.如圖所示，已知ABBD,CDBD,AB=6，CD=4，BD=k，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，

12、保持APC=90,但不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合。（1）當(dāng)k=14時(shí)，請(qǐng)問(wèn)在BD上存在多少個(gè)P點(diǎn)，使以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似？并求BP的長(zhǎng)（2）已知在BD上至少存在一個(gè)P點(diǎn)，使以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似，求k的取值范圍 7.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm點(diǎn)E、F、G分別從點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)點(diǎn)E、G的速度均為2cm/s，點(diǎn)F的速度為4cm/s，當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)G（即點(diǎn)F與點(diǎn)G重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)開(kāi)始后第t秒時(shí)，EFG的面積為S（cm2）（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，S的值是多少？（2）寫(xiě)出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量

13、t的取值范圍；（3）若點(diǎn)F在矩形的邊BC上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、G為頂點(diǎn)的三角形相似？請(qǐng)說(shuō)明理由拔尖題型5：和相似有關(guān)的存在型問(wèn)題8.如圖所示，在中，已知,，且,將與重合在一起，不動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)在邊上沿到的方向運(yùn)動(dòng)，且始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1） 求證：；（2） 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。拔尖題型6：相似三角形與折疊問(wèn)題9.如圖，先把一矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到ABE過(guò)B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線AD上，得折痕PQ（1）求證：PBEQAB；（2）你認(rèn)為PBE和BAE

14、相似嗎？如果相似，給出證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。5 課后作業(yè)一選擇題。1.如圖，直線AB與MNPQ的四邊所在直線分別交于A、B、C、D，則圖中的相似三角形有（） A4對(duì) B5對(duì) C6對(duì) D7對(duì)2.與圖中相似的是（ ）3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中,則的長(zhǎng)為（ ）A. B.8 C.10 D.164.如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，PCD是等邊三角形，當(dāng)ACPPDB時(shí)，APB的度數(shù)為（） A100° B120° C115° D135°5.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm

15、，則AC的長(zhǎng)為（） A9cm B14cm C15cm D18cm6.如圖，在中，是中線，,則線段的長(zhǎng)為（ ）A.4 B. C.6 D.7.如圖，A=B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得PAD與PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)8.如圖，在（）內(nèi)有邊長(zhǎng)分別為的三個(gè)正方形，則滿足的關(guān)系式是（ ）A. B. C. D.9.下列各組三角形中，兩個(gè)三角形能夠相似的是（ ）10已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為6cm，7.5cm，9cm，DEF的一邊長(zhǎng)為4cm，當(dāng)DEF的另兩邊長(zhǎng)是下列哪一組時(shí)，這兩個(gè)三角形相似（）A2 cm，3 

16、;cm B4 cm，5 cm C5 cm，6 cm D6 cm，7 cm 11. 如圖所示，在中，分別在，上，將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若為的中點(diǎn)，則折痕的長(zhǎng)為（ ）A. B.2 C.3 D.412. 如圖所示，在中，,，平分交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)是（ ）A. B. C. D.13. 如圖所示，正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，的平分線分別交于兩點(diǎn)。若,則線段的長(zhǎng)為（ ）A. B. C.1 D.14. 如圖所示，中，,，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的三角形和以為頂點(diǎn)的三角形相似，則的長(zhǎng)為（ ）A.3 B.3或 C.3或 D.2 填空題。1

17、5.在中，為邊上一點(diǎn)，且，已知，則 。16.如圖，在ABC中，ABACD、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn)AC=3AD，AB=3AE，點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件： ，可以使得FDB與ADE相似（只需寫(xiě)出一個(gè)）17如圖，已知A=D，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是 。 （只需寫(xiě)一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）18如圖所示，D，E分別在ABC的邊AB、AC上，DE與BC不平行，當(dāng)滿足 條件時(shí)，有ABCAED（只需寫(xiě)一個(gè)條件即可）19如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ADP與BCP相似時(shí)，DP= 。20如圖，已知直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于

18、點(diǎn)B，在x軸上有一點(diǎn)C，使B、O、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 。 21.如圖，ABCB于點(diǎn)B，ACCD于點(diǎn)C，AB=6，AC=10，當(dāng)CD= 時(shí)，ABCACD22.如圖，已知：ACB=ADC=90°，AD=2，CD=，當(dāng)AB的長(zhǎng)為 時(shí)，ACB與ADC相似23四邊形ABCD中，ADBC，A=90°，AD=2cm，AB=7cm，BC=3cm，試在AB邊上確定P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似則AP的長(zhǎng)是 22.（2019蘆溪縣二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截AOB，所得的三角形與AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是